ASESORÍA ACADÉMICA MATEMÁTICA Programación lineal Funciones
Universidad San Ignacio de Loyola
Problema 1: Jaime y Roberto son dos estudiantes que analizan la siguiente gráfica
a. Jaime afirma: “El punto B tiene como coordenadas (5; 2)”. b. Roberto dice: ”Faltan datos para definir la región sombreada”. Los estudiantes, ¿respondieron correctamente? Justifique.
Solución del problema 1: a. La afirmación de Jaime es falsa puesto que el punto B se determina por la intersección de las rectas que definidas por L1 : 5x + 8y = 50 y L2 : y = 5 Después de resolver el sistema de ecuaciones resulta: (2; 5), y es diferente al punto que afirma el estudiante Jaime (5; 2). b. La afirmación de Roberto es falsa puesto que la región sombreada (*región factible) es posible limitarla por un sistema de inecuaciones lineales de dos variables. x≥0 y≥0 y≤5 5x + 8y ≤ 50 4x + 9y ≥ 36
Problema 2: Olga, Juan y Luis (estudiantes de Matemática I), se reúnen en la cafeterı́a y al recibir la carta de pedidos, afirman lo siguiente:
• Olga: ”Si relacionamos cada tipo de hamburguesa con su respectivo precio, entonces se define una función”. • Juan: ”Si se hubiera asociado cada precio a un tipo de hamburguesa, entonces sı́ definimos a una función”. • Arturo: ”No estoy de acuerdo con ninguno; puesto que, para definir funciones es necesario asociar únicamente números”. Las afirmaciones de los estudiantes, ¿son verdaderas o falsas? Justifique
Solución del problema 2: • La afirmación de Olga es verdadera Cada tipo de hamburguesa tiene un único precio (*no es posible que un tipo de hamburguesa tenga dos precios), claramente define una función. • La afirmación de Juan: es falsa, puesto que, si consideramos al precio como partida, luego con 9 soles tenemos la opcion de escoger dos tipos de hamburguesa (no define una función) • La afirmación de Arturo es falsa, ya que, las funciones asocian un elemento del conjunto de partida con un solo elemento del conjunto de llegada y no es exclusividad de conjuntos numéricos.
Problema 3: Una consultora muestra en la gráfica el comportamiento del precio de una gaseosa de dos litros t años después del año 2013 en Sudamérica:
a. ¿Qué sucede con el precio luego de 5 años? b. Determine el rango de función p = f (t) c. Calcule M =
f (0) − 2f (2) √ 3.f (5) − f (f ( 39) + 1)
Solución del problema 3: a. El precio de la gaseosa de dos litros aumento su precio entre los años 2013 a 2015, en ese mismo año alcanza el precio más alto en el mercado (S/ 6,00) y luego éste disminuye hasta llegar a los S/4 en el año 2018. Del 2018 al 2019 no se registro los precios.En el año 2019 el precio de la gaseosa de dos litros se estabiliza en S/ 5,00 y se mantiene constante por algunos años más, según se observa en la gráfica. b. Rango de f es [4; 6] c. M =
4 − 2(6) 3(4) − f (5 + 1)
= −8/7
Problema 4: Una empresa de servicio técnico de automóviles desea optimizar sus ventas con la implementación de dos tipos de servicios: el servicio de inyección electrónica y el servicio en sistemas mecánicos. Además: • El número de trabajadores especialista en sistemas mecánicos es mayor o igual que el número de especialistas en inyección electrónica. • El número de trabajadores especialista en sistemas mecánicos no supera al doble de especialistas en inyección electrónica. • Se dispone de 30 especialistas en inyección electrónica y 20 en mecánicos. • Cada servicio especializado es atendido por un trabajador y se cobra $250 por servicio en inyección electrónica y $200 por servicio mecánico. a. Determine un sistema de inecuaciones lineales de dos variables que permitan optimizar el ingreso. b. Represente en un plano cartesiano la región factible del sistema de inecuaciones planteado en el ı́tem anterior. c. Calcule el número de trabajadores especialistas que se deben elegir, para obtener el máximo ingreso.
Solución del problema 4: Sean las variables: x: El número de especialistas en sistemas de inyección electrónica. y: El número de especialistas mecánicos. a. De los datos del problema:
y>x y 6 2x 0 ≤ x ≤ 30 0 ≤ y ≤ 20
b. Región factible
c. Función objetivo (ingreso) I(x; y) = 250x + 200y. El máximo ingreso es Imax = $9000 y ocurre cuando el número de especialistas en sistemas de inyección electrónica sean 20 y el número de especialistas mecánicos 20.
Problema 5: Dadas las funciones h y g, definidas mediante las siguientes reglas de correspondencias: x+4 h(x) = + 2x (4 + x)(4 − x) ln(x − 1) g(x) = √ +5 9 − x2 a. Determine la intersección de los dominios de las funciones h y g. b. Calcule el valor de S =
h(3) + g(2) h(4, 5) + g(11 − h(3, 5))
Solución del problema 5: a. Dom(h) = R − {±4}, Dom(g) =]1; 3[, luego la intersección es: ]1; 3[ b. h(3) = 7 g(2) = 0 + 5 h(4, 5) = 7 h(3, 5) = 9 S=
12 7+5
=1
Problema 6: Se tiene un problema de programacioﾌ］ lineal cuya regioﾌ］ factible es definida por:
Calcule el maﾌ』imo valor de la funcioﾌ］ objetivo Z = 3x + 4y
Solución del problema 6: De las datos se tienen los vértices de la región fáctible: Item Punto 1 Punto 2 Punto 3 El máximo valor de Z es 39.
x 1 5 3
y 4 6 1
z 19 39 13