Asesorı́a académica M1CA1 Programación lineal Funciones Aplicaciones de función lineal
Universidad San Ignacio de Loyola
Problema 1: Una pequeña empresa se dedica a la fabricación de bicicletas de paseo y de montaña, que se venden a $ 50 y $ 35 respectivamente. Dicha empresa cuenta con 80 kg de acero y 120 kg de aluminio. Si para la fabricación de una bicicleta de paseo se emplean 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para la de montaña se emplean 2 kg de cada material. Considere que la variable x representa la cantidad de bicicletas de paseo y la variable y la cantidad de bicicletas de montaña. a. Determine un sistema de inecuaciones lineales que permita maximizar el ingreso. b. Represente en un plano cartesiano la región factible del sistema de inecuaciones del ı́tem anterior. c. Calcule la cantidad de bicicletas de cada tipo necesarias para obtener el ingreso máximo.
Solución del problema 1: Producto p q Bicicleta Paseo 50 x Bicicleta Montaña 35 y Resctricciones
I 50x 35y
Acero (kg) x 2y
x + 2y 6 80, (kg acero) 3x + 2y 6 120, (kg Al) x>0 y>0 Función objetivo I = 50x + 35y
Al (kg) 3x 2y
RegioĚ n factible
x y I=50x+35y 0 0 0 40 0 2000 20 30 2050 0 40 1400 El maĚ ximo ingreso ocurre para x = 20, y = 30 y resulta I = $2050
Problema 2: El gráfico muestra la relación del Ingreso (en miles de soles) y la cantidad de unidades vendidas (en decenas) de un producto.
A partir del gráfico se pide: a. Describa el comportamiento del ingreso a lo largo de su dominio, incluya en su descripción las unidades respectivas. b. Utilizando un modelo cuadrático determine la regla de correspondencia de la función ingreso.
Solución del problema 2: a. Si las ventas aumentan hasta llegar a una cantidad de 5 decenas, el ingreso crece hasta un máximo valor de 5000 soles. A partir de allı́, al superar las ventas de 5 a 10 decenas, el ingreso decrece hasta que llega a 0. b. I(x) = −0, 2(x − 5)2 + 5 = −0, 2x2 + 2x
Problema 3: Sea f una función definida por la siguiente regla de correspondencia: f (x) = x2 a. Represente en un plano cartesiano la gráfica de la función definida por la siguiente regla de correspondencia: g(x) = 4 + f (x − 2). b. Determine el dominio y rango de la función g.
Solución del problema 3:
Dom(f ) = R Rang(f ) = [4; ∞[
Problema 4: Analistas del mercado han estimado que la oferta y la demanda de un cierto producto están definidas por las siguientes relaciones: O : 2p − 10q − 600 = 0 D : p + 10q = 1200 La variable p representa el precio en soles de cada producto producido, y la variable q representa la cantidad de kg de un producto producido y vendido semanalmente. a. Si el precio establecido en el mercado es 5 soles más que el precio de equilibrio, ¿a cuánto asciende el exceso de demanda o el exceso de oferta? Justifique. b. Si el estado impone un impuesto de 1 sol al producto analizado, ¿cuál será el nuevo precio de equilibrio?
Solución del problema 4: Punto de equilibrio: (p; q) = (600; 60) a. Si el precio es 5 soles más que el precio de equilibrio, entonces: Cuando p = 605, la cantidad ofertada: qof = 61 Cuando p = 605, la cantidad demandada: qd = 59, 5 Cant ofertada>cant demandada. El exceso de oferta es 1, 5 kg. b. Oferta con impuesto: p = 5q + 300 + 1 → p − 5q = 301 Demanda: p + 10q = 1200 El nuevo precio de equilibrio es: 600, 67 soles
Problema 5: Una agencia de alquiler de automóviles cobra $75 fijos por dı́a y un adicional de $0, 7 por kilómetro recorrido. a. Si se desea viajar 50 kilómetros diarios, calcule el costo diario por concepto de alquiler en la agencia. b. Si el costo de un automóvil es de $10000 dolares, ¿cual debe ser el recorrido necesario para que el costo de alquilar resulte igual al costo de la compra?
SolucioĚ n del problema 5: C(x) = 75 + 0, 7x a. C(50) = 75 + 0, 7(50) = 110 b. El costo de alquilar resulte igual al costo de la compra 75 + 0, 7x = 10000 → x = 13233, 3 km