Asesorı́a académica III Matemática II College Algebra II
Universidad San Ignacio de Loyola
Problema 1: La pastelerı́a DulceManjar determina que la función de demanda para los brownies viene dado por: q=
60 + ln(65 − p3 ) p
Donde q es la cantidad de brownies vendidos al precio unitario de p soles. a. Si actualmente el precio del brownie es de 4 soles, y se quiere aumentar los ingresos. ¿Se debe aumentar o disminuir el precio del brownie? Justifique su respuesta.
Solución del problema 1: a. A partrir de la demanda se deriva respecto de p: dq 3p2 = − p602 − 65−p q 0 (p) = 3 entonces la elasticidad viene dado por: dp p dq p 3p2 60 = 60 +ln(65−p η= 3 ) (− p2 − 65−p3 ) p q dp Reemplazando para p = 4, tenemos que: η = −13, 8 Debido a que la demanda es elástica, entonces se debe disminuir el precio para aumentar los ingresos.
Problema 2: Para cierto fabricante, el costo C (en miles de soles) de producir q unidades de un cierto artı́culo se relacionan de la siguiente manera: 15C + 0, 01q C 2 = q 2 + q + 6500 Actualmente el fabricante produce 100 artı́culos a. Determine la variación aproximada del costo si la producción cambia de 100 artı́culos a (100 − t) artı́culos. b. Calcule el costo marginal actual.
Solución del problema 2: a.
dC dq
=−
0, 01C 2 − 2q − 1 15 + 0, 02qC
0, 01C 2 − 2q − 1 )dq 15 + 0, 02qC 0 Si q = 100, C(100) = 121, 55 → C (100) = 0, 20633 luego: dC = 0, 20633 dq, pero dq = (100 − t) − (100) = −t → dC = −0, 2063t
∆Caprox = dC = C 0 (q)dq → dC = −(
b. El costo marginal actual es C 0 (100) = 0, 20633 Interpretación: Si la producción actual es 100 artı́culos, luego al producir un articulo adicional el costo de producción se incrementa en 206, 33 soles.
Problema 3: Los costos mensuales C de una empresa (en miles de dólares), después de producir q cientos de sus artı́culos, vienen dados por: C 2 + C = 120 − q 2 . Actualmente el nivel de produccón llega a 1000 unidades. a) Calcule el costo mensual de la empresa en la actualidad. b) Calcule el costo marginal actual. c) Determine la derivada del costo marginal respecto al nivel de producción q
Solución del problema 3 a) El nivel de producción actual es q = 1000 unidades o q = 10 cientos de unidades. Al reemplazar en la ecuación, tenemos: C 2 + C = 120 − (10)2 C 2 + C − 20 = 0 ⇒ C = −5 ∨ C = 4 El costo mensual de producción actual es 4 mil dólares. b) Nos piden Cmg en la actualidad, luego derivamos implicitamente C 2 + C = 120 − q 2 , y reemplazamos en q = 10 y C = 4 2C.C 0 + C 0 = −2q → 2(4)C 0 + C 0 = −20 ⇒ C 0 = − 20 9 c) 2C.C 0 + C 0 = −2q nos piden
d2 C
, luego de derivar y reemplazar dq 2 −2q 2 2 + 2(C 0 )2 ) 2 + 2( 2C+1 C 00 = − → C 00 = − 2C + 1 2C + 1
Problema 4: Sea C una curva definida por 3x2 − 10xy = y 2 + 124. a) Determine la ecuación de la recta tangente en un un punto de C ubicado en (5; −49) b) Determine una recta tangente a C y que sea perpendicular a la recta 6x + 5y = 100
Solución del problema 4 a) (5; −49) ∈ C puesto que cumple con la ecuación: 3x2 − 10xy = y 2 + 124 Derivando implicitamente 6x − 10y − 10x.y 0 = 2y.y 0 0 y 0 = 6x−10y 10x+2y Reemplazando en x = 5, y = −49 ⇒ y = −65/6 Ec. recta tangente y + 49 = −65/6(x − 5) b) Nos piden la recta L1 tangente a C, tal que L1 es perpendicular a L2 : 6x + 5y = 100 ⇒ mL2 = y 0 = − 65 Por condición mL1 .mL2 = −1 → mL1 = 5/6 6x − 10y x y0 = = 5/6 ⇒ = − 51 10x + 2y y Reemplazando en la ecuación inicial:x = 5, y = −1; y 0 = 5/6 Ecuación de la recta y + 1 = 5/6(x − 5)
Problema 5: Resuelva los siguientes ejercicios: √ (x + a)5 × 4 ax + 3 dy a Si y = . , determine 2 7 (x + ax + 4) dx b Calcule el valor del siguiente lı́mite:
lim
x→1
( c Si
! 24ln x x2 + 4x − 3 x −1 x2 + 2
d2 p p(t) = 5 − 2e−t , calcule el valor de cuando t = ln2. dq 2 q(t) = 3tet
Solución del problema 5: a Aplicando logaritmos a ambos miembros, luego la derivación logarı́tmica se obtiene: " # 5 a 7(2x + a) dy =y + − dx x + a 4(ax + 3) x2 + ax + 4 b Evaluando el lı́mite en la base y aplicando la regla de L’Hospital en el exponente se tiene que: 2/x lim 3 x + 4x − 3 x→1 4x3 lim x→1 x2 + 2 1 lim 1/2 2 x→1 2x4 2 = = 3 3
c Primera derivada, se tiene lo siguiente: dp dq
=
2e−t 3et + 3tet
Luego hallando la segunda derivada: 2(3 + t) d2 p = − 2t 2 dq 3e (t + 1)2 Evaluando en t = ln2, se tiene lo siguiente: d2 p dq 2
=
3 + ln2 6(1 + ln2)2