Asesorı́a académica V Matemática II College Algebra II
Universidad San Ignacio de Loyola
Problema 1: En la figura se representa la graĚ fica de derivada de la funcioĚ n f definida por y = f 0 (x).
Después de analizar la gráfica, los estudiantes Enrique, Arturo y Edwin, afirmaron: * Enrique:” Si los valores de x se encuentran definidos en el intervalo ] − 1; 0[, luego la gráfica de la función f ,es creciente. * Arturo: “En el dominio ]0; 5[ la función f decrece. Asimismo, en x = 0, f tiene un punto de inflexión” * Juan: ”En x=5, la función f tiene un punto critico”. Indique si las afirmaciones hechas por los estudiantes son verdaderas o falsas.Justifique.
Solución del problema 1: Enrique: FALSO En el intervalo de x ∈] − 1; 0[ la grafica de la derivada de f esta por debajo del eje X, luego f 0 (x) es negativa, por lo que la función f no es creciente. Arturo: FALSO En el dominio ]0; 5[, la función crece y en x = 0 cumple que f 0 (x) = 0 condición de un punto crı́tico. Juan: VERDAD En x = 5 se cumple f 0 (x) = 0 la gráfica de la función f alcanza un valor máximo relativo.
Problema 2: La empresa EXP MARMOL SA produce semanalmente q toneladas métricas de mármol blanco para exportación y el departamento de producción ha determinado que el costo total está dado por la expresión C(q) = q 3 + 5q + 162 (en cientos de dólares), mientras el departamento de marketing estima que cada tonelada métrica producida puede venderse a un precio p = 180 − 2q (cientos de dólares). Responda a las siguientes preguntas: a) Con respecto a las ventas, ¿nos conviene que el ingreso marginal sea positivo, negativo o cero? Justifique. b) Determine la cantidad que debe producirse para que la empresa tenga máxima utilidad. c) Calcule la utilidad máxima de la Empresa.
Solución del problema 2: a. Si el ingreso marginal es: Positivo: indica que la función Ingreso es creciente. Cero: determina un punto crı́tco y es candidato a ser máximo. Negativo: indica que la función Ingreso es decreciente. Ingreso I(q) = 180q − 2q 2 : conviene que el Ingreso Margnal sea cero. b. Utilidad U = I − C U = (180 − 2q)q − (q 3 + 5q + 162) Para determinar la maxima utilidad luego: U 0 (q) = 0 Esto ocurre en q = 7 toneladas métricas de marmol blanco. c. En el valor crı́tico q = 7 se cumple que U 00 < 0, luego la utilidad U (7) = 622 cientos de dólares, es máxima.
Problema 3: La compañı́a JR S.A.C. produce memorias USB de 8 GB y 16 GB, cuyos costos unitarios son 25 y 30 soles respectivamente. El equipo de marketing de la compañı́a estima que para el verano del 2020, la demanda anual de USB de 8 GB y 16 GB son q1 y q2 , respectivamente; las cuales están relacionadas por: q1 = 1000 − 50p1 + 2p2 q2 = 500 + 4p1 − 20p2 En donde p1 y p2 son los precios unitarios en soles, de la memoria de 8 GB y 16 GB respectivamente. a) Determine la función de ingreso (I) y la función utilidad (U ) en términos de los precios. b) Determine
∂I ∂p1
(p1 ; p2 ).
Solución del problema 3: a.1 La función ingreso I(q1 ; q2 ) = (1000 − 50p1 + 2p2 )p1 + (500 + 4p1 − 20p2 )p2 I(q1 ; q2 ) = −50p21 + 6p1 p2 + 1000p1 − 20p22 + 500p2 a.2 La utilidad es dado por U = I − C El costo total se define por: C(q1 ; q2 ) = 15q1 + 20q2 = 15(1000 − 50p1 + 2p2 ) + 20(500 + 4p1 − 20p2 ) C(q1 ; q2 ) = 25000 − 670p1 − 370p2 U (q1 ; q2 ) = −50p21 + 6p1 p2 + 1670p1 + 870p2 − 20p22 − 25000 b.
∂I ∂p1
(p1 ; p2 ) = −100p1 + 6p2 + 1000
Problema 4: Una empresa que vendedos perfumes importados tipo A y tipo B al precio unitario de x e y soles respectivamente. Estudios de mercado indican que la función de costos está dada por la función: C(x; y) = x2 + 2y 2 + 4xy + 700 Por el lanzamiento al mercado se tiene planeado reducir la producción de los dos tipos de perfumes en los próximos dos meses de acuerdo con las ecuaciones: x(t) = 150 − 3t, y(t) = 100 − 2t Donde t está medido en meses. a) Use la regla de la cadena para calcular la razón de cambio del costo de la respecto al tiempo, dentro de 3 meses. b) Calcule el tiempo necesario, para que la razón de cambio del costo de la empresa respecto al tiempo, disminuya en 10 unidades al mes.
a)
dC dt dC
=
∂C dx ∂C dy . + . ∂x dt ∂y dt
= (2x + 4y)(−3) + (4y + 4x).(−2) dt En t = 3, x = 141, y = 94 luego: dC = (2 ∗ 141 + 4 ∗ 94)(−3) + (4 ∗ 94 + 4 ∗ 141)(−2) = −3854 dt b) Del dato: −10 = (2x + 4y)(−3) + (4y + 4x).(−2) −10 = [2(150−3t)+4(100−2t)](−3)+[4(100−2t)+4(150−3t)](−2) t = 49, 878 meses.
Problema 5: La producción semanal de una empresa viene dada por P (K; L) = 200KL − 40L2 − 100K 2 + 2400K + 240L + 3000 En donde K es la inversión de capital (en miles de soles) y L es el número de trabajadores. Actualmente, la empresa cuenta con 8 trabajadores y el capital invertido es de S/. 180 000. a) Calcule la variación aproximada de la producción si se despide a un trabajador pero se aumenta en mil soles la inversión de capital. b) Calcule la variación aproximada de la producción si se contrata a un nuevo trabajador pero se disminuye en mil soles la inversión de capital. c) Si Ud. fuera el gerente de producción de la empresa y quiere aumentar la producción, ¿escogerı́a la alternativa del ı́tem a) o la del ı́tem b)? Justifique su respuesta.
La producción semanal: P = 200KL − 40L2 − 100K 2 + 2400K + 240L + 3000 Variación aproximada de la La producción semanal: dP = PK .dK + PL dL dP = (200L − 200K + 2400).dK + (200K − 80L + 240)dL Datos K = 180, L = 8 dP = (200 ∗ 8 − 200 ∗ 180 + 2400).dK + (200 ∗ 180 − 80 ∗ 8 + 240)dL dP = −32000dK + 35600dL a) dP = −32000(+1) + 35600(−1) = −67600 b) dP = −32000(−1) + 35600(+1) = +67600 c) Es claro que que en la opción b, hay un incremento en al producción.Escogemos la opción b).