Control de Aula Diferencial de una funcioĚ n AnaĚ lisis marginal
Universidad San Ignacio de Loyola
Problema 1: Al invertir k miles de dólares de capital, una empresa produce √ P(k) = 8000 4 k unidades semanales. En este año la inversión de capital asciende a 810000 dólares. a) [4p] Si se hace un requerimiento de aumentar la producción en 320 unidades semanales ¿en qué porcentaje se debe incrementar aproximadamente el capital? b) [4p] Si el capital se incrementa en un 10%, aproximadamente ¿en qué porcentaje se debe incrementar la producción? Problema 2: Un laboratorio produce y vende pastillas para desparasitar aves. Se estima que cuando se fabrican q cajas de pastillas, los costos totales p ascienden a C (q) = 3 q 2 + q + 1000 soles y el mercado demanda la caja de p pastillas al precio p = 2500 − q 2 soles. Determine: a) [4p] La función costo marginal. b) [4p] La función ingreso marginal. c) [4p] La función utilidad marginal.
Solución del problema 1 a) P(K ) = 8000K 1/4 unidades semanales Usando diferenciales dP .dK dP = dK 1 dP = 8000. .K −3/4 .dK 4 ∆P = 320 ≈ dP = 2000K −3/4 .dK 4320 = dK Nos piden el incremento porcentual del capital dK 4320 .100% = × 100% = 0, 533% K 810000 b) El capital inicial K0 = 810000 dólares Incremento del 10% representa: ∆K = 10%(810000) ∆K = 81000 dólares
Usando diferenciales dP = 2000.K −3/4 dk dP = 2000.(810000)−3/4 .81000 dP = 6000 Nos piden el incremento porcentual de la producción dP 6000 × 100% = × 100% = 2, 5% P 240000 Solución del problema 2 a) Los costos totales: C (q) = q 2/3 + q + 1000 La función costo marginal dC 2 Soles Cmg = = ( q −1/3 + 1) dq 3 Cajas de pastillas
b) A partir de la demanda p = La función ingreso I = pq
p
25000 − q 2
p I = q. 25000 − q 2 La función de Ingreso marginal p dI −2q = 1. 2500 − q 2 + q. p Img = dQ 2 2500 − q 2 2 p q Soles ) Img = ( 2500 − q 2 − p 2 2500 − q Caja de pastilla c) La función Utilidad marginal Umg = Img − Cmg p q2 2 Soles − q −1/3 − 1) Umg = ( 2500 − q 2 − p 2 3 Cajas de pastilla 2500 − q