Control N5 - M2-Retroalimentación.

Control de Aula Matrices y Determinantes OptimizacioĚ n de funciones de varias variables

Universidad San Ignacio de Loyola

Problema 1: Sea f una función dependiente de tres variables (x; y ; z) tal que: fx (x; y ; z) = 140 − 6x + 4y ; fy (x; y ; z) = 200 − 10y + 4x; fz (x; y ; z) = 100z − z 2 a) [4p] Modele la matriz hessiana de f . b) [4p] Determine los puntos crı́ticos de f . c) [4p] Después de evaluar la función en el punto crı́tico, ¿la función alcanza un valor máximo o mı́nimo? Justifique Problema 2: JR S.A. es una empresa que fabrica y vende 2 tipos de escritorios A y B. La utilidad de la empresa está dada por: U(x; y ) = 120x − 2x 2 + 180y − y 2 + xy − 300, donde x e y representan las cantidades de escritorios del tipo A y B, respectivamente. a) [4p] Represente la matriz hessiana de la función utilidad. b) [4p] Calcule los valores de x e y tal que la utilidad de la empresa sea máxima. Justifique su respuesta.

Solución del problema 1 a) A partir de los datos: fx = 140 − 6x + 4y → fxx = −6, f xy = 4, f xz = 0 fy = 200 − 10y + 4x → fyx = 4, fyy = −10, fyz = 0 fz = 100z − z 2 → fzx = 0, fzy = 0, fzz = 100 − zz Matriz hessiana de f (x; y ; z) 

fxx  H(f ) = fxy fzx

fxy fyy fzy

  fxz −6 4   fyz  =  4 −10 fzz 0 0

b) Puntos crı́ticos de f fx = 0 → 140 − 6x + 4y = 0 fy = 0 → 200 − 10y + 4x = 0 fz =→ 100z − z 2 = 0

 0  0  100 − 2z

Al resolver el sistema de ecuaciones resulta x = 50, y = 40, z = 0 ∨z = 100, luego existen dos puntos crı́ticos (x; y ; z) = (50; 40; 0) y (x; y ; z) = (50; 40; 100) c) En el punto  crı́tico (50; 40;0) −6 4 0   H(f ) =  4 −10 0  H1 = −6, H2 = 44, H3 = 4400 0 0 100 En el punto   crı́tico 50; 40; 100 −6 4 0   H(f ) =  4 −10 0  H1 = −6, H2 = 44, H3 = −4400 0 0 −100 Notamos que en el punto crı́tico (50; 40; 100) la función f alcanza un valor máximo.

Solución del problema 2 a) U = 12x − 2x 2 + 180y − y 2 + xy − 300 Ux = 120 − 4x + y → Uxx = −4, Uxy = 1 Uy = 180 − 2y + x → Uyx"= 1, Uyy =# −2" Uxx Uxy −4 Matriz hessiana: H(U) = = Uyx Uyy 1

# 1 −2

b) Punto crı́tico de la utilidad Ux = 0 → 120 − 4x + y = 0 Uy = 0 → 180 − 2y + x = 0 Luego de resolver el sistema de ecuaciones, tenemos: x = 60, y = 120 Analizando la matriz hessiana en el punto crı́tico " # −4 1 , H1 = −4, H2 = 7 1 −2 De la regla se signos notamos que para x = 60, y = 20 la utilidad es máxima.