Control de Aula OptimizacioĚ n de funciones con restriccioĚ n Integral indefinida
Universidad San Ignacio de Loyola
Problema 1: Un comerciante tiene un presupuesto de S/960 para gastar en dos mercancı́as, la primera de las cuales cuesta S/30 la unidad y la segunda, S/40 la unidad. Además, por la compra de x unidades de la primera mercancı́a e y unidades de la segunda, la utilidad obtenida por el comerciante se define por: U(x; y ) = 24x 1/4 y 3/4 a) [4p] Modele la función de Lagrange que maximiza la utilidad. b) [4p] Determine el punto critico de la función de Lagrange c) [4p] Determine la utilidad máxima. Problema 2: Determine las siguientes integrales Z √ 1 3 x(x + 1) + dx a) [4p] x Z 2 b) [4p] (1 − x)e 2x−x dx
Solución del problema 1 a)
Mercancı́a Primera Segundo
Cantidad x y
C.U. 30 40
Gasto 30x 40y
Presupuesto: 960 = 30x + 40y . Para maximizar la utilidad U = 24x 1/4 y 3/4 sujeta a la restricción 30x + 4y − 960 = 0 utilizaremos la función de lagrange: L = 24x 1/4 y 3/4 + λ(30x + 40y − 960) b) Punto crı́tico de: Lλ = 0 → 30x + 40y − 960 = 0 Lx =→ 6x −3/4 y 3/4 + 30λ = 0 El sistema de ecuaciones a resolver: 30x + 40y = 960 6x −3/4 y 3/4 = −30λ 18x 1/4 y −1/4 = 40λ
... ... ...
(1) (2) (3)
−30λ y 3 9x 6x −3/4 y 3/4 = → = →y = · · · (4) −40λ 3x 4 4 18x 1/4 y 9x (4) en (1): 30x + 40 = 960 → x = 8 4 9 En (4) : y = (8) = 18 4 En (2) : 6x −3/4 y 3/4 = −30λ → λ = −0, 36742 El punto crı́tico (λ; x; y ) = (−0, 36742; 8; 18) (2) ÷ (3) :
c) Al reemplazar en el punto crı́tico, la utilidad: U = 24x 1/4 .y 3/4 resulta: U = 352.73 (soles). Para comprobar que la utilidad es máxima, usaremos la matriz hessiana orlada: 0 30 40 0 gx gy 9 −7/4 3/4 9 −3/4 −1/4 y x y H = gx Lxx Lxy = 30 − 2 x 2 9 9 −3/4 −1/4 1/4 −5/4 gy Lyx Lyy 40 x y − x y 2 2 En x = 8, y = 18 → det(H) = 2939, 39 > 0 lo que implica que la utilidad es máxima.
Solución del problema 2 Z Z 1 1/3 a) Ia = [x (x + 1) + ]dx = (x 4 /3 + x 1/3 + Lnx + C , C ∈ R x Z 2 b) Ib = (1 − x)e 2x−x dx : Haciendo un cambio de variable µ = 2x + x 2 dµ = (2 − 2x)dx dµ = 2(1 − x)dx Reemplazando en la integral Z 1 µ dµ Ib = e = eµ + C 2 2 1 2x+x 2 Ib = e +C 2