TALLER 1: EXAMEN FINAL Taller M1-CA1 2019-2
Universidad San Ignacio de Loyola
Problema 1: Los beneficios o pérdidas (U) de una empresa vienen dado por la función: U (x) =
(5x2 − 5) (x2 + 16)
U (x) representa la cantidad de millones de dólares luego de x años de funcionamiento de la empresa. a. Calcule los beneficios o las pérdidas en el segundo y tercer año. b. Determine hacia qué valor se estabilizan las ganancias o perdidas con el paso del tiempo. c. Interprete el siguiente resultado
dU dx
(3) = 0, 816
Solución del problema 1: 5x2 − 5 U (x) = 2 x + 16 15 a. x = 2 → U (2) = = 0, 75 millones de dólares. 20 8 x = 3 → U (3) = = 1, 6 millones de dólares. 5 ! 5x2 − 5 b. lim U (x) = lim = 5 millones de dólares. x→+∞ x→+∞ x2 + 16 c.
dU
(3) =
0, 816
dx 1 Interpretación: Al aumentar del tercer al cuarto año de funcionamiento las utilidades, aumentan en 0, 816 millones de dólares aproximadamente.
Problema 2: Un profesor de matemática propone el siguiente problema: “Un fabricante determina que m empleados producirá un total de q unidades de un 10m2 . Si la ecuación de demanda para producto por dı́a, donde q = √ m2 + 19 900 el producto es p = ”. a+9 Luis y Gloria, estudiantes de Matemática I, realizan los siguientes comentarios: a. Luis afirma que la cantidad de unidades q se incrementa a medida que aumenta la cantidad de empleados m. b. Gloria afirma que el ingreso marginal es creciente solo si m = 9 Diga usted cuál de los comentarios es correcto.
Solución del problema 2: a. Luis: Verdad q = 10m2 (m2 + 9)−1/2 " # dq 1 = 20m(m2 + 9)−1/2 + 10m2 . − (m2 + 9)−3/2 .2m dm 2 dq dm dq
= (m2 + 9)−3/2 .10m[2(m2 + 9) − m2 ]
10m =+ √ [m2 + 18] > 0 → q es creciente. dm ( m2 + 9)3 b. Gloria: Falso I = pq 900q I= q+9 900(q + 9) − 900q(1) 8 100 = IMG = (q + 9)2 (q + 9)2 IMG es creciente.
Problema 3: La empresa TAM acaba de incorporar un avión Boeing 787 para realizar la ruta Lima-Rio de Janeiro, dicha nave tiene capacidad para 400 pasajeros distribuidas en dos espacios, se sabe que la empresa cobra por su clase turista USD$ 500 por persona y por la clase ejecutiva US$ 1 200 por tripulante , cumple las siguientes condiciones: El número de pasajeros en clase ejecutiva no es menor que la mitad del total de tripulantes. Los pasajeros en clase ejecutiva y turista tienen derecho a llevar una maleta con un peso máximo de 42 y 23 kilogramos, respectivamente. a. Represente un sistema de inecuaciones lineales de dos variables que le permita maximizar los ingresos que puede obtener la empresa TAM en su ruta Lima-Rio de Janeiro. b. Represente en un plano cartesiano la región factible del sistema de inecuaciones planteado en el ı́tem anterior. c. Calcule la cantidad de pasajeros en cada clase que genere el máximo ingreso.
Solución del problema 3: x: Es el número de turistas. y: Es el número de ejecutivos. I = 500x + 1200y 1 y > (x + y) → y > x 2 Además x + y 6 400 x y I=500x+1200y 200 200 340 000 0 400 480 000 0 0 0
Problema 4: El costo total mensual ( en dólares ) que estima la empresa Cannon Precisión Instruments para la fabricación de q unidades de cámaras fotográficas modelo M1 está dado por la función: C(q) = 0, 0025q 2 + 80q + 10 000 a. Represente el costo promedio C(q) y el costo marginal. b. Calcule el nivel de producción que minimiza el costo promedio de la empresa. c. Determine el nivel de producción al que el costo promedio es igual que el costo marginal.
Solución del problema 4: C = 0, 0025q 2 + 80q + 10 000 a. C =
C
= 0, 0025q + 80 +
q CMG = 0, 005q + 80
10 000 q
b. (CPROM )0 = 0 10 000 0, 0025 − =0 q2 10 000 q2 = 0, 0025 q = 2 000 Punto crı́tico. 20 000 00 CPROM =+ >0 q3 En el nivel de producción q = 2 000 El costo promedio es mı́nimo. c. CPROM = CMG 0, 0025q + 80 +
10 000
q = 2 000 unidades
q
= 0, 005q + 80
Problema 5: x2 La demanda de x toneladas de un metal, se rige por p(x) = 20 − 3 Donde p representa el precio (en dólares por tonelada de metal) unitario de venta. a. Represente la función Ingreso. b. Represente la función Ingreso marginal. c. Determine en qué intervalo es creciente el ingreso total. d. Determine para qué cantidad de unidades producidas el ingreso marginal es máximo.
Solución del problema 5: x2 p = 20 − 3 a. I = px x3 I = 20x − 3 b. IMG = 20 − x2 c. I: Creciente I0 > 0 20 − x2 > 0 (Gráfica) x ∈ [0; 4, 47] √ d. En q = 20 → I 0 = 0 y I 00 < 0, luego el ingreso es un máximo relativo. IMG = 20 − x2 IMG = 20; x = 0
Problema 6: Las funciones f y g están definidas por: f (x) = (2x − 5)2 , g(x) = (2x + 3)(4 − x). Calcule el siguiente lı́mite: lim
x→4
f (x) − 3(x − 3)(x − 1) g(x)
Solución del problema 6: " # (2x − 5)2 − 3(x − 3)(x − 1) 0 lim = x→4 (2x + 3)(4 − x) 0 " # 2 2 4x − 20x + 25 − 3(x − 4x + 3) lim = x→4 (2x + 3)(4 − x) " # x2 − 8x + 16 lim x→4 (2x + 3)(4 − x) " # (x − 4)2 lim =0 x→4 (2x + 3)(4 − x)
Problema 7: Determine las derivadas de las siguientes funciones: a. f (x) = b. g(x) =
2x − 3x2
2
+ e3−4x + ln(4x − 5)2 !2 5 − x − 4x2 5 − 2 + 4x3x 4 x x
5x − 3
Solución del problema 7: a. f (x) = f 0 (x) =
2x − 3x2 5x − 3
2
+ e3−4x + ln(4x − 5)2
(2−6x)(5x−3)−(2x−3x2 )(5) (5x−3)2
2
+ e3−4x (−8x) + 2. ! 2 − 15x + 18x − 6 8 2 f 0 (x) = − 8xe3−4x + (5x − 3)2 4x − 5 !2 5 − x − 4x3 5 b. g(x) = − 2 + 4x3x 4 x x g(x) = g1 (x) − g2 (x) + g3 (x)
4
!
4x − 5
Derivando cada uno de!los sumandos: 2 5 − x − 4x3 g1 (x) = x4 Ln(g1 (x)) = 2Ln(5 − x − 4x3 ) − 8Lnx g10 (x) = 2(−1 − 12x2 ) 8 = − g1 (x) 5 − x − 4x3 x h i 2 5−x−4x3 −2−24x2 8 0 g1 (x) = − ....... (1) 4 3 x 5−x−4x x g2 (x) =
5
→ g20 (x) = −
x2 3x
10 x3
.................. (2)
g3 (x) = 4x Ln(g3 (x)) = Ln4 + 3xLnx g30 (x) = 3Lnx + 3 → g30 (x) = 4x3x [3lnx + 3] ... (3) g3 (x) Reemplazando g 0 (x) = g10 (x) − g20 (x) + g30 (x)