Taller Adicional Examen Final M1-CA1 2019-02

EVALUACIONES Taller EF M1-CA1 2019-2

Universidad San Ignacio de Loyola

Problema 1: Una empresa procesadora de productos lácteos realiza una campaña para promocionar una nueva marca de yogurt, por lo cual regalará al menos 30 000 frascos de yogures bebibles; algunos de sabor a limón y otros de fresa. Se sabe que cada yogurt de limón necesita para su elaboración 0, 5 g de un producto de fermentación y cada yogurt de fresa, 0, 2 g.

Además, se dispone de 9 kg del producto para fermentación. Asimismo, la procesadora informa que el costo de producción de un frasco de yogurt bebible de fresa es el doble del de limón. a. Defina las restricciones del problema. b. Represente la región factible en el plano cartesiano. c. Nicolás afirma: “Para que el costo de la campaña sea mı́nimo se debe repartir 12 000 frascos bebibles de yogurt de fresa y 18 000 frascos de yogurt de limón”. ¿Esta Ud. de acuerdo con la afirmación de Nicolás? Justifique.

Solución del problema 1: x: Es el número de frascos de yogurt de Limón y: Es el número de frascos de yogurt de fresa.

Tipo Fermentación Cantidad Subtotal Limón 0,5 x 0,5x fresa 0,2 y 0,2y a. Restricciones: x>0 y>0 x + y > 30 000 0, 5x + 0, 2y 6 9000

b. Gráfica

c. No estamos de acuerdo con la restricción puesto que el punto (12000; 18000) no pertenece a la región factible, es decir no cumple la cuarta restricción (0, 5x + 0, 2y 6 9000)

Problema 2: Arturo es un microempresario que ha decidido invertir US$ 15 500 en una financiera que paga una tasa de interés continuo de 4, 75%. a. Calcule el dinero que obtendrá al finalizar los 15 años. b. Si M (t) representa el monto acumulado después de t años, dM (t). determine dt Solución del problema 2: a. M (t) = C.ert M (15) = 15 500.e0,0475(t) = U S$ 31605, 78 b. M (t) = C.ert dM (t) = rC.ert = 736, 25 e0,0475t dt

U S$ año

Problema 3: La funcioĚ n costo (en doĚ lares) para generar q unidades de cierto producto estaĚ dada por q3 C(q) = 8q + 20 + 100 a. Determine el costo promedio. b. Determine el costo marginal . c. Interprete el siguiente resultado

dC dq

(10) = 11

Solución del problema 3: a. CP rom (q) = C(q) = b. CM G (q) = c.

dC

(10) =

C q 11

C q

=8+3

=8+

q2 100

20 q

+

q2 100

dólares por unidad.

dólares por unidad.

dólares por unidad. dq 1 Si el nivel de produccion cambia de 10 a 11 unidades el costo se incrementa en 11 dólares.

Problema 4: La ecuación de la demanda (en artı́culos) para cierto producto es q=

p 16900 − p2

La variable p representa el precio de venta en dólares de un artı́culo. dq

dq

= −20 dp dp b. Calcule la cantidad de artı́culos que se debe producir y vender para que el Ingreso se máximo. a. Represente

e interprete

Solución del problema 4: p q = 16900 − p2 a.

dq dp

=p

−p

16900 − p2 dq Interpretación: = −20 dp Si el precio aumenta en 1 dolar, la cantidad demandada disminuye en 20 unidades.

b. I = pq p I = p 16900 − p2 Punto crı́tico: √ dI p −p = 16900 − p2 + p p = 0 → p = 65 2 dp 16900 − p2 √ 00 En p = 65 2 → I < 0 , luego para q = 92 artćulos, el ingreso es máximo.

Problema 5: Una empresa dedicada a la producción de embutidos de pavo ha determinado que la demanda mensual de su producción está dada por p=

60 000 − q 20 000

Donde p es el precio por unidad (en dólares) y q representa el número de unidades vendidas.

El costo de fabricación (en dólares) es definido por la siguiente función: C(q) = 0, 56q − 5 000

a. Calcule el ingreso cuando se venden 20 000 unidades de embutidos. b. Calcule la cantidad de embutidos que maximiza el ingreso. c. Calcule la cantidad de embutidos que maximiza la utilidad de la empresa.

Problema 6: RAYOZ es un fabricante del sector eléctrico y está evaluando la posibilidad de vender paneles solares en nuestro paı́s. El área de contabilidad de dicha empresa estima que los costos fijos serán de US$ 3 000 000, mientras que los costos variables serán de US$200 por panel, además el departamento de ventas estima que la demanda se puede expresar q p = 800 − 40 a. Determine la función utilidad en términos de q. b. Determine la utilidad marginal.

Problema 7: Un negocio estima que el valor de depreciación de una pieza de maquinaria después de t años está dado por : V (t) = 40000e−t

a. Calcule el valor inicial de la maquinaria b. Calcule el valor de la maquinaria después de 3 años c. Calcule la razón de cambio promedio que sufre el valor de la pieza entre el octavo y el décimo año.

Problema 8: Un importador de café brasileño estima que los consumidores locales comprarán aproximadamente q = 1080/p2 kilos de café a la semana, cuando el precio sea p dólares por kg, se estima que dentro de t semanas, el precio del café brasileño se definirá por p(t) = 0, 02t2 + 0, 1t + 6 dólares el kilogramo.

Calcule la razón de cambio de la demanda respecto del precio para la décima semana e interprete el resultado.

Problema 9: El producto bruto interno (PBI) de cierto paı́s en millones de dólares en el año t esta descrito por la siguiente función: P (t) = −2t3 + 45t2 + 20t + 6000, 0 6 t 6 20 Donde t = 0 corresponde a inicios del año 1 999.

Grafique la función P (t), indicando los interceptos, intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos relativos.

Problema 10: Determine la derivada de las funciones definidas por: 2

a. f (x) = (1 − ex )(2 − x2 + x3 )ln(x + 2)2 !2 x2 − 4x3 + x2x b. q(x) = 1 + x4 b. q(x) =

√

2x + 1 +

2 − 4x3 1 + x4

+ (2 + x)x