EVALUACIONES Taller M2-CA2 2019-2
Universidad San Ignacio de Loyola
Problema 1: En la clase de Matemática II, dos estudiantes discuten sobre la integral que les permita calcular el área de la región sombreada del siguiente gráfico:
Luis contesta: ”El área se calcula mediante la expresión: Z 2 Z 4 (f (x) − 2)dx + (g (x) − f (x))dx”. −2
2
Valentina afirma: ”El área se calcula mediante la expresión: Z 2 Z 4 (f (x) − g (x))dx + (f (x) − g (x))dx”. −2
2
A su juicio, ¿cuál de los estudiantes respondió correctamente? Justifique su respuesta. Solución del problema 1: Luis: Falso. En la figura se muestra 3 regiones. Z 0 A1 = (f (x) − 2)dx Z−2 2 A2 = (2 − g (x))dx 0 Z 4 A3 = (g (x) − f (x))dx 2
Valentina: Falso.
Problema 2: En un aula del curso de Matemática 2, el profesor plantea lo siguiente: 1 3 5 ”La matriz 3 x −2 representa a la matriz hessiana de la 5 −2 −8 función f de tres variables x; y ; z), ¿qué se puede afirmar?”. Carlos y Rosa (dos estudiantes) respondieron: Carlos: ”Si el punto crı́tico es x; y ; z) = (10; 4; 1), luego en dicho punto la función f alcanza un valor máximo”. Rosa: ”Si el punto crı́tico es x; y ; z) = (0; 4; 1), luego el determinante de la matriz hessiana resulta un valor negativo y por ello, en dicho punto se determina un valor mı́nimo de f ”. ¿Algún estudiante respondió correctamente?
Solución del problema 2: Carlos: Falso
1 3 5 A1 A2 A3 (x; y ; z) = (10; 4; 1) −→ H = 3 10 −2 + + − 5 −2 −8 Rosa: Falso 1 3 5 A1 A2 A3 (x; y ; z) = (0; 4; 1) −→ H = 3 0 −2 + − + 5 −2 −8
Problema 3: Las funciones de oferta y demanda de cierto producto están dadas por las √ siguientes ecuaciones: p = 32 + 3q y q = 120 − p a. Determine el punto y la cantidad de equilibrio. b. Calcule el excedente del productor y consumidor. Solución del problema 3: Punto de equilibrio: P = 32 + 3q = 120 − q 2 (q; p) = (8156) Z 8 1024 UM (120 − q 2 ) − (56)dq = EC = 3 Z 80 EP (56 − (32 + 3q))dq = 96UM 0
Problema 4: Considerando la función de densidad de probabilidad: −x/2 e six > 0 c f (x) = +x/2 e six < 0 c Asociada a la variable aleatoria x, siendo c una constante. a. Determine el valor de c. b. Determine el valor de la probabilidad de ocurrencia del evento P(−2 6 x 6 2).
Solución del problema 4: Z +∞ a. f (x)dx = 1 −∞ 0
e x/2
Z
c
−∞
+∞
Z dx +
e −x/2 c
0
dx = 1
1 x/2 0 1 =1 . 2e |−∞ + −2e −x/2 |+∞ 0 c 1 {2} + {2} = 1 −→ c = 4 c c Z 2 b. P(−2 6 x 6 2) = f (x)dx c 1
Z
0
= −2 x/2
= =
e
2 1 2
−
e x/2 4
2
−2 −x/2
dx +
|0−2 + e −1
2
Z
+
e
e
4
0 −x/2
−2 e −1 −2
dx
|20 +
1 2
= 1 − e −1
Problema 5: ALL SPORT es una compañı́a fabricante de un tipo de implementos deportivos que tiene la siguiente función de producción: P(L; K ) = 2400L2/5 K 3/5 Donde la variable P representa el número de unidades producidas con L unidades de mano de obra y K unidades de capital invertido. Además, se sabe que cada unidad de mano de obra le cuesta a la compañı́a 20 soles mientras que cada unidad de capital le cuesta 30 soles y la compañı́a dispone de 6 000 soles para su inversión. a. Calcule la cantidad de manos de obra y de capital que permita a la compañı́a maximizar su producción. b. Calcule la máxima producción. Justifique.
Solución del problema 5: F = P + λ(20L + 30K − 6 000) Fλ = 20L + 30K − 6 000 FL = 960L−3/5 K 3/5 + 20λ FK = 1 440L2/5 K −2/5 + 30λ Punto crı́tico: Fλ = 0 −→ 20L + 30K = 600 ... (1) FL = 0 −→ 960L−3/5 K 3/5 = −20λ FK = 0 −→ 960L2/5 K −3/5 = −30λ 2 2K = Ambas expresiones: FL y FK se dividen entre 3L 3 K = L −→ En (1) 20L + 30K = 6 000 L = 120 y K = 120 PMÁX = 288 000 unidades.
Problema 6: Determine las siguientes integrales: Z 1 a. dx 3 x â&#x2C6;&#x2019; 12x 2 + 35x Z b. x 5 Lnxdx Z c.
10x 4 ex5
dx
Solución del problema 6: Z Z 1 1 dx = dx a. 2 x(x − 12x + 35) x(x − 7)(x − 5) ! Z A B C = + + dx x x −7 x −5 = ALnx + BLn(x − 7) + CLn(x − 5) + K 1 1 1 = Lnx + Ln(x − 7) − Ln(x − 5) + K 14 10 Z 35 Z 5 b. x Lnxdx = uv − vdu 1 u = Lnx −→ du = dx x x6 dv = x 5 dx −→ v = 6 Z 6 x6 x 1 x6 x6 = .Lnx − . dx = Lnx − + K; K ∈ R 6 6 x 6 36
Z c.
10x 4
Z
dx = ex5 5 u=x du Z= 5x 4 dx =
2du eu
2e −u + K 5
= −2e −x + K ; k ∈ R