Examen Final 2019-01(con sugerencias)

MATEMÁTICA II Profesor(a): Todos Bloques : Todos Duración : 120 minutos

EXAMEN FINAL 2019-01

Instrucciones: No se permite el uso de material de consulta, ni de celulares, palm o laptop.

Se permite el uso de calculadora.

Todos los procedimientos se realizan en el cuadernillo cuadriculado. Únicamente está permitido el uso de lapicero azul o negro.

El plagio se sanciona con la suspensión o expulsión de la Universidad. Reglamento de Estudio art.

59 inciso (k) y art. 61.

1. En la figura mostrada se representan las gráficas de la oferta y demanda.

Complete las siguientes expresiones: a. [1p] La integral que calcula el ____________________________________ b. [1p] La integral que calcula el _______________________________

excedente excedente

del del

consumidor productor

es: [CM] es: [CM]

(a) 4

E C = ∫ [(25 − q 2 ) − 9]dq 0

(b)

IT-017

Página 1 de 4

F-244-1

4

E P = ∫ [9 − [2q + 1)]dq 0

2. El docente de Matemática II plantea lo siguiente: En una tienda comercial del distrito observa que al vender q pares de zapatillas, al precio unitario de p soles, se define la demanda q = f (p). Una consultora predice que la elasticidad puntual de la demanda es − 5 , cuando se venden q = 60 pares de zapatillas.

4

Interprete desde una perspectiva económica el resultado obtenido.

José responde: "Como la elasticidad puntual es − 5 al vender 60 pares de zapatillas, luego la 4 demanda se comporta de manera Inelástica".

Raúl asevera: "Se puede asegurar que un aumento porcentual en el precio de venta nos produce un aumento en el ingreso".

Jesús afirma: "Si el precio experimenta una aumento porcentual del 1%, luego la cantidad vendida disminuye en un 1, 25%".

[3p] Determine el valor de verdad de las afirmaciones de cada uno de los tres estudiantes.

[CM] Justifique.

[1p] José: FALSO Como la elasticidad es

− 54 , luego ∣∣− 54 ∣∣ = 1, 25. El producto es elástico.

[1p] Raúl: FALSO Dado un producto elástico η

= − 54 , luego el incremento en el precio produce una disminución en el ingreso.

[1p] Jesús: VERDADERO Si el precio se incrementa en

1% la cantidad vendida disminuye en 1, 25%

3. Dadas las curvas definidas por y

= 12x − x2; y = 24 − 2x

a. [3p] Grafique en el plano cartesiano la región limitada por las curvas. b. [2p] Calcule el área de la región limitada del ítem anterior.[EC]

[MR]

a) [3p]

IT-017

Página 2 de 4

F-244-1

b) [2p]

4

∫ [(12x − x2 ) − (24 − 2x) − (4 − x)]dx= 1

5x2 x3 - 4x|4 = 4, 5 1 3 2

4. JR SA se dedica a la fabricación de equipos electrónicos, cuyo departamento de calidad estima que el tiempo de vida útil de estos equipos (en horas), se distribuye según la función de densidad f definida por :

f ( t) =

1 −0 ,005 t ,0 200 e

≤ t < +∞

a. [2p] Modele la probabilidad para que el equipo fabricado por JR SA dure mas 150 horas pero menos de x horas (x > 150).

[MR] b. [1p] Calcule la probabilidad que el equipo fabricado por JR SA dure menos de 120 horas, [EC] a) [2p] La probabilidad de que un foco led dure entre 150 y x

1 − t I=∫ e 200 dt 150 200 t 1 − t tenemos que ∫ e 200 = −e− 200 200 entonces

x

3

= e− 4 − e− 200

b) [1p] ∫

120

=−e− 200

∫

=−e

200

=−e−

3 5

x

1 −0,005t dt e 200

0

−120

150

I = −e− 200 − (−e− 200 )

de donde I

t

x horas es dado por

120

0

+1 +1

5. Determine las siguientes integrales a. [2p] ∫

a

b. [2p] ∫

IT-017

b

[EC]

3

e√x dx

9 − 4x dx 2x2 + 5x − 3

[EC]

Página 3 de 4

F-244-1

Nota

3 − 3 − u=√ x − > u3 = x− > 3u2 du = dx ∫ e√x dx = ∫ eu .3u2 du=3u2 eu − 6ueu + 6eu + C , C ∈ R

b 3 3 3 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 3 2 3 − 2 √x -6 ( 3 − 3 − 2 √a -6 e√x dx =3 ( √ x) e a) e √x )e√x + 6e√x ∫ = (3(√b) e√b -6 ( √b)e√b + 6e√b )-(3(√ a a 3 − 3 − 3 − (√ a )e√a + 6e√a )

a) [2p] ∫

b

6. Una compañía se dedica a la comercialización de dos productos A y B. Los precios unitarios de venta de dichos productos son x e y dólares respectivamente, mientras que las cantidades demandas son: DA (x; y) = (120 − x) unidades y DB (x; y) = (90 − y) unidades respectivamente. El costo total en dólares de producir estas demanda están definidas en función de los precios mediante: C (x; y) = x2 + xy + y 2 + 100. a. [1p] Calcule la variación aproximada de la utilidad, cuando el precio de A pasa de [EC] x = 20 a x = 21 mientras que el precio de B pasa de y = 10 a y = 9. b. [2p] Calcule el máximo valor de la función utilidad. Justifique.

[EC] a. ​Modelando la función Utilidad:

U (x; y) = 120x − x2 + 90y − y 2 − x2 − xy − y 2 − 100 U (x; y) = 120x + 90y − xy − 2x2 − 2y 2 − 100 También:

Ux = 120 − y − 4x; Uy = 90 − x − 4y Por definición de variación aproximada

ΔU = Ux (x; y) Δx + Uy (x; y) Δy Evaluando en x = 20 y y = 10, además Δx = 1, Δy = −1 . Obtenemos ΔU = 0

b. Resolviendo las ecuaciones:

Ux = 120 − y − 4x = 0 Uy = 90 − x − 4y = 0

c. Obtenemos x = 26 y y = 16 Calculando el Hessiano Δ ( x; y) Luego tenemos:

= 15 > 0

Δ (26; 16) = 15 > 0; Uxx (26; 16) = −4 < 0 Por el criterio de la segunda derivada tenemos que

IT-017

U (26; 16) = 2180 dólares es la utilidad máxima.

Página 4 de 4

F-244-1