MATEMÁTICA II Profesor(a): Todos Bloques : Todos Duración : 120 minutos
EXAMEN FINAL 2019-01
Instrucciones: No se permite el uso de material de consulta, ni de celulares, palm o laptop. Se permite el uso de calculadora. Todos los procedimientos se realizan en el cuadernillo cuadriculado. Únicamente está permitido el uso de lapicero azul o negro. El plagio se sanciona con la suspensión o expulsión de la Universidad. Reglamento de Estudio art. 59 inciso (k) y art. 61. 1. En la figura mostrada se representan las gráficas de la oferta y demanda.
Complete las siguientes expresiones: a. [1p] La integral que calcula el ____________________________________ b. [1p] La integral que calcula el _______________________________
excedente excedente
del del
consumidor productor
es: [CM] es: [CM]
(a) 4
E C = ∫ [(25 − q 2 ) − 9]dq 0
(b)
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4
E P = ∫ [9 − [2q + 1)]dq 0
2. El docente de Matemática II plantea lo siguiente: En una tienda comercial del distrito observa que al vender q pares de zapatillas, al precio unitario de p soles, se define la demanda q = f (p). Una consultora predice que la elasticidad puntual de la demanda es − 5 , cuando se venden q = 60 pares de zapatillas. 4
Interprete desde una perspectiva económica el resultado obtenido. José responde: "Como la elasticidad puntual es − 5 al vender 60 pares de zapatillas, luego la 4 demanda se comporta de manera Inelástica". Raúl asevera: "Se puede asegurar que un aumento porcentual en el precio de venta nos produce un aumento en el ingreso". Jesús afirma: "Si el precio experimenta una aumento porcentual del 1%, luego la cantidad vendida disminuye en un 1, 25%". [3p] Determine el valor de verdad de las afirmaciones de cada uno de los tres estudiantes. [CM] Justifique. [1p] José: FALSO Como la elasticidad es
− 54 , luego ∣∣− 54 ∣∣ = 1, 25. El producto es elástico.
[1p] Raúl: FALSO Dado un producto elástico η
= − 54 , luego el incremento en el precio produce una disminución en el ingreso.
[1p] Jesús: VERDADERO Si el precio se incrementa en
1% la cantidad vendida disminuye en 1, 25%
3. Dadas las curvas definidas por y
= 12x − x2; y = 24 − 2x
a. [3p] Grafique en el plano cartesiano la región limitada por las curvas. b. [2p] Calcule el área de la región limitada del ítem anterior.[EC]
[MR]
a) [3p]
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b) [2p]
4
∫ [(12x − x2 ) − (24 − 2x) − (4 − x)]dx= 1
5x2 x3 - 4x|4 = 4, 5 1 3 2
4. JR SA se dedica a la fabricación de equipos electrónicos, cuyo departamento de calidad estima que el tiempo de vida útil de estos equipos (en horas), se distribuye según la función de densidad f definida por :
f ( t) =
1 −0 ,005 t ,0 200 e
≤ t < +∞
a. [2p] Modele la probabilidad para que el equipo fabricado por JR SA dure mas 150 horas pero menos de x horas (x > 150). [MR] b. [1p] Calcule la probabilidad que el equipo fabricado por JR SA dure menos de 120 horas, [EC] a) [2p] La probabilidad de que un foco led dure entre 150 y x
1 − t I=∫ e 200 dt 150 200 t 1 − t tenemos que ∫ e 200 = −e− 200 200 entonces
x
3
= e− 4 − e− 200
b) [1p] ∫
120
=−e− 200
∫
=−e
200
=−e−
3 5
x
1 −0,005t dt e 200
0
−120
150
I = −e− 200 − (−e− 200 )
de donde I
t
x horas es dado por
120
0
+1 +1
5. Determine las siguientes integrales a. [2p] ∫
a
b. [2p] ∫
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b
[EC]
3
e√x dx
9 − 4x dx 2x2 + 5x − 3
[EC]
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Nota
3 − 3 − u=√ x − > u3 = x− > 3u2 du = dx ∫ e√x dx = ∫ eu .3u2 du=3u2 eu − 6ueu + 6eu + C , C ∈ R
b 3 3 3 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 3 2 3 − 2 √x -6 ( 3 − 3 − 2 √a -6 e√x dx =3 ( √ x) e a) e √x )e√x + 6e√x ∫ = (3(√b) e√b -6 ( √b)e√b + 6e√b )-(3(√ a a 3 − 3 − 3 − (√ a )e√a + 6e√a )
a) [2p] ∫
b
6. Una compañía se dedica a la comercialización de dos productos A y B. Los precios unitarios de venta de dichos productos son x e y dólares respectivamente, mientras que las cantidades demandas son: DA (x; y) = (120 − x) unidades y DB (x; y) = (90 − y) unidades respectivamente. El costo total en dólares de producir estas demanda están definidas en función de los precios mediante: C (x; y) = x2 + xy + y 2 + 100. a. [1p] Calcule la variación aproximada de la utilidad, cuando el precio de A pasa de [EC] x = 20 a x = 21 mientras que el precio de B pasa de y = 10 a y = 9. b. [2p] Calcule el máximo valor de la función utilidad. Justifique. [EC] a. Modelando la función Utilidad:
U (x; y) = 120x − x2 + 90y − y 2 − x2 − xy − y 2 − 100 U (x; y) = 120x + 90y − xy − 2x2 − 2y 2 − 100 También:
Ux = 120 − y − 4x; Uy = 90 − x − 4y Por definición de variación aproximada
ΔU = Ux (x; y) Δx + Uy (x; y) Δy Evaluando en x = 20 y y = 10, además Δx = 1, Δy = −1 . Obtenemos ΔU = 0
b. Resolviendo las ecuaciones:
Ux = 120 − y − 4x = 0 Uy = 90 − x − 4y = 0
c. Obtenemos x = 26 y y = 16 Calculando el Hessiano Δ ( x; y) Luego tenemos:
= 15 > 0
Δ (26; 16) = 15 > 0; Uxx (26; 16) = −4 < 0 Por el criterio de la segunda derivada tenemos que
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U (26; 16) = 2180 dólares es la utilidad máxima.
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