Trabajo colaborativo M2-CA2 Portafolio virtual
Universidad San Ignacio de Loyola
Problema 1: JR SA es una empresa dedicada a la venta de dos tipos de productos A y B. El primer producto lo vende en xA (soles por galón) y el segundo en xB (soles por galón). Además, la demanda mensual (en galones) del primer y segundo producto respectivamente, es: qA (xA : xB ) = 200 − 10xA − 20xB ; qB (xA ; xB ) = 100 + 15xA − 10xB a. Los productos que se distribuye ¿son sustitutos o complementarios? Justifique su respuesta. b. Calcule las demandas mensuales que maximizan el ingreso. b. Calcule el máximo ingreso.
Problema 2: La utilidad U (en miles de dólares) se relaciona con las cantidades vendidas de x toneladas de zinc e y toneladas de aluminio, según la ecuación implı́cita U 3 − 3xyU − x 5 = 906 + xy
a. Determine la siguiente expresión x b. Interprete el valor de
∂U ∂x
(2; 1)
∂U ∂x
+y
∂U ∂y
Problema 3: JR S.A. produce perfumes tipo 1 y tipo 2, a costos unitarios de 10 dólares y 20 dólares respectivamente. Las demandas anuales (en miles de unidades) están definidas por: q1 = p2 − p1 q2 = 60 + p1 − 3p2 En donde las variables p1 y p2 denotan los precios unitarios de ventas de los perfumes tipo 1 y tipo 2 (en dólares) respectivamente. a. Determine la utilidad de la empresa como función de los precios. b. Calcule los precios de venta de cada uno de los perfumes, para que la empresa obtenga la máxima utilidad. Justifique. b. Calculela utilidad máxima.
Problema 4: La siguiente matriz representa a una matriz de funciones ! 3 2 x − 2 3 − 4x 3x f1 (x) f2 (x) f3 (x) = 2√ A(x) = √ f3 (x) f5 (x) f6 (x) x3 x 3x − 2x 2 3 Respecto de los elementos de la matriz A, se sabe que tres elementos son funciones de x, y los otros tres son sus antiderivadas (no necesariamente en ese orden). Asi por ejemplo, notamos que la antiderivada de f2 (x) = 3 − 4x es f6 (x) = 3x − 2x 2 . Agrupe las parejas de: funciones con sus respectivas antiderivadas.
Problema 5: JR S.A. es una empresa dedicada a la producción y venta de yogurt de fresa y durazno. El departamento de producción estima que el costo de producción de cada frasco de yogurt es de 2 y 3 soles, respectivamente. Además el precio de venta de cada unidad (en soles) viene dado por: pA = 10 − 0.002qA + 0.001qB y pB = 13 + 0.001qA − 0.004qB , respectivamente Las variables qA y qB representan las demandas mensuales de los yogures de fresa y durazno, respectivamente. a. Modele las condiciones que permitan encontrar las cantidades que maximizan la función de utilidad de la empresa. b. Calcule los precios que maximizan la utilidad de la empresa. Justifique.
Problema 6: ALL SPORT es una compañı́a fabricante de implementos deportivos que tiene la siguiente función de producción para uno de sus productos: P(L; K ) = 2400L2/5 K 3/5 Donde la variable P representa el número de unidades producidas con L unidades de mano de obra y K unidades de capital invertido. Si cada unidad de mano de obra le cuesta a la compañı́a 600 soles mientras que cada unidad de capital le cuesta 500 soles. Calcule la cantidad de mano de obra y de capital que permita minimizar los costos de la compañı́a manteniendo la producción constante igual a 5000 unidades.
Problema 7: Se desea optimizar una función f de dos variables definida por la siguiente regla de f (x; y ) = e −xy , sujeta a la restricción x 2 + y 2 = 8 a. Defina la función lagrangeana L, que permita optimizar f . b. Calcule el máximo y minimo de valor de f
Problema 8: Un comerciante tiene un presupuesto de $600 para invertir en dos mercancı́as, la primera tiene un costo de $20 la unidad y la segunda, $30 la unidad. Se ha determinado que la utilidad en dólares obtenida por el comerciante al comprar x unidades de la primera mercancı́a e y unidades de la segunda, está dada por la función de Cobb-Douglas: U(x; y ) = 10x 3/5 y 2/5 a. Calcule la cantidad de cada mercancı́a que el comerciante debe comprar con el objetivo de maximizar su utilidad. b. Calcule la máxima utilidad.