UNIDAD
1
PROGRAMACIÓN LINEAL
• Inecuaciones lineales de una variable • Inecuaciones cuadráticas de una variable. • Inecuaciones polinómicas de una variable • Inecuaciones racionales de una variable • Inecuaciones lineales de dos variables. • Programación lineal
1
CAPÍTULO
1
Inecuaciones lineales de una variable
En este capítulo discutiremos el conjunto solución
Intervalo cerrado
de expresiones de la forma general [a; b] ax + b > 0,
ax + b < 0,
ax + b ≥ 0,
ax + b ≤ 0
a b a ≤ x ≤ b
Intervalo abierto ]a; b[
a b a < x < b
Logro
Intervalo semiabierto
• Explica conceptos y procedimientos relacionados a las inecuaciones lineales utilizando representaciones simbólicas y/o en lenguaje natural en diversos contextos. • Resuelve problemas relacionados a las inecuaciones lineales, aplicando propiedades y procedimientos matemáticos.
2
[a, b[
a b a ≤ x < b
PROBLEMAS NIVEL I
1. Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación 2(1 − x) + 3(2x + 7) ≤ 5x + 16 2. Intersectar el conjunto solución de la inecuación 3(x − 1) ≤ 2x −1 con el conjunto solución de la inecuación 2(x +1) ≥ x −1 3. Determine una inecuación cuyo conjunto solución está representada en la siguiente recta numérica
0
2
4
6
4. Roberto puede gastar a lo más 900 dólares en la compra de una cámara de video y una cantidad de memorias USB. En el mercado la cámara de video se valoriza en 695 dólares y las memorias USB en 5,75 dólares cada una. (a) Determine la inecuación que puede usarse para encontrar el número de memorias USB (x) que podría comprar Roberto. (b) Calcule el máximo número de memorias USB que Roberto podría comprar.
REVISA TU RESPUESTA
1. [7; +∞[ 2. ] − 3; 2] 3. x > 4 4. (a) 695 + 5, 75x ≤ 900 (b) 35 memorias USB
3
PROBLEMAS NIVEL II
1. Resuelva las siguientes inecuaciones x −2 x 5(x − 10) + < +3 2 4 2 (b) 2, 1(x − 5) ≤ 3(4,6−6,1x) + 10 8 (a)
2. JR SA es una empresa que alquila autos a 35 dólares por día, mientras la empresa JH SRL alquila autos similares por 20 dólares por día y una tarifa fija inicial de 75 dólares. ¿Por cuántos días sería más barato alquilar en JH SRL? 3. JR SAC es una distribuidora de lámparas tipo A y factura diariamente 880 soles por la venta de 40 lámpara, sin embargo, cada lámpara tiene un costo de 16 soles y por gastos fijos diarios la distribuida paga 600 soles (a) ¿Cuántas lámparas como mínimo se debía vender para obtener alguna utilidad? (b) Si la distribuida desea utilidades de por lo menos 300 soles diarios. Determine la cantidad de lámparas que se debe vender para alcanzar la meta
REVISA TU RESPUESTA
1. (a) x > 12 (b) x < 5, 065527 2. Más de 5 días 3. (a) 101 lámparas (b) Se debe vender por lo menos 150 lámparas
4
PROBLEMAS RESUELTOS Ejercicio 1 Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación 2(1 − x) + 3(2x + 7) ≤ 5x + 16 Procedimiento
Resolución
Inecuación
2(1 − x) + 3(2x + 7) ≤ 5x + 16
Propiedad distributiva
1 − 2x + 6x + 21 ≤ 5x + 16
Reducir términos
4x + 23 ≤ 5x + 16
Inecuación
23 − 16 ≤ 5x − 4x
equivalente
7≤x
Conjunto solución
CS = {x ∈ R/x ≥ 7} = [7; +∞[
Otra representación −∞
7
+∞
Ejercicio 2 Resuelva la siguiente inecuación x −2 x 5(x − 10) + < +3 2 4 2 Procedimiento
Reduciendo términos
Resolución 10(x − 10) 12 2(x − 2) x + < + 4 4 4 4 2x − 4 + x 10x − 100 + 12 < 4 4 3x − 4 < 10x − 88
Inecuación equivalente
84 < 7x
Propiedad
12 < x C.S. = {x ∈ R/x ≥ 12} = [12; +∞[
Conjunto solución Otra representación
−∞
5
12
+∞
CAPÍTULO
2
Inecuaciones cuadráticas de una variable
En este capítulo discutiremos el conjunto solución
Si a es una constante real
de expresiones de la forma general
1. ∀x ∈ R ⇒ x 2 ≥ 0
∀a 6= 0, ax 2 + bx + c > 0,
ax 2 + bx + c < 0,
2. ∀x ∈ R ⇒ (x − a)2 ≥ 0
ax 2 + bx + c ≥ 0,
ax 2 + bx + c ≤ 0
3. Si x 2 ≥ a2 entonces el conjunto solución se representa −∞
−|a| |a|
+∞
4. Si x 2 ≤ a2 entonces el conjunto solución se representa
Logro
−∞ • Formular una o varias estrategias en la resolución de problemas de inecuaciones
5. Si x 2
−|a| |a| <
+∞
a2 entonces
cuadráticas utilizando adecuadamente
el conjunto solución
propiedades y procedimientos
se representa con el
matemáticos.
conjunto abierto −∞
6
−|a| |a|
+∞
PROBLEMAS NIVEL I
1. Resuelva las siguientes inecuaciones (a) x 2 ≥ 25 (b) 3x 2 ≤ 2x 2. Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones cuadráticas (a) x 2 − 3x + 2 < 0 (b) 2x 2 − 1 ≥ x 3. Defina un intervalo de números positivos que cumplan lo siguiente “al elevar al cuadrado dichos números siempre sean menor que el mismo número” 4. JR es una empresa cuyos ingreso (I) en soles, se definen por I = 3q − 0, 1q 2 Donde q es el número de unidades vendidas por JR (a) Determine la inecuación que permita conocer las unidades vendidas por JR para que el ingreso sea por lo menos 12, 5 soles. (b) Resuelva la inecuación del item anterior
REVISA TU RESPUESTA
1. (a) ] − ∞; −5] ∪ [5; +∞[ (b) [0; 23 ] 2. (a) ]1; 2[ (b) ] − ∞; −1/2] ∪ [1; +∞[ 3. ]0; 1[ 4. (a) 3q − 0, 1q 2 ≥ 12, 5 (b) [5; 25] unidades 7
PROBLEMAS NIVEL II
1. Resuelva las siguientes inecuaciones (a) (x + 2)2 + 3 < 4x + 8 (b) (2x + 3)(x − 2) ≥ (3x + 2)(1 − 2x) 2. Determine las inecuaciones cuadráticas cuyo conjunto solución se representan en la recta numérica (a) −∞
−3
(b) −∞
3 1 3
2 3
3. Resuelva las siguientes inecuaciones (a) x 2 − 2x + 1 > 0 (b) 4x 2 + 4x + 1 < 0 (c) x 2 + x + 1 > 0
REVISA TU RESPUESTA
1. (a) ] − 1; 1[ (b) ] − ∞; 1] ∪ [1; +∞[ 2. (a) x 2 < 9 (b) 9x 2 − 9x + 2 ≥ 0 3. (a) ] − ∞; 1[ ∪ ]1; +∞[ = R − {1} (b) ∅ (c) R
8
+∞ +∞
PROBLEMAS RESUELTOS Ejercicio 1 Resuelva las siguientes inecuaciones 1. x 2 − 7x − 8 ≥ 0 √ √ 2. x 2 + ( 3 − 1)x − 3 < 0 Procedimiento
Resolución a)
Factorizar
la
x 2 − 7x − 8 ≥ 0
expresión
(x − 8)(x + 1) ≥ 0
cuadrática Ubicar
en
numérica
la los
recta puntos
−
+ −∞
−1
+ +∞
8
críticos x ∈] − ∞; −1] ∪ [8; +∞[
Seleccionamos los valores de x que cumplen la desigualdad Determinar
el
C.S = {x ∈ R/x ≤ −1 ∨ x ≥ 8}
conjunto
C.S =] − ∞; −1] ∪ [8; +∞[
solución de la inecuación b) Factorizar
la
√ √ x 2 + ( 3 − 1)x − 3 < 0 √ (x − 3)(x − 1) < 0
expresión
cuadrática Ubicar
en
numérica
la los
recta puntos
+
√
−∞
− 3
−
+
críticos x ∈] −
Seleccionamos los valores
+∞
1 √
3; 1[
de x que cumplen la desigualdad Determinar
el
C.S = {x ∈ R/ − √ C.S =] − 3; 1[
conjunto
solución de la inecuación
9
√
3 < x < 1}
Ejercicio 2 Resuelva la siguientes inecuaciones 1. 9x 2 ≤ 6x − 1 2. (x − 1)(x + 2) ≤ (2x + 1)(x + 3) Procedimiento
Resolución a)
Factorizar
la
9x 2 − 6x + 1 ≤ 0 (3x − 1)(3x − 1) ≤ 0
expresión
(3x − 1)2 ≤ 0
cuadrática Ubicar
en
la
+
recta
+
−∞
numérica el punto crítico
+∞
1 3
Seleccionamos los valores
x=
1 3
de x Determinar
el
C.S = { 13 }
conjunto
solución (C.S.) b) (x + 1)(x + 2) ≤ (2x + 1)(x + 3) x 2 − x − 2 ≤ 2x 2 + 7x + 3
Desarrollando las expresiones
0 ≤ x 2 + 8x + 5 0 ≤ (x + 4)2 − 42 + 5 0 ≤ (x + 4)2 − 11 √ √ 0 ≤ (x + 4 + 11)(x + 4 − 11) − + +
Factorizando la expresión
Ubicar el punto crítico en la recta numérica Seleccionamos los valores
−∞
−4 −
√
x ∈] − ∞; −4 −
11
√
√
11 − 4
+∞
√ 11[ ∨ ] 11 − 4; +∞[
de x, que cumplen la desigualdad Determinamos el conjunto solución
√ √ C.S = {x ∈ R/x < −4 − 11 ∨ x > 11 − 4} √ √ C.S =] − ∞; −4 − 11[ ∪ ] 11 − 4; +∞[
10
CAPÍTULO
3
Inecuaciones polinómicas y racionales de una variable
En este capítulo discutiremos el conjunto solución
Si a es una constante real
de expresiones de la forma general ∀a 6= 0
1. ∀x ∈ R ⇒ x 2 ≥ 0
ax m + .. + bx + c > 0, ax m + ... + bx + c < 0,
2. ∀x ∈ R ⇒ (x − a)2 ≥ 0
ax m + .. + bx + c ≥ 0,
3. Si x 2 ≥ a2 entonces el
ax m + .. + bx + c ≤ 0
conjunto solución se representa −∞
−|a| |a|
+∞
4. Si x 2 ≤ a2 entonces el conjunto solución se representa
Logro
−∞ • Formular una o varias estrategias en la resolución de problemas de inecuaciones
5. Si x 2
−|a| |a| <
+∞
a2 entonces
polinomicas y racionales utilizando
el conjunto solución
adecuadamente propiedades y
se representa con el
procedimientos matemáticos.
conjunto abierto −∞
11
−|a| |a|
+∞
PROBLEMAS NIVEL I
1. Resuelva las siguientes inecuaciones (a) x 3 ≥ 1 (b) x(x − 1)(x − 2) < 0 2. Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones cuadráticas (a) (1 − x)(x + 3)(x − 5) ≥ 0 (b)
x +1 x −1
≤0
3. Defina un intervalo de números positivos que cumplan lo siguiente “al elevar dichos números a la potencia cuatro siempre sean menor que 16” 4. JH es una empresa cuyos costos (C) en dòlares, se definen por C = 1500 + 3q − 0, 1q 2 + 0, 01q 3 Donde q es el número de unidades producidas por JH Modele la inecuación que permita conocer las unidades producidas por JH para que los costos sea a lo màs 2600 soles.
REVISA TU RESPUESTA
1. (a) [1; +∞[ (b) ] − ∞; 0[ ∪ ]1; 2[ 2. (a) ] − ∞; −3] ∪ [1; 5] (b) [−1; 1[ 3. ]0; 2[ 4. 0, 01q 3 − 0, 1q 2 + 3q − 1100 ≤ 0
12
PROBLEMAS NIVEL II
1. Resuelva las siguientes inecuaciones (a) x(x − 2)3 (x + 2) < 0 (b) (2x + 3)2 (x − 2)5 (3x + 12) ≥ 0 2. Determine una inecuaciòn que no sea cuadrática cuyo conjunto solución se representan de la siguiente manera: (a) −∞
−2
4
(b) ] − ∞; −3] ∪ [1; 6[ ∪ [10; +∞[ 3. Resuelva las siguientes inecuaciones (a) (b) (c)
x 2 − 2x + 1 x −7
>0
(x − 2)3 (x + 2)2 x +3 1 2x + 4
≥
≥0
1 x
REVISA TU RESPUESTA
1. (a) ] − ∞; −2[ ∪ ]0; 2[ (b) ] − ∞; −4] ∪ {− 23 } ∪ [2; +∞[ 2. (a) (b)
1 (x + 2)(x − 4)
<0
(x − 10)(x − 1)(x + 3) (x − 6)
≥0
3. (a) ] 7; +∞[ (b) ] − ∞; −3 [ ∪ {−2} ∪ [2; +∞[ (c) ] − ∞; −4] ∪ ] 2; 0 [ 13
+∞
PROBLEMAS RESUELTOS Ejercicio 1 Resuelva las siguientes inecuaciones a) (x + 4)5 (x − 6)3 ≥ 0 b)
x −1 (x + 3)3
<0
Procedimiento
Resolución a) x + 4 = 0; x − 6 = 0
Puntos críticos Ubicar los puntos críticos en la recta numérica
x = −4; x = 6 − +
+ −∞
−4
6
+∞
x ∈] − ∞; −4] ∪ [6; +∞[
Reconocemos los valores de x y la región positiva
C.S = {x ∈ R/x ≤ −1 ∨ x ≥ 8}
Conjunto solución
C.S =] − ∞; −1] ∪ [8; +∞[ b)
Puntos críticos Ubicar los puntos críticos en la recta numérica
x = 1; x = −3 − +
+ −∞
−3
1
+∞
x ∈] − 3; 1[
Reconocemos los valores de x y la región negativa
C.S = {x ∈ R/ − 3 < x < 1}
Conjunto solución
C.S =] − 3; 1[
14
Ejercicio 2 Resuelva la siguientes inecuaciones a) (2 − x)20 ≤ 0 b)
1 (1 − x 4 )3
≤0
Procedimiento
Resolución a)
Único punto crítico
x =2 +
Ubicar el punto crítico en la
+
−∞
recta numérica
+∞
2 x ∈ {2}
Reconocemos los valores de x y la región negativa
C.S = {2}
Conjunto solución (C.S.) b)
(1 − x 4 ) = 0 (1 − x 2 )(1 + x 2 ) = 0
Punto crítico
Ubicar el punto crítico en la recta numérica
− −∞
x = −1; x = +1 + −1
−
1
x ∈] − ∞; −1[ ∪ ]1; +∞[
Reconocemos los valores de x y la región negativa
C.S = {x ∈ R/x < −1 ∨ x > 1
Conjunto solución
C.S =] − ∞; −1[ ∪ ]1; +∞[
15
+∞