Solucionario: Taller M1 - CA1 PraĚ ctica Calificada No 4
Universidad San Ignacio de Loyola
Problema 1: En economı́a, la ley de la demanda establece que mientras menor es el precio de un bien, los consumidores desean comprar más; mientras que en términos matemáticos esto significa que la demanda es una función decreciente del precio (en el primer cuadrante). Del listado de las siguientes funciones: Función 1: q = f (p) = 25 − 9p √ Función 2: q = g (p) = 100 − 3p Función 3: q = h(p) = 3 + p 2 ¿Escogerı́a alguna función para modelar la demanda de un consumidor?
Solución del problema 1: dq f1 : q = 25 − 9p → = −9 (f1 es decreciente) dp −3 dq √ f2 : q = 100 − 3p → = √ (f2 es decreciente) dp 2 100 − 3p dq f3 : q = 3 + p 2 → = 2p (f3 es creciente) dp Notamos que la función 1 y la función 2, modelan a una demanda.
Problema 2: El docente de Matemática propone el siguiente problema: “JR S.A es una consultora que estima que dentro de t meses, la población de cierta comunidad será: P(t) = −t 2 + 20t + 8000 habitantes. Juan y Roberto son dos estudiantes que afirmaron lo siguiente: Juan sostiene: “JR S.A. pronostica que al superar los 10 años, la población siempre se incrementa.” Roberto asevera: “La consultora estima que la población nunca superará los 8200 habitantes”. ¿Los estudiantes respondieron correctamente? Justifique su respuesta.
Solución del problema 2: Dentro de t meses la población P = −t 2 + 20t + 8000 hab. Juan: FALSO (Al superar los 10 años o 120 meses) Si la población crece luego P 0 (t) > 0 De los datos P 0 (t) = −2t + 20 con t > 120 → P 0 < 0 Roberto: VERDAD El máximo valor de la población se calcula mediante: P 0 (t) = 0 −2t + 20 = 0 t = 10 P 00 (t) = −2 (Cóncava hacia abajo) En t = 10, P es máximo y su valor se calcula en: Pmáx = P(10) = −(10)2 + 20(10) + 8000 = 8100 habitantes.
Problema 3: Después de transcurrir t meses de funcionamiento, las utilidades de cierta compañı́a se calculan mediante la siguiente función:U(t) = 2te −0,125t a. Determine el periodo de tiempo para que la utilidad de la compañı́a aumente. b. Calcule la máxima utilidad.
Solución del problema 3: U = 2te −0,125t a. U crece → U 0 > 0 → 2e −0,125t + 2t(e −0,125t , (−0, 125)) > 0 → e −0,125t (2 − 0, 25t) > 0 →t<8 El perı́odo de tiempo [0; 8] b. Umáx • Punto Crı́tico de U → U 0 = 0 −→ t = 8 • Usando el criterio de la segunda derivada: U 00 = e −0,125t .(−0, 125)(2 − 0, 25t) + e −0,125t .(−0, 25) U 00 = e −0,125t [−0, 50 + 0, 3125t] en t = 8 → U 00 < 0 16 • Umáx = U(8) = 2(8)e −0,125181 = 16e −1 = U.M. 8
Problema 4: En la reserva ecológica de Chaparri, existe un número de especies de un pequeño mamı́fero que se quiere salvar de la extinción. El número de 3 especies está modelado por la función P(t) = 5 − . t +1 Si la variable t representa el número de años transcurridos a partir del año 2010 y cada unidad de P(t) representa 100 especies, entonces: a. Calcule el número de especies en la reserva al inicio del estudio. b. Si la derivada de P(t) con respecto de t, representa la tasa de crecimiento en el tiempo t de la especie, calcule la tasa de crecimiento en el año 2015. c. ¿Qué sucede con la tasa de crecimiento a largo plazo?
Solución del problema 4: a. P(t) = 5 −
3
t +1 Año 2010: t = 0 → P(0) = 2 (Representa a 200 especies) !0 3 3 b. P 0 (t) = − = t +1 (t + 1)2 3 1 t = 5 → Año 2015, luego P 0 (5) = = 36 12 Interpretamos: El incremento de 12 años, se incrementan en 100 especies. c. Tasa de crecimiento =
3 (t + 1)2
A largo plazo, entonces lim
3
(t + 1)2 No hay incremento de la población. t→∞
=0
Problema 5: Dada la función f (x) =
20 − x 2
x 2 + 20 a. Las ası́ntotas de la función.
, x > 0. Determine:
b. Los valores máximos y mı́nimos relativos. c. La gráfica de la función. Solución del problema 5: 20 − x 2 f (x) = 2 x + 20 a. Ası́ntotas verticales, no hay. Ası́ntotas horizontales. Derecha: y = lim f (x) = lim x→+∞
x→+∞
Izquierda: y = lim f (x) = −1 x→−∞
20 − x 2 x 2 + 20
! = −1
b. Punto crı́tico: f 0 (x) = 0 (−2x)(x 2 + 20) − (20 − x 2 )(2x) f 0 (x) = (x 2 + 20)2 80x f 0 (x) = − 2 (x + 20)2 80x f 0 (x) = − 2 =0→x =0 (x + 20)2 Usando el criterio de la segunda derivada: − 80(x 2 + 20) − (−80x)(2)(x 2 + 20)(2x) f 00 (x) = (x 2 + 20)4 2 (x + 20)(−80(x 2 + 20) + 320x 2 ) f 00 (x) = (x 2 + 20)4 00 En x = 0 → f (x) < 0 (un máximo relativo) 20 − 02 fmáx = f (0) = 2 =1 0 + 20
c. Intercepto con el eje X: f (x) = 0 20 − x 2 = 0 √ x = ±2 5
Problema 6: Resuelva cada uno de los ejercicios siguientes: ! f (1 + h) − f (1) √ a. lim , siempre que f (x) = x + 3 h→0 h 2
b. Si f (x) = 1 − x , calcule lim
h→0
c. lim
x→∞
! f (x + h) − f (x) h
(x − 19)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5) (2x − 1)5
!
Solución de problema 6: a. lim
√
! f (1 + h) − f (1)
= lim h→0 ! h 1 √ √ = 4 h( 4 + h + 4) h
h→0
= lim
h→0
2
b. Si f (x) = 1 − x , calcule lim
h→0
c. lim
4+h−
√ ! 4
h
! f (x + h) − f (x) h
(x − 19)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5) (2x − 1)5
x→∞
limx→∞
x5 (2x)5
! =
1 32
=8
!
Problema 7: El horario de apertura en invierno del Parque de Las Leyendas es a las 8:00h. El administrador estima que el número de visitantes (en cientos), a t horas después de su apertura, está dado por: N(t) = 100t (4 + t 2 )−1/2 a. Utilice el criterio de primera derivada para definir el horario bajo el cual el número de visitantes siempre crece. b. Calcule la razón de cambio instantánea del número de visitantes del parque respecto del tiempo a las 13:00h.
Solución del problema 7: a. N = 100t(4 + t 2 )−1/2 N 0 = 100(4 + t 2 )−1/2 + 100t
1 − (4 + t 2 )−3/2 .2t 2
N 0 = 100(4 + t 2 )−1/2 − 100t 2 (4 + t 2 )−3/2 100(4 + t 2 ) − 100t 2 400 3/2 N0 = = >0 4 + t2 (4 + t 2 )+3/2 La función siempre es creciente. b. N 0 (5) =
400 (29)3/2
!
Problema 8: El gerente de producción de una fábrica ha establecido que cuando se producen q unidades de cierto producto, su costo total es de C (q) = 162 + 5q + q 3 miles de soles. Se sabe además que la demanda del producto se define por p = 180 − 2q, en donde p es el precio unitario en miles soles de cada producto. a. Calcule el nivel de producción que maximiza la utilidad. b. Calcule los ingresos y costos cuando se maximiza la utilidad.
Solución del problema 8: U =I −C U = (180 − 2q)q − (162 + 5q + q 3 ) U = 175q − 2q 2 − q 3 − 162 Punto crı́tico de U: U 0 = 0 175 − 4q − 3q 2 = 0 q = −8, 33 ∨ q = 7 Usamos el criterio de la segunda derivada: U 00 = −4 − 6q, en q = 7 → U 00 < 0 El nivel de producción que maximiza la utilidad es q = 7 unidades. a. Umáx = U(7) = 175(7) − 2(7) − (7)3 − 162 = 622 b1. Ingreso= 180q − 1q 2 I (7) = 180(7) − 2(7)2 = 1162 b2. Costo = 162 + 5q + q 3 C (7) = 162 + 5(7) + (7)3 = 540