Taller EP M2 CA2 2020-1

TALLER:EXAMEN PARCIAL Taller M2-CA2 2020-1

Universidad San Ignacio de Loyola

Problema 1: La ecuación de la demanda de un producto es: q=

60 + Ln(65 − p3 ) p

La variable p representa el precio unitario (en dólares/unidad) de la venta de q unidades demandadas. a) Determine una fórmula que permitan calcular la elasticidad puntual de la demanda del producto. b) Supongamos que el precio actual de cada unidad del producto es 4 dólares, y se disminuye en el 2%, estime la variación en la cantidad vendida.

Resolución del problema 1: 60 dq −60 −3p2 a) q = + Ln(65 − p3 ) → = 2 + p dp p 65 − p3 p dq La elasticidad puntual de la demanda n = . q dp p −60 3p2 n= .( 2 − ) 60 p 65 − p3 + Ln(65 − p3 ) p b) Utilizando la elasticidad, p = 4 → n = −13, 8 ∆q(%) = −13, 8 Por dato ∆p(%) = −2% → ∆q(%) = 27, 6%, n= ∆p(%) luego ∆q = 27, 6%(15) = 4, 14 Aproximadamente aumenta en 4 unidades.

Problema 2: “A los precios de venta unitarios p1 y p2 se demandan dos artı́culos q1 y q2 , según: q1 = −2p1 − 7p2 + 8 y q2 = 3p1 − p2 + 7” Respecto a los efectos de los cambios de los precios sobre la demanda para dichos artı́culos. Los estudiantes Juan, Rosa y Pilar afirman: ∂q1 • Juan: ”Como = −7, luego los artı́culos son bienes sustitutos”. ∂p2 ∂q2 • Rosa: ”Al calcular resulta el valor 3, luego la demanda del ∂p1 segundo artı́culo aumenta a medida que el precio del segundo artı́culo también aumenta”. ∂q • Pilar: ”Se observa que 2 = −1, y esto implica que la demanda del ∂p2 segundo artı́culo disminuye a medida que el precio del mismo artı́culo aumenta, siempre que el precio del primer artı́culo sea constante”.

A su juicio, ¿las afirmaciones de los estudiantes son verdaderas o falsas? Justifique.

Resolución del problema 2: Juan (Proposicion falsa) ∂q1 ∂q2 >0y >0 ∂p2 ∂p1 De acuerdo a los datos no se cumple la condición.

Rosa (Proposicion falsa) ∂q2 =3 ∂q1 La demanda del segundo artı́culo aumenta a medida que aumenta el precio del primer artı́culo; siempre que el precio del segundo artı́culo sea CONSTANTE. Pilar (Proposicion Verdadera) ∂q2 = −1 ∂p2 Si los bienes son sustitutos, entonces

Problema 3: JR SAC es una empresa agrı́cola que se dedica al cultivo de maı́z que vende y distribuye en avı́colas de cierta región del paı́s. La producción se modela por: Q(L; K) = 252L1/3 K 2/3 toneladas mensuales de maı́z Considere que la variable L representa el número de trabajadores y K el número de equipos de maquinaria pesada para su cultivo y producción.

Actualmente la empresa cuenta con 343 trabajadores y 64 equipos de maquinaria pesada. ∂Q ∂Q (L; K) y (L; K) ∂L ∂K b Si el próximo mes, 7 trabajadores dejarán de trabajar, por lo que la empresa alquilará 3 equipos más de maquinaria pesada; calcule la variación real de la producción. a Determine

Resolución del problema 3: a Las derivadas parciales son: !2/3 ∂Q K ∂Q (L; K) = 84 y (L; K) = 168 ∂L L ∂K

K

!1/3

L

b Con los cambios, se tiene lo siguiente: L K Q 343 64 28224 336 67 28899,93294 La producción mensual aumentará aproximadamente en 675, 93 toneladas mensuales de maı́z.

Problema 4: Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios: √ (x2 + x)5 × 4 x dy a Si y = . , determine 2 7 (x + 4) dx b Calcule el valor del siguiente lı́mite: 3

lim

x→1

( c Si

x +3

! x24ln−1x

x2 + 1

d2 p p(t) = 5 − 2e−t , luego el valor de en el punto t = ln2. dq 2 q(t) = 3tet

Resolución del problema 4: a Aplicando logarı́tmos a ambos miembros, luego la derivación logarı́tmica se obtiene: " # 5(2x + 1) 1 7(2x) dy =y + − dx x2 + x 4(x) x2 + 4 0 b Al evaluar el lı́mite en el exponente resulta la forma indeterminada 0 Aplicando la regla de en el exponente se tiene que: L’Hospital

4x3 1 3 lim lim 1/2 x + 3 x→1 2/x 2 x→1 2x4 2 lim = = x→1 x2 + 1 3 3

Problema 5: Una empresa de transporte cuenta con camiones y camionetas. Se ha establecido que si los camiones trabajan x horas diarias y la camionetas trabajan y horas diarias, entonces la utilidad por dı́a de la empresa expresado en dólares es dada por: Q(x; y) = 3x2 + 2y 2 Actualmente, los camiones trabajan 10 horas diarias y las camionetas 20 horas diarias. a) Calcule la utilidad diaria de la empresa. b) La empresa ha determinado que es necesario que se realice un mantenimiento a las camionetas por lo cual el número de horas que trabajarán será de 18 horas diarias. Calcule el número de horas diarias que debe trabajar los camiones, de modo que la ganancia diaria permanezca en su nivel actual.

Resolución del problema 5: a) Actualmente, la utilidad diaria es Q(10; 20) = 3(10)2 + 2(20)2 = 1100 dólares. b) Utilizaremos la variación real: Por dato y = 18, entonces calcularemos el valor de x, que cumple: Q(x; 18) = 3x2 + 2(18)2 2 2 La utilidad no varı́a, r entonces 3x + 2(18) = 1100 452 = 12, 27 horas.

De donde x = 3