Innhold 1 Tall Vi øver på å legge sammen og trekke fra 4 Regning med positive og negative tall 5 Vi øver på å gange og dele 7 Regning med desimaltall 9 Regnerekkefølge 13 Brøk 14 Avrunding 15 Veien om 1 16
2 Likninger Bokstavregning 18 Likninger 19
3 Formler Formler 27 Proporsjonalitet 29
4 Prosent Prosent 34 Vanlig prosentregning 37
5 Lønn Lønn 47 Skatt 48 Feriepenger 49
6 Lengde og målestokk Lengdeenheter 51 Målestokk 57
7 Flate Pytagorassetningen 59 Omkrets 64 Areal 66
8 Rom Perspektivtegning 70 Liter, desiliter, centiliter og milliliter 71 Volum av prisme 74 Overflaten av prisme 76
9 Sparing Sparing 78 Fasit 83
Forord Matematikk for yrkesfag – Forenklet er én av komponentene i læreverket Matematikk for yrkesfag. Læreverket består av • • • •
Lærebok, alt-i-ett Forenklet tilleggsbok Digitale elevressurser Digital lærerressurs
Forenklet tilleggsbok Denne engangsboka har de samme kapitlene som læreboka. Utvalgte, grunnleggende emner innføres med et minimum av teori og med enkle oppgaver. Du loses gjennom fagstoffet med tydelige eksempler, via delvis løste oppgaver til mer selvstendig arbeid. Boka har først og fremst to målgrupper: 1. Elever som skal ha vurdering med karakter, men som trenger å repetere grunnleggende matematikk. 2. Elever med individuell opplæringsplan (IOP) i matematikk, og som ikke skal ha vurdering med karakter i faget. Når du mestrer oppgavene i denne boka, bør du gi deg i kast med de røde oppgavene i læreboka. Vi håper og tror at vi har lykkes med å gjøre det enkelt for deg å få en god start på matematikken i videregående skole.
Takk og lykke til! Vi takker Linda Fjeldberg for gode forslag og innspill. En spesiell takk går til teknisk redaktør Fred Alvad og redaktør Ingun Kjelsvik Holøyen. Opp gjennom årene har vi fått mange nyttige tilbakemeldinger fra elever og lærere. Ønsker du å gi kommentarer, kan du bruke adressen matematikkforyrkesfag@aschehoug.no. Vi ønsker deg lykke til med bruken av boka! Hilsen John Engeseth, Odd Heir og Håvard Moe
4
1 Tall
1 Tall Vi øver på å legge sammen og trekke fra Eksempel 1 Regn ut. 25 + 18
Gjør slik: 1
25 + 18
Vi begynner bakerst. 5 + 8 = 13
= 43
Vi fører 3-tallet ned, og 1 i mente.
Eksempel 2 Regn ut. 35 − 16
Gjør slik: 10
35 − 16 = 19
101 Regn ut. 35 + 7
Regn her:
102 Regn ut. 43 − 15
Regn her:
103 Regn ut. 47 + 16
Regn her:
Vi begynner bakerst. 5 − 6 «går ikke», vi må låne én tier.
1 Tall
104 Regn ut. 64 − 25
Regn her:
105 Regn ut. 85 − 38
Regn her:
Fig_1_02
Regning med positive og negative tall –4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tallene som er merket av på tallinja ovenfor, er hele tall. Pila helt til høyre på tallinja viser at tallene blir større jo lenger mot høyre vi kommer. −1 er altså større enn −3.
NB!
Negative tall er mindre enn null. Positive tall er større enn null. Tallene blir større jo lenger mot høyre på tallinja vi kommer.
106 a Skriv to hele tall som er større enn 5 og mindre enn 10. _________________________________ b Skriv to hele tall som er mindre enn −3. ______________________________________________ c Skriv tre hele tall som er større enn −7 og mindre enn −2. _______________________________
107 a Hvilket tall er størst av −4, −20 og 12? __________
Forklar hvorfor: __________________________________________________________________
b Er det riktig å si at −10 er større enn −2? ____________________
Begrunn svaret: __________________________________________________________________
c Skriv tallene i stigende rekkefølge. (Det betyr at du skal begynne med det minste tallet.) 5, −5, −10, 7, 2 ________________________________________________________________________________
5
6
1 Tall
Fig_1_02
Eksempel 3 Regn ut. a −1 + 5
Gjør slik: Fig_1_03 a
+5 –2 –1
b −1 − 3
0
1
2
3
4
5
−1 + 5 = 4
b
–3 –5
–4
–3
–2 –1
0
1
2
−1 − 3 = −4 Fig_1_04
108 Regn ut. a −3 + 2
Regn her. Gjør som i eksemplet ovenfor. a Fig_1_05
–3
b
b 3 − 5 Fig_1_06
–2 –1
0
–3
–2 –1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
109 Regn ut. a −2 + 7 = ______ b 5 − 8 = ______ c −3 − 3 = ______ d 6 − 10 = ______ e 8 − 12 = ______
1
3 − 5 = _______
Bruk denne tallinja i den neste oppgaven. 0
2
3
4
2
3
4
−3 + 2 = _______
–6 –5 –4 –3 –2 –1
1
f −5 + 8 = ______
110 Skriv riktig tall i boksene. a −5 +
= 2 b 15 −
= 3 c −8 +
=4
d 5 −
= −7 e −2 +
= 5 f −1 −
= −10
1 Tall
Fig_1_07
111 a Les av på diagrammet. Antall jenter i laget: __________ Antall voksne medlemmer: __________ b Hvor mange medlemmer er det til sammen i laget? __________
Medlemmer i idrettslaget 80 70 60 50 40 30 20 10 0
c På årsmøtet blir det sagt at mer enn halvparten av medlemmene i laget er voksne. Jenter
Gutter
Voksne
Er det sant? _____________________
Fig_1_08 112
Figuren viser salget av T-skjorter siste uke hos T-shirt-spesialisten. a Hvor mange T-skjorter solgte butikken?
60
______________________ b Hvis vi legger sammen salget av størrelsene S og L, blir det større eller mindre enn salget av størrelsen M?
50 40 30 20 10 0
_____________________________________ S
M
L
_____________________________________
Vi øver på å gange og dele 113 Regn ut. a 7 ⋅ 3 = _______
b 5 ⋅ 4 = _______
c 8 ⋅ 5 = _______
d 9 ⋅ 4 = _______
e 8 ⋅ 6 = _______
f 4 ⋅ 9 = _______
a 8 : 2 = _______
b 9 : 3 = _______
c 25 : 5 = _______
d 21 : 7 = _______
e 5 ⋅ 6 = _______
f 7 ⋅ 6 = _______
a 36 : 9 = _______
b 28 : 7 = _______
c 81 : 9 = _______
d 24 : 4 = _______
e 8 ⋅ 7 = _______
f 9 ⋅ 8 = _______
114 Regn ut.
115 Regn ut.
7
8
1 Tall
116 Hvilket tall skal stå i boksene? a 5 ⋅
= 15 b 8 :
= 2 c
⋅ 5 = 20 d
: 4=5
= 28 c
:5 = 3 d
⋅ 3 = 27
117 Hvilket tall skal stå i boksene? a 24 :
= 3 b 7 ⋅
118 a Kan vi gange 6 med et helt tall og få 35 til svar? ___________________ b Kan vi gange 7 med et helt tall og få 56 til svar? ___________________ c Kan vi gange 5 med et helt tall og få 65 til svar? ___________________ 119 a Sett ring rundt de tallene som er i 3-gangen. 7 15 17 24 33 b Sett ring rundt de tallene som er i 4-gangen. 4 10 15 20 36 120 Fig_1_09 Figuren
viser hvor mange elever som hver uke kom på leksehjelpen i ukene mellom jule- og vinterferien.
......
32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
Uke 2
Uke 3
Uke 4
Uke 5
Uke 6
Uke 7
a Hvilken uke kom det flest? _______________________ b Hvilke uker kom det flere enn 22 elever? _________________________ c De som kommer på leksehjelpen, får mat. Matutgiftene er 12 kr per elev. Hvor store var matutgiftene den uka det kom færrest elever? _____________________________________________________________
1 Tall
121 Figuren viser antall deltakere i Solfjellet rundt de siste årene.
Fig_1_10
a Hvor mange deltok i 2012? _________ b Hvor stor var økningen fra 2010 til 2013?
......
750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0
_____________________________________
c I 2012 var startkontingenten 85 kr. Hvor stor var inntekten fra start kontingenten det året?
Regn her:
2009
2010
2011
2012
2013
Regning med desimaltall Tallet 1,23 har tre sifre. Det har to desimaler. Tallet 3,124 har fire sifre. Det har tre desimaler.
Eksempel 4 Regn ut. 2,7 + 3, 5
Gjør slik: 1
2,7 + 3,5 = 6,2
Eksempel 5 Regn ut. 45 − 6,8
Fig_1_11
Gjør slik: I 6,8 er det én desimal. I 45 er det ingen desimaler, men 45 er det samme som 45,0. Vi skriver 45,0 for å få bedre oversikt. 10 10
45,0 6,8 = 38,2
9
10
1 Tall
I de neste oppgavene regner du først ut svaret i kladdefeltet til høyre. Deretter skriver du svaret inn på svarlinja. 122 Regn ut. a 8,5 + 7,6 = _____ b 4 + 2,8 = _____ c 6,5 + 4,8 = _____
d 6 + 8,5 = _____
e 7,5 + 23,8 = _____
f 5,9 + 27 = _____
123 Regn ut. a 8,5 − 3,6 = _____ b 9,5 − 7,8 = _____ c 8 − 2,9 = _____
d 12,4 − 4,5 = _____
e 17 − 6,8 = _____ f 32,4 − 17,5 = _____
Eksempel 6 Regn ut. 12,5 ⋅ 3,8
Gjør slik: 24
12,5 ⋅ 3,8 1000 375 4750 12,5 ⋅ 3,8 = 47,50
Regn ut på kladd og skriv svarene inn på svarlinja. 124 Regn ut. a 3,8 ⋅ 2 = _______
b 8,5 ⋅ 4,3 = _______
c 6,7 ⋅ 2,5 = _______
d 3,8 ⋅ 6,3 = _______
e 12,5 ⋅ 4,3 = _______ f 7,85 ⋅ 2,4 = _______ 125 Regn ut. a 18,5 ⋅ 3,4 = _______ b 24,5 ⋅ 3,15 = _______ c 5 ⋅ 6,8 = _______
d 9,24 ⋅ 4,1 = _______
Gang sammen tallene uten å tenke på hvor kommaet skal stå.
Tallet 12,5 har én desimal. Tallet 3,8 har én desimal. Altså skal det være 1 + 1 = 2 desimaler i svaret.
1 Tall
126 a Hvilket tall er størst av 0,15 og 0,2, og hvorfor? Svar: ___________________________________ b Vi har disse tallene: 1,2 1,15 1,015 0,85 Hva blir svaret dersom vi legger sammen det minste og det største tallet?
Regn her: ________________________________________________________________________
c Skriv noen tall som er større enn 1,2 og mindre enn 1,3. Svar: ____________________________
Gange/dele med 10, 100, 1000 osv. Bruk kalkulatoren til å kontrollere disse utregningene: 2,35 ⋅ 10 = 23,5
2,35 ⋅ 100 = 235
455 : 10 = 45,5
455 : 100 = 4,55
Ser du systemet?
NB!
Å gange med 10 er det samme som å flytte kommaet én plass mot høyre. Å gange med 100 er det samme å flytte kommaet to plasser mot høyre. Osv. Å dele med 10 er det samme som å flytte kommaet én plass mot venstre. Å dele med 100 er det samme som å flytte kommaet to plasser mot venstre. Osv.
Eksempel 7 Regn ut. a 2,3 ⋅ 100 Fig_1_12
b 4,5 : 100
Gjør slik: a 2,3 ⋅ 100 = 230 Du skal flytte kommaet to plasser mot høyre. Når du har flyttet kommaet én plass, står kommaet bak 3-tallet. Du skal flytte kommaet ennå én plass til, det er det samme å legge til én 0 bakerst. b 4,5 : 100 Du skal altså flytte kommaet to plasser mot venstre. Vi skriver noen nuller foran 4-tallet. Da blir det lettere å flytte kommaet. 00004,5 :100 4,5 : 100 = 0,045
127 Regn ut. a 1,12 ⋅ 10 = _____ b 3,5 ⋅ 100 = _____ c 6,0 ⋅ 1000 = _____ d 24,5 : 10 = _____ e 5,6 : 100 = _____ f 45,5 : 1000 = _____
11
12
1 Tall
128 Regn ut. a 35,4 : 10 = _____ b 2,5 : 100 = _____ c 240,5 ⋅ 100 = _____ d 3,5 : 100 = _____ e 0,05 : 10 = _____ f 0,5 : 100 = _____
Eksempel 8 Regn ut. 35 : 1000
Gjør slik: Når det ikke står noe komma i et tall, kan du alltid «late som om» det står et komma bak det bakerste sifferet. 35 : 1000 = 35,0 : 1000 Så bruker du knepet fra eksempel 7 med å skrive noen nuller foran 3-tallet. Da blir det lettere å flytte kommaet tre plasser mot venstre. 000035,0 : 1000 = 0,035 35 : 1000 = 0,035
129 Regn ut. a 5 : 10 = _____
b 45 : 100 = _____ c 53 : 1000 = _____
d 7 : 100 = _____
e 43 : 1000 = _____ f 6 : 1000 = _____
130 Lise har 3 L saftkonsentrat som hun skal fordele på ti små flasker. Hvor mye blir det i hver flaske? ___________________________________________________________________________________ 131 I en kasse er det tre lag med bokser. Hvert lag består av 10 bokser. Hver boks inneholder 8,5 gram proteinpulver. Hvor mange gram proteinpulver er det i kassa? Regn her:
1 Tall
Regnerekkefølge Hva blir svaret på 4 + 2 ⋅ 6? Du er vel enig i at det bare kan være ett riktig svar her? Det betyr at vi må ha bestemte regler som vi følger når vi regner.
NB!
Regnerekkefølgen 1 Parenteser 2 Potenser og kvadratrøtter 3 Ganging og deling 4 Pluss og minus
NB!
Legg merke til hvilke ord som betyr det samme: gange multiplisere dele dividere legge sammen addere trekke fra subtrahere
Eksempel 9 Regn ut. 4+2⋅6
132 Regn ut. a 7 + 4 · 3 = 77++1212= =
Gjør slik: 4 + 2·6 = 12= =16 16 4 4++12
Husk: gange først
b 5 ⋅ 2 − 8 = ___________ c 3 + 2 ⋅ 7 = ___________ d 8 : 2 − 5 = ___________
_______ ___________ 133 a 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 = ____________________ b 2 ⋅ 6 + 15 : 5 = ____________________ c 2 + 3 ⋅ 9 − 4 ⋅ 2 = ____________________ d 8 ⋅ 7 − 4 ⋅ 4 − 10 = ____________________
Eksempel 10 Regn ut. 3 + 2 ⋅ (4 + 5)
Gjør slik: 3 + 2 ⋅ (4 + 5) = 3+2⋅9= 3 + 18 = 21
Parentesen først!
134 Regn ut. a 6 + 3 ⋅ (6 + 2) = __________________ b 2 ⋅ (3 + 2) − 3 ⋅ (2 + 5) = __________________ c 6 : 3 + 3 + 2 ⋅ (4 + 1) = __________________
d 2 + 3 ⋅ (1 + 5) − 20 : 4 = __________________
13
14
1 Tall
135 Regn ut. a 9 ⋅ 3 − 8 : 2 = ____________________ b 6 ⋅ (4 − 3) + 5 = ____________________ c 2 + 3 ⋅ 4 − 5 + 18 : 2 = ____________________
d 2 ⋅ (3 + 1) − 30 : 6 = ____________________
136 Du har tallene 4, 2 og 8. Bruk tallene til a å lage et regnestykke slik at svaret blir 40. ____________________________________________ b å lage et regnestykke slik at svaret blir mindre enn null. ________________________________ 137 Du har tallene 2, 6 og 10. a Lag et regnestykke slik at svaret blir 13. ______________________________________________ b Lag et regnestykke slik at svaret blir 8. _______________________________________________
Fig_1_11
Brøk 3 4
Teller Nevner
I brøken
3 er 3 telleren og 4 nevneren. 4
En brøkstrek betyr det samme som et deletegn. 3 = 3 : 4 = 0,75 4
NB!
Fra brøk til desimaltall Vi gjør om en brøk til et desimaltall ved å dele telleren med nevneren.
138 Skriv brøkene som desimaltall.
......
a
1 1 3 = ____________ b = ____________ c = ___________ 4 10 100
3 5 3 = ____________ e = _____________ f d = _____________ 4 8 25 Fig_1_14
139 Hvor stor del av figuren er skravert? Svar som brøk: ________ Svar som desimaltall: ____________
Fig_1_15 1 Tall
Avrunding Når du bruker kalkulatoren til å regne ut et svar, får du ofte mange sifre i svaret. Du må da runde av på en fornuftig måte.
kr 29,50
En pakke med 12 skruer koster 29,50 kr. Hva koster skruene per stykk?
12 stk.
29,50 : 12 = 2,458 333 … Vi runder av til 2,5. Skruene koster ca. to kroner og femti øre per stykk.
Hvis det første sifferet vi sløyfer, er 0, 1, 2, 3 eller 4 runder vi av nedover. Hvis det første sifferet vi sløyfer, er 5, 6, 7, 8 eller 9, runder vi av oppover.
NB!
140 Rund av til én desimal. a 9,24 = _________
b 7,68 = _________ c 12,048 = _________
d 34,568 = _________ e 10,081 = _________ f 235,099 = _________ 141 Rund av til to desimaler. a 108,205 = _________ b 3,034 = _________
c 8,9982 = _________
142 I butikken blir alle sluttsummer rundet av til nærmeste krone når vi betaler kontant. Legg sammen og rund av sluttsvaret til nærmeste krone. Regn på kladd og skriv svaret på svarlinja. a 4,90 + 4,90 + 4,90 Svar: _____________
143 Regn ut. Rund av svaret til to desimaler. a 2,85 ⋅ 3,07 = ______ b 23,87 : 5,65 = ______ ......
c
3,45 ⋅ 8,12 0,85
= ______
b 8,30 + 3,40 + 12,20 Svar: _____________
15
16
1 Tall
Veien om 1
For 1,3 kg med lakseskiver betaler Svein 119,60 kr. Hvor mye må han betale for 1,5 kg med lakseskiver? Vi finner først prisen for 1 kg:
119,60 = 92 1,3
1 kg lakseskiver koster 92 kr. 1,5 kg lakseskiver koster: 92 kr ⋅ 1,5 = 138 kr Vi kan også sette opp regnestykket slik: 1,5 kg lakseskiver koster 138 kr.
NB!
119,60 ⋅1,5 = 138 1,3
Veien om 1 Vi finner først ut hvor mye som tilsvarer én enhet, for eksempel pris på 1 kg. Deretter ganger vi med det antall enheter vi skal ha.
144 1,5 kg poteter koster 11,25 kr. Hvor mye koster 2,5 kg poteter? ......
11,25 ⋅
=
1,5
2,5 kg poteter koster _____________ kr.
145 3 m stoff koster 111 kr. Hvor mye koster 5 m stoff? ......
111⋅
=
5 m stoff koster __________ kr.
146 1,2 kg kjøttdeig koster 138 kr. Hvor mye koster 2,1 kg?
⋅
=
......
2,1 kg kjøttdeig koster ___________ kr.
1 Tall
Regn oppgavene på kladd og før svaret inn på svarlinja. 147 Olav betalte 104 kr for 0,8 kg torsk. Hvor mye vil 1,5 kg torsk koste? ......
Svar: _____________
148 Trine bruker 15 minutter på å jogge 2,5 km. Hvor lang tid vil hun bruke på å jogge 4 km hvis hun holder samme farten? ......
Svar: _____________
149 Til fire porsjoner av en rett må du regne med 600 g kjøtt. Hvor mye kjøtt må du regne med til sju porsjoner? ......
Svar: _____________
150 Et grovbrød veier 780 gram og koster 34,90 kr. Vi får 26 skiver av brødet. En pakke skinkepålegg veier 170 gram, inneholder 14 skiver og koster 39,40 kr. En pakke med 400 g margarin koster 22,70 kr. ......
a Hvor mye koster tre skiver brød? (Rund av til to desimaler.) Svar: _____________ b Hvor mye veier fem skiver skinke?
Svar: _____________
c Hvor mye koster 20 g margarin?
Svar: _____________
d Til et smørbrød bruker du én skive grovbrød, to skiver skinke og 5 g margarin. Regn ut prisen for smørbrødet.
Svar: _____________
17