COMITÉ EDITORIAL COMITÉ DE EDITORIAL Raúl Sánchez Padilla Dr. Ingeniería Civil y Arquitectura Gerente General Desarrollos en Ingeniería Aplicada Presidente Comité Editorial Judith Ceja Hernández Ing. Industrial. Gerente de Gestión 3R's de México Vicepresidenta Comité Editorial Juan Manuel Negrete Naranjo Dr. en Filosofía Universidad de Freiburg i Br. Francisco J. Hidalgo Trujillo Dr. en Ingeniería Industrial Universitat Politécnica de Catalunya – FUNIBER Director Sede México Fundación Universitaria Iberoamericana David Vivas Agrafojo Mtro. en Educación Ambiental Universitat de Valencia - Responsable IMEDES Andalucía Antonio Olguín Reza Mtro. Desarrollo de Negocios Jabil Circuit Oscar Alberto Galindo Ríos Mtro. en Ingeniería Mecánica Eléctrica Secretario de la Asociación Mexicana de Energía Eólica Amalia Vahí Serrano Dra. en Geografía e Historia Universidad Internacional de Andalucía Universidad "Pablo Olavide" Ricardo Bérriz Valle Dr. en Sociología Coordinador de Proyecto Regional de Ciudadanía Ambiental Global
Manuel Arellano Castañeda Lic. en Informática Gerente Tecnologías de Información y Comunicación 3r's de México Erika Uscanga Noguerola Mtra. en Educación Coordinadora de Gestión Ambiental Centro Universitario Hispano Mexicano Maria Fernanda Corona Salazar Maestra Psicóloga en Constelaciones Familiares Dirección de Orientación Educativa Manuel Herrerías Rul Dr. en Derecho Herrerías y Asociados Raúl Vargas Ph.D. Mechanical Engineering College Of Engineering And Computer Science Florida Atlantic University Mtra. Lorena Casanova Pérez Manejo Sustentable de Recursos Naturales Universidad Tecnológica de la Huasteca Hidalguense. Hidalgo, México Mtro. Sérvulo Anzola Rojas Director de Liderazgo Emprendedor División de Administración y Finanzas Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey. Monterrey, México María Leticia Meseguer Santamaría Doctora Europea en Gestión Socio-Sanitaria Especialista en Análisis socio-económico de la situación de las personas con discapacidad. Universidad de Castilla-La Mancha, España. Red RIDES Red INERTE
Manuel Vargas Vargas Doctor en Economía Especialista en Economía Cuantitativa. Universidad de Castilla-La Mancha, España Red RIDES Red INERTE
COMITÉ DE ARBITRAJE INTERNACIONAL David Vivas Agrafojo Mtro. en Educación Ambiental Universitat de Valencia - Responsable IMEDES Andalucía Juan Manuel Negrete Naranjo Dr. en Filosofía Universidad de Freiburg i Br., Alemania Delia Martínez Vázquez Maestra Psicologa en Desarrollo Humano y Acompañamiento de Grupos. Universidad de Valencia Erika Uscanga Noguerola Mtra. en Educación Coordinadora de Gestión Ambiental. Centro Universitario Hispano Mexicano Bill Hanson Dr. Ingeniería en Ciencias National Center for Enviromental Innovation. US Enviromental Protection Agency Ph.D. María M. Larrondo-Petrie Directora Ejecutiva del Latin American And Caribbean Consortium Of Engineering Institutions "LACCEI" María Leticia Meseguer Santamaría Doctora Europea en Gestión Socio-Sanitaria Especialista en Análisis socio-económico de la situación de las personas con discapacidad. Universidad de Castilla-La Mancha, España. Red RIDES Red INERTE Manuel Vargas Vargas Doctor en Economía Especialista en Economía Cuantitativa. Universidad de Castilla-La Mancha, España Red RIDES Red INERT
SOLUCIÓN EXACTA DE LA ECUACIÓN DE BURGERS Arriaga Gutiérrez, Ma. Merced (e-mail: merced.arriaga@academicos.udg.mx) De la Cruz García, Elba Lilia (email: elba_lilia@hotmail.com) Olmos Gómez, Miguel Ángel (mailto:miguel.olmos@cucei.udg.mx) Departamento de Matemáticas, Universidad de Guadalajara I.- RESUMEN Los modelos no lineales en ecuaciones diferenciales parciales tienen una gran aplicabilidad en la física, química y biología. Muchos de estos modelos involucran soluciones de onda viajera. Se han desarrollado métodos para determinar la solución exacta de ellos. Estos métodos involucran la solución de grandes sistemas algebraicos. La ecuación que consideramos en este trabajo es la ecuación de Burgers, y esta tiene gran aplicabilidad en la medicina, física, química y biología. Presentamos tres métodos directos para resolver esta ecuación. Palabras Clave: Ecuación de Burgers, Solución Exacta, Método de la Tangente hiperbólica, Método de la Tangente Hiperbólica generalizada, Método Algebraico Directo. I.- SUMMARY Nonlinear models in partial differential equations have great applicability in physics, chemistry and biology. Many of these models involve traveling wave solutions. Methods have been developed to determine the exact solution of them. These methods involve the solution of large algebraic systems. The equation we consider in this paper is the Burgers equation, and it has great applicability in medicine, physics, chemistry and biology. We present three direct methods to solve this equation. Keywords: Burgers Equation, Exact Solution, Hyperbolic Tangent Method, Generalized Hyperbolic Tangent Method, Direct Algebraic Method. II.- Introducción Las ecuaciones diferenciales parciales, expresan muchas leyes fundamentales de la naturaleza. Uno de los principales impulsos para el desarrollo de las ecuaciones diferenciales parciales ha sido el estudio de problemas de propagación de ondas, estos problemas se originan en diversas áreas de la matemática aplicada, física e ingeniería, incluyendo dinámica de fluidos, óptica no lineal y mecánica de sólidos. Los fenómenos que nos interesan son fenómenos que involucran ondas o frentes viajeros y se obtienen soluciones de ondas solitarias exactas y explícitas para algunas ecuaciones de evolución no lineal y ecuaciones de onda en física y otros campos utilizando una transformación especial. Estas ecuaciones incluyen a KdV-Burgers. Las evoluciones no lineales y las ecuaciones de onda son clases especiales de ecuaciones diferenciales que han sido estudiadas intensivamente en las últimas décadas. La búsqueda de soluciones de ondas solitarias exactas y explícitas de estas ecuaciones ha sido durante mucho tiempo una gran preocupación tanto para los matemáticos como para los físicos.
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Aunque se han desarrollado algunos métodos significativos y exitosos, desafortunadamente no existe un método general para obtener y soluciones explícitas de evoluciones no lineales y ecuaciones de onda. En esto presentamos un nuevo método para obtener ondas solitarias exactas y explícitas soluciones de algunas evoluciones no lineales y ecuaciones de onda.
) (1895) son un modelo matemático que aparece Las ecuaciones tipo Korteweg de Vries ( principalmente en la Dinámica de Fluidos para describir cierta clase de ondas no lineales en medios someros (de poca profundidad). Este es el prototipo de problemas integrables, es decir, EDP's no lineales cuyas soluciones se pueden especificar de forma exacta y precisa. Algunas de las ecuaciones que caen dentro de esta categoría son la Ecuación de Burgers, entre otras. La ecuación de Burgers (1948) es el modelo no lineal más simple para describir ondas que exhiben difusión en un medio de poca profundidad. Burgers desarrolló por primera vez esta ecuación principalmente para arrojar luz sobre el estudio de la turbulencia descrita por la interacción de los dos efectos opuestos de convección y difusión. La ecuación general de Burgers es: (2.1)
(
+
)
+
+
=0
donde y son constantes y surge de un cambio de coordenadas. La más simple de las ecuaciones de Burgers es la Ecuación de Burgers No Viscosa, la cual se obtiene de (2.1) cuando = 1 y = 1 , removiendo la difusión con = 0 ,
+
=0
Si , = 1 y = − , entonces se tiene la ecuación que típicamente se conoce como la Ecuación de Burgers:
+
=
donde ( , ) es una función que representa, por ejemplo, una velocidad y es la viscosidad cinemática (o un coeficiente de difusividad). Esta ecuación fue introducida a principios del Siglo XX, pero ganó popularidad después de los 1940's cuando fue así llamada por Johannes Martinus Burgers (1895-1981), quien acentúo su valor por su combinación de efectos difusivos y no lineales. Sin embargo, ésta ecuación fue aún más famosa una vez que Cole y Hopf mostraron que la solución general podía obtenerse de forma explícita
) que describe fenómenos físicos tales como Así se tiene la ecuación KdV-Burgers ( ondas de choque débil en plasmas, propagación de ondas en un tubo elástico lleno de líquido, y la evolución de mezclas de gas líquido [Debnath]. El objetivo de este trabajo es determinar soluciones exactas para la ecuación KdV-Burgers usando el método algebraico directo, el método de la ℎ y el método de la tangente generalizada. Los métodos propuestos son métodos algebraicos que buscan una solución de la ecuación diferencial parcial con cierta estructura. Para esto, los métodos se basan en transformar a la ecuación diferencial parcial en una ecuación diferencial ordinaria al suponer que la solución es un frente o una onda viajera con velocidad constante, ( , ) = ( ), = ( − ) y > 0 es el número de onda y es la velocidad del frente o de la onda. Una vez hecho esto, la solución de la ecuación diferencial ordinaria se propone como una función polinomial que dependerá de una nueva variable, digamos, donde = ( ) donde AÑO XIII No. II JULIO - DICIEMBRE 2018
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= ( −
).
La diferencia entre los métodos propuestos es la forma propuesta de la función ( ) . La función ( ) es sustituida en la ecuación diferencial ordinaria y se procede a determinar el grado del polinomio propuesto mediante una técnica llamada balanceo de los exponentes y a determinar los coeficientes del polinomio. La ecuación de Burgers es (2.2) + − = 0, ∈ , > 0 donde es la viscosidad cinemática, esta es la ecuación del modelo no lineal más simple para ondas difusas en la dinámica de fluidos. Esta ecuación fue introducida por Burgers en el año de 1948 y describe la turbulencia unidimensional e incluso surge en muchos otros problemas físicos, incluyendo las ondas sonoras en medio viscoso. III.- Solución de la Ecuación de Burgers Asumiremos que la ecuación de Burgers tiene un frente viajero con velocidad constante de la forma ( , ) = ( ), = ( − ) , donde > 0 es el número de onda y es la velocidad de la onda y estos valores deben ser determinados. De esto se sigue que Similarmente
=
= =
′
=− =
donde
=
′
−
″
,
=
′
= ″
Sustituyendo las derivadas anteriormente calculadas en la ecuación ecua 1 se obtiene la ecuación diferencial ordinaria (asumiendo que ≠ 0 ) (3.1)
−
′
′
+
=0
III.1- Método de la Tangente Hiperbólica El método ℎ es una técnica empleada para determinar frentes u ondas viajeras en problemas no lineales donde la dispersión, la reacción, la difusión y/o la convección juegan un papel importante. Este método puede ser extendido a ecuaciones diferenciales-diferencias y a sistemas de ecuaciones. La forma de trabajar está esquematizada en los siguientes pasos:
Se asume que la solución es de la forma ( , ) = ( ), = ( − ) , donde > 0 es el número de onda y es la velocidad de la onda y estos valores deben ser determinados. Se define una nueva variable
Se propone una solución de la forma
AÑO XIII No. II JULIO - DICIEMBRE 2018
=
ℎ ,
5
( )= ( )=
Las constantes , = 0, … , , deberán ser determinadas. El grado se obtiene balanceando el término con la derivada más alta y los términos no lineales de la ecuación diferencial ordinaria. Se substituye la función ( ) en la ecuación diferencial y se comparan los coeficientes de las potencias de , obteniéndose un sistema de ecuaciones algebraicas.
Se resuelve el sistema de ecuaciones algebraicas obtenidas en el paso anterior y se obtiene la solución al problema original.
Malfield aplicó este método a la ecuación de Korteweg-de Vries-Burger,
+
−
+
=0
la cual es una generalización de la ecuación KdV cuando
( , ) = ( + ) − 12 ( , ) = 12 ℎ
el número de onda
= 0 y obtuvo como soluciones
ℎ ( − ( − )
es un parámetro libre.
) ,
Para la ecuación de Burgers buscamos soluciones viajeras. Proponemos una solución viajera en la forma ( ( − )) . Usando un cambio de variable = ( − ) se tiene la ecuación (3.1) (3.2)
′
−
+
′
″
=
la cual es una ecuación ordinaria de segundo orden. Debemos recordar que entonces
′
=
(
) . Sustituyendo en (3.2) tenemos −
′
+
1 2
(
″
)−
=0
Esta última ecuación puede ser integrada con respecto de involucran derivadas con respecto a dicha variable. Integrando la ecuación (3.3) con respecto de
se tiene
(3.4)
+
Por facilidad hacemos
−
−
′
(
)=2
y
ya que todos los términos
=
= 0 . Con esto hemos finalizado el primer paso del método
Haciendo la transformación
=
AÑO XIII No. II JULIO - DICIEMBRE 2018
ℎ( ) , al derivarla tenemos que
6
=
y por tanto
Si consideramos ahora a
ℎ ( ) = (1 − = (1 −
ℎ ( )) )
= ( ) se sigue que =
y por tanto
Supongamos ahora que de grado
= (1 −
)
( ) = ( ) . Además supongamos que ( )= ( )=
Observamos entonces que el grado de −
es
( ) es un polinomio en
y los grados de los restantes términos
y − son 2 y + 1 respectivamente. Balanceando los grados en los diferentes términos tenemos las siguientes ecuaciones
=2 = +1 2 = +1
De la primer ecuación se sigue qué = 0 . La segunda ecuación no tiene solución y la tercer ecuación tiene solución = 1 . En este caso tomamos = 1 a fin de que los términos en la ecuación ecua 3.3 se anulen. Tenemos para
=1
( )=
En este caso se tiene que
+
Sustituyendo en (3.3) tenemos
− (
+
Factorizando las potencias de
AÑO XIII No. II JULIO - DICIEMBRE 2018
1 )+ ( 2
se sigue
+
) − (1 −
)
=0
7
1 2
+
+(
−
Igualando los coeficientes de las potencias de
de donde
=2 ,
= −2 ,
1 : 2
:
:
1 2
1 2
) +
−
a cero se sigue
+
−
−
= ±2 .
−
=0
=0
=0
−
=0
Procedemos a sustituir estos valores en la definición de
( )=2 −2 =2 −2 ℎ( ) = 2 (1 − ℎ( ))
( ) y
Por lo tanto, una solución a la ecuación de Burgers es
( , )=2
ℎ ( ∓2 )
1−
A fin de determinar el valor de , sustituimos esta expresión en la ecuación de Burgers y encontramos que = 1 y el signo a tomar en la expresión es el negativo. Por lo tanto, la solución es
( , ) = 2 (1 − 4 = (
)
ℎ( − 2 ))
+1
III.2- Método Generalizado de la Tangente Hiperbólica El método generalizado de la tangente hiperbólica fue propuesto por Hamidoğlu en [4] para resolver ecuaciones diferenciales parciales no lineales que tienen como solución ondas o frentes viajeros. Se presenta el método de solución de dichas ecuaciones.
Se asume que la solución es de la forma ( , ) = ( ), = ( − ) , donde > 0 es el número de onda y es la velocidad de la onda y estos valores deben ser determinados. Se sustituye esta forma propuesta en la ecuación original para obtener una ecuación diferencial ordinaria.
Se define una nueva variable
Si
=
= −1 tenemos el método de la
AÑO XIII No. II JULIO - DICIEMBRE 2018
+ +
ℎ
, ∈
.
8
Se propone una solución de la forma
( )= ( )=
Las constantes , = 0, … , , deberán ser determinadas. El grado se obtiene balanceando el término con la derivada más alta y los términos no lineales de la ecuación diferencial ordinaria.
Se substituye la función ( ) en la ecuación diferencial y se comparan los coeficientes de las potencias de , obteniéndose un sistema de ecuaciones algebraicas.
Se resuelve el sistema de ecuaciones algebraicas obtenidas en el paso anterior y se obtiene la solución al problema original. Hamidoğlu aplicó este método a la ecuación de Burgers,
+
y obtuvo como solución
el número de onda real.
( , )=(
−
=0 (
( + 1) + ) − 2
(
es un parámetro libre. Además
y
)
+ )+
(
(
)
)
pueden ser cualquier número
Para investigar los efectos de la difusión no lineal, buscamos una solución viajera de la ecuación de Burger de la forma: donde
= ( −
( , )= ( ) ) . Al igual que en el método de la tangente, se sigue que,
Por facilidad hacemos
=0.
−
+
1 2
−
′
=
Ahora utilizamos el método de la tanh generalizado, el cual consiste en efectuar el cambio de variable:
Derivamos
con respecto de
=
(
+
=
y obtenemos
)(
+
Haciendo un poco de algebra llegamos a:
=− AÑO XIII No. II JULIO - DICIEMBRE 2018
+ +
)−( + ( + )
)(
+
)
− ( + 1) −
9
Si
= ( )=
( ) , tenemos entonces
= [−
=
− ( + 1) − ]
Si la solución de la ecuación diferencial parcial es propuesta en la siguiente forma
( )= ( )=
se sigue que ( ) es un polinomio de grado en la variable cada término que interviene en la ecuación diferencial
. Revisemos los grados de
término grado vU 1 2
M
U
2
2M M 1
pU
Al proceder a balancear los grados de la variable Y se tiene que K=1, por lo que la solución propuesta es:
( )=
Sustituyendo en (3.4) obtenemos:
− (
1 )+ ( 2
+
+
) − (−
Factorizando las diferentes potencias de
1 2
+
+
Igualando las potencias de
:
−
−
AÑO XIII No. II JULIO - DICIEMBRE 2018
1 2 +
( + 1)
+
1 2 ( + 1) =
+
1 : 2
− ( + 1) − )
se tiene
a cero se tiene
:
+
=
−
+
+
−
+
1 2 =0
−
+ ( + 1)
=0
=0
+
=0
=0
10
De la primera ecuación se sigue qué
se sigue qué
Obtenemos que
= −2 . De la segunda ecuación − ( + 1) = 0
−
+ ( + 1) . Sustituyendo esto en la tercera ecuación se sigue que
=
−
= ± ( − 1) y por tanto
(−1 ± 1) − (1 ± 1)
=
Esto es,
( − 1) = 0
=2 o
=2
Por lo que al sustituir en las expresiones para
= ( , )=
( )=
+ (
+ ( + 1) − 2
)
(
( , )=2
(
Si consideramos el signo negativo obtenemos
( , )=2
(
) )
+
(
(
)
) )
( ± (
=1 y ( − 1) (
(
( ± (
(−1 ± 1) − (1 ∓ 1) − 2
Considerando signo positivo se tiene que
(
+ )+
)
)
(
)
+ )+
( ± (
( ± (
) )
) )
) )
= 1 , la solución es
(1 − ) (
) )
(
(
) )
+
(
(
( − 1) ( ) )+
(
)
(
) )
) )
Con este método hemos obtenido dos soluciones de la ecuación de Burgers. Estas son
y
Tomando
( , )=2
(
( , )=2
(
(1 − ) (
) )
(
+
( (
(
) )
(
) )
= −1 en la primera solución (el método de la tangente) obtenemos
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11
Si tomamos
( , )=
−4
+1
= −1 en la segunda solución obtenemos ( , )=
(
la cual fue obtenida en la sección anterior.
4
)
+1
III.3- Método algebraico El método es una técnica empleada para determinar ondas viajeras en problemas no lineales donde la dispersión, la reacción, la difusión y/o la convección juegan un papel importante. Este método puede ser extendido a ecuaciones diferenciales-diferencias y a sistemas de ecuaciones [3]. Aunque existen otros métodos, como el método de la tanh, dado por Malfliet [2], la simplicidad de la forma de la solución en el método propuesto permite que las ecuaciones algebraicas obtenidas sean resueltas en una forma más sencilla que en el método de la tanh. Se asume que la solución es de la forma ( , ) = ( ), = ± , donde > 0 es el número de onda y / es la velocidad de la onda y estos valores deben ser determinados.
Se define una nueva variable
Se propone una solución de la forma
=
1 1+
( )=
. .
Las constantes y deberán ser determinadas. El grado se obtiene balanceando el término con la derivada más alta y los términos no lineales de la ecuación diferencial ordinaria.
Se substituye la función ( ) en la ecuación diferencial y se comparan los coeficientes de las potencias de , obteniéndose un sistema de ecuaciones algebraicas.
Se resuelve el sistema de ecuaciones algebraicas obtenidas en el paso anterior y se obtiene la solución al problema original.
La ecuación KdV- Burgers es la ecuación (3.5)
+
+
+
=0
A fin de obtener una solución exacta, consideraremos soluciones viajeras de la forma = ( ) con = ± . Para esto
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donde
′
=
=
=
. Además se tiene que
=
=
=±
′
=
,
′
=±
″
=
,
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación 3.5 se sigue ′
±
o simplemente
′
+
(3.6)
′
±
″
+ ′
+
‴
+ ″
+
‴
= =0 ‴
+
=0
Presentaremos dos formas de resolver este problema, la primera será trabajar con la ecuación 3.6 directamente. III.3.1- Método Algebraico Directo Hacemos la siguiente transformación:
donde
y
( , )= ( )=
se propone de la forma
=
1 1+
son constantes a determinar. Así, tenemos que ′
y para conocer
derivamos
=
respecto a
=
=− 1+
=−
y separando en fracciones parciales
−
(1 +
)
AÑO XIII No. II JULIO - DICIEMBRE 2018
=
1+
+
(1 +
)
(1 + =
) 1+ (1 +
+ )
13
de donde obtenemos que Así podemos decir que (3.7)
−
=
= −1 y =−
= 1.
=−
=− +
+
+
+
Ahora sustituyendo (3.7) en (3.6), ′
=
Por lo tanto, tenemos lo siguiente
= ( + 1)
=
=
=
− )
−
= ( + 1)( + 2) + (3
−
(
− (2 + 1)
+ 3 + 1)
−
− ( + 1)(3 + 3) −
Mediante un análisis del orden principal, podemos determinar a partir de la ecuación 3.6, la cual es un polinomio donde cada uno de sus términos que la conforman tienen grado diferente; es decir ′ ′
: grado : grado 2 ″ : grado ‴ : grado
+1 +1 +2 +3
Ahora hacemos un balance de términos para determinar los posibles valores de grado mayor de en ( , ) = ( ) = .
y conocer el
Entonces, iniciando con el primer término tenemos,
+ 1 = 2 + 1, de aqui se obtiene = 0. + 1 = + 2, no es posible esta igualdad. + 1 = + 3, no es posible esta igualdad.
Siguiendo con el segundo término,
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2 + 1 = + 2, de aqui se obtiene = 1. 2 + 1 = + 3, de aqui se obtiene = 2.
Por último para el tercer termino
+2=
+ 3 no es posible esta igualdad
Como podemos observar los valores de Si elegimos el valor más grande de
que se obtienen son
, es decir, ′
= 2 resulta : grado 3 ′ : grado 5 ″ : grado 4 ‴ : grado 5
Por lo tanto el grado mayor de la ecuación es el grado 5 . Considerando esto y las expresiones correspondientes a
=
y sustituyendo en la ecuación 3.5,
+
(6
′
±
′
+
0 = ± (2 −2 )+ − 10 +4
0=2 ± 2 − 10
+ 24
″
+
−2
+ 38
) 0 = (2 + 24 +(±2 − 10 + 38
)+ (24
La solución de este sistema es:
‴
(2 ) −2 − 54 + 38 − 54
−8
) + (−2 − 54 +6 ) + (∓2 +4 −8 se sigue que
=2.
, obtenemos
=0
+6 ∓ 2 +4
Igualando a cero los coeficientes de las potencias de
:−2 :±2 :∓2
+
‴
y
,
=1 y
= 0,
−8
)
)
:2
+ 24 =0 − 54 +6 =0 − 10 + 38 =0 +4 −8 =0 =
5 12 =− 25 AÑO XIII No. II JULIO - DICIEMBRE 2018
15
=±
6 125
De aquí obtenemos las soluciones de ondas solitarias exactas y explícitas
( , )= ( )= ( =−
12 25
1+
±
) = (1 +
±
+
5
6 25
)
III.3.2- Método Algebraico Simplificado
Procederemos ahora a trabajar de la misma forma pero simplificando primero a la ecuación 3.6. Para esto, integrando la ecuación 3.6 respecto a tenemos como resultado la ecuación,
±
+
′
+
2
″
+
=0
donde la constante de integración fue tomada como cero. De igual forma para esta ecuación auxiliar hacemos un análisis para conocer los valores de . Como podemos ver = 2 que son similares a los que habíamos encontrado anteriormente. Si realizamos una sustitución tomando a = 2 obtenemos
=
Tomando en cuenta la ecuación, sustituimos de la siguiente manera,
±
±
+
+ 2
2
+2
+
±
(2
+
2
−2
′
+
)+
−2
+
+6
″
(6
=0
− 10
− 10
+4
)=0
)
=0
+4
=0
Factorizando las diferentes potencias de
2
+6 2
+6
+ (2 +
(2
− 10
)
− 10
+ (± + 4
)+
De esto se obtiene que los coeficientes de las potencias de
AÑO XIII No. II JULIO - DICIEMBRE 2018
(± + 4
−2
−2
deben ser cero y
)=0
16
:2
Simplificando
:±
:
+6
2 +4
2
− 10
=0
−2
+6
± +4
−2
= =− =±
=0
=0
2 − 10
La solución del sistema es
=0
=0
=0
5
12 25
6 125
Estos valores son los valores obtenidos con anterioridad, por lo que se obtiene la misma solución. IV- Conclusiones La solución de ecuaciones diferenciales no lineales es un proceso que puede ser bastante complicado y tedioso. El hecho de suponer que la solución cuenta con soluciones de onda o frente viajeros transforma esta ecuación a una ecuación diferencial ordinaria no lineal ( = ± ). Algunas veces es posible resolver esta ecuación en forma exacta con lo cual el problema queda resuelto. Para la ecuación de Burgers, en ninguno de los dos casos las ecuaciones diferenciales ordinarias obtenidas son fáciles de resolver. El aplicar de nuevo una transformación a la variable independiente, hace que la ecuación pueda ser resuelta por medio de una función polinomial de grado . El valor de es obtenido al hacer un balance de los grados de los términos involucrados en la ecuación. Este hecho reduce el problema a un problema algebraico. Si el sistema tiene solución (no necesariamente única) obtenemos la solución al problema original efectuando las transformaciones en sentido opuesto. Hemos obtenido cuatro diferentes soluciones a la ecuación de Burgers, estas son
( , )=
AÑO XIII No. II JULIO - DICIEMBRE 2018
(
4
)
+1
17
( , )=2 ( , )=2
(
( , )=−
(
12 25
( − 1) (
) )
(
) )
(1 − )
(
(
+
(
+
1+
(
1
(
)
(
) )
(
) )
) )
La primera de ellas fue obtenida con el método de la tangente, las dos siguientes con el método generalizado de la tangente y la última de ellas con el método algebraico. Ellas son esencialmente diferentes y pueden ser reducidas a la primera al considerar valores particulares de y . Los métodos de solución presentados se reducen a un problema algebraico de solución de ecuaciones algebraicas no lineales. La solución de los sistemas algebraicos puede ser efectuada con ayuda de programas algebraicos computacionales tales como MAPLE, MATHEMATICA o MAXIMA. También se puede observar que si la ecuación diferencial ordinaria obtenida al suponer que existe una solución viajera puede ser integrada, se recomienda integrarla, haciendo las suposiciones adecuadas sobre las constantes de integración, a fin de simplificar los cálculos. En conclusión para determinar soluciones exactas de la ecuación KdV-Burgers se consideran soluciones viajeras la cuales se reducen a un problema algebraico no lineal. V.- Referencias [1]
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AÑO XIII No. II JULIO - DICIEMBRE 2018
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