Estudio Analítico Y Numérico De La Ecuación De Fisher Generalizada

COMITÉ EDITORIAL COMITÉ DE EDITORIAL Raúl Sánchez Padilla Dr. Ingeniería Civil y Arquitectura Gerente General Desarrollos en Ingeniería Aplicada Presidente Comité Editorial Judith Ceja Hernández Ing. Industrial.

Gerente de Gestión 3R's de México Vicepresidenta Comité Editorial Juan Manuel Negrete Naranjo Dr. en Filosofía Universidad de Freiburg i Br. Francisco J. Hidalgo Trujillo Dr. en Ingeniería Industrial Universitat Politécnica de Catalunya – FUNIBER Director Sede México Fundación Universitaria Iberoamericana David Vivas Agrafojo Mtro. en Educación Ambiental Universitat de Valencia - Responsable IMEDES Andalucía Antonio Olguín Reza Mtro. Desarrollo de Negocios Jabil Circuit Oscar Alberto Galindo Ríos Mtro. en Ingeniería Mecánica Eléctrica Secretario de la Asociación Mexicana de Energía Eólica Amalia Vahí Serrano Dra. en Geografía e Historia Universidad Internacional de Andalucía Universidad "Pablo Olavide" Ricardo Bérriz Valle Dr. en Sociología Coordinador de Proyecto Regional de Ciudadanía Ambiental Global

Manuel Arellano Castañeda Lic. en Informática Gerente Tecnologías de Información y Comunicación 3r's de México Erika Uscanga Noguerola Mtra. en Educación Coordinadora de Gestión Ambiental Centro Universitario Hispano Mexicano Maria Fernanda Corona Salazar Maestra Psicóloga en Constelaciones Familiares Dirección de Orientación Educativa Manuel Herrerías Rul Dr. en Derecho Herrerías y Asociados Raúl Vargas Ph.D. Mechanical Engineering College Of Engineering And Computer Science Florida Atlantic University Mtra. Lorena Casanova Pérez Manejo Sustentable de Recursos Naturales Universidad Tecnológica de la Huasteca Hidalguense.

Hidalgo, México Mtro. Sérvulo Anzola Rojas Director de Liderazgo Emprendedor División de Administración y Finanzas Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey.

Monterrey, México María Leticia Meseguer Santamaría Doctora Europea en Gestión Socio-Sanitaria Especialista en Análisis socio-económico de la situación de las personas con discapacidad.

Universidad de Castilla-La Mancha, España.

Red RIDES Red INERTE

Manuel Vargas Vargas Doctor en Economía Especialista en Economía Cuantitativa.

Universidad de Castilla-La Mancha, España Red RIDES Red INERTE

COMITÉ DE ARBITRAJE INTERNACIONAL David Vivas Agrafojo Mtro. en Educación Ambiental Universitat de Valencia - Responsable IMEDES Andalucía Juan Manuel Negrete Naranjo Dr. en Filosofía Universidad de Freiburg i Br., Alemania Delia Martínez Vázquez Maestra Psicologa en Desarrollo Humano y Acompañamiento de Grupos.

Universidad de Valencia Erika Uscanga Noguerola Mtra. en Educación Coordinadora de Gestión Ambiental.

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US Enviromental Protection Agency Ph.D. María M. Larrondo-Petrie Directora Ejecutiva del Latin American And Caribbean Consortium Of Engineering Institutions "LACCEI" María Leticia Meseguer Santamaría Doctora Europea en Gestión Socio-Sanitaria Especialista en Análisis socio-económico de la situación de las personas con discapacidad.

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UN ESTUDIO ANALÍTICO Y NUMÉRICO DE LA ECUACIÓN DE FISHER GENERALIZADA de la Cruz García, Elba Lilia (email: elba_lilia@hotmail.com) Arriaga Gutiérrez, Ma. Merced (email: merced.arriaga@academicos.udg.mx) Olmos Gómez, Miguel Ángel (email:_miguel.olmos@cucei.udg.mx) Hernández Magdaleno, Alfonso Manuel (email: 137mag@gmail.com) Departamento de Matemáticas, Universidad de Guadalajara I.- RESUMEN Las ecuaciones de reacción-difusión no lineales desempeñan papeles fundamentales en una gran variedad de situaciones tales como transferencia de calor/masa, biología, reacciones químicas y procesos genéticos. En este trabajo consideramos una ecuación particular de reacción-difusión conocida como la ecuación generalizada de Fisher. Esta ecuación describe el avance de genes ventajosos debido a condiciones locales favorables para la mutación. Se puede observar que las condiciones asintóticas en la parte posterior de la onda (donde los números de los genes mutantes son pequeños) pueden determinar la velocidad de avance.

Palabras Clave: Ecuación de Fisher, Método Explícito, Método Predictor-Corrector, Solución Numérica, Método de la Inversa.

I.- SUMMARY Non-linear reaction-diffusion equations play fundamental roles in a wide variety of situations such as heat / mass transfer, biology, chemical reactions and genetic processes. In this paper we consider a particular reaction-diffusion equation known as Fisher's generalized equation.

This equation describes the advance of advantageous genes due to favorable local conditions for the mutation. It can be seen that the asymptotic conditions in the posterior part of the wave (where the numbers of the mutant genes are small) can determine the rate of advance.

Key Words: Fisher's Equation, Explicit Method, Predictor-Corrector Method, Numerical Solution, Reverse Method.

II.- Introducción El estudio de los fenómenos físicos mediante modelos matemáticos ha sufrido grandes cambios en las últimas décadas; en un principio, se llegó a tener la impresión de que sólo podíamos resolver sistemas lineales, el hecho de resolver un sistema no lineal era impensable. Todo esto cambió gracias el surgimiento de nuevas teorías y modelos matemáticos, que si bien nos ayudaron a resolver algunos sistemas no lineales, también ayudaron a descubrir que frecuentemente nos encontramos con sistemas de ecuaciones los cuales pueden ser de diversa naturaleza o especie; es decir, en algunas ocasiones estos sistemas nos dan una solución mediante modelos clásicos o métodos establecidos para ciertos prototipos de ecuaciones; tal es el caso de la ecuación de onda, la ecuación de calor, entre otras. En algunas otras situaciones nos encaminan a sistemas no lineales. Debido a la importancia que tienen estos resultados en la teoría y práctica científica, matemáticos y científicos se dieron a la tarea de combinar muy

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diversas teorías como la cuántica y la geometría algebraica, para poder resolver de manera exacta algunos prototipos de ecuaciones no lineales.

Dejando a un lado la mecánica cuántica, que sigue siendo hasta la fecha una teoría inherentemente lineal, la mayoría de los sistemas físicos del mundo real, incluyendo la dinámica de gases, de líquidos, la mecánica, la elasticidad, la relatividad, la ecología, la neurología, la termodinámica, y muchos más, son modelado por ecuaciones diferenciales parciales no lineales.

Los intentos para estudiar las ecuaciones no lineales, incluso una pequeña fracción de una gama tan amplia que abarque los fenómenos, métodos, resultados y desarrollos matemáticos, están condenados al fracaso. Así, nos conformamos con introducir un puñado de ejemplos seminales prototípicos que surgen en el estudio de las ondas no lineales y que sirven para poner en relieve algunos de los fenómenos más significativos de la física y matemática que no se encuentran en los sistemas lineales simples. En este trabajo solo consideraremos modelos unidimensionales simples; los sistemas no lineales más complicados que rigen nuestro universo dinámico tridimensional conducen rápidamente a la vanguardia de la investigación contemporánea.

Se sabe relativamente poco se sabe acerca de la extraordinaria gama de comportamientos exhibidos por las soluciones de ecuaciones no lineales en derivadas parciales. Muchos de los fenómenos más fundamentales que impulsan la investigación de hoy en día, incluyendo solitones, caos, estabilidad, explosiones y la formación de singularidades y propiedades asintóticas entre otros, se mantuvieron sin ser detectados o en el mejor caso, débilmente percibidos en la era de la pre-computadora.

Los últimos sesenta años han sido testigos de un florecimiento notable en nuestra comprensión, debido en gran parte a la comprensión ofrecida por la disponibilidad de las computadoras de alto rendimiento junto con grandes avances en la comprensión y el desarrollo de esquemas de aproximación numérica adecuados. Nuevos métodos analíticos, nuevas teorías matemáticas, junto con nuevos algoritmos computacionales han precipitado esta revolución en nuestra comprensión y el estudio de sistemas no lineales, es una actividad que continúa creciendo en intensidad y amplitud. Cada salto en la potencia de cálculo junto con los avances teóricos ha dado lugar a una comprensión más profunda de los fenómenos no lineales y al mismo tiempo demuestra hasta qué punto todavía tenemos que llegar. Para tener comprensión de esta desconcertante variedad de métodos, ecuaciones y resultados, es esencial la construcción de una base firme, en primer lugar de la teoría de sistemas lineales, y en segundo lugar, ecuaciones algebraicas no lineales y ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales.

Los fenómenos físicos se estudian a través de modelos matemáticos y a su vez estos conducen a la elaboración de sistema no lineales, un caso particular de estos fenómenos son los solitones y frentes de onda que poseen una estructura intrínseca no lineal y que están relacionados con la teoría de las ecuaciones de onda no lineales [2]. Un solitón es una onda permanente y que mantiene su forma localizada bajo las interacciones con otros solitones. Antes de los solitones, se pensaba que no podríamos resolver ecuaciones diferenciales parciales no lineales de manera exacta pero a través de la física cuántica y la geometría algebraica, se puede resolver ecuaciones no lineales de manera exacta. Los solitones se pueden utilizar para comprender fenómenos macroscópicos como las ondas internas, la transparencia y el comportamiento de la luz en el cable óptico que es su área de investigación más significativa.

Para resolver ecuaciones diferenciales no lineales se puede usar el método de dispersión

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inversa. También se puede utilizar una transformación de dispersión inversa que es un procedimiento análogo de la transformada de Fourier [1], es un método bastante complicado pues se necesita saber el comportamiento analítico de los datos de dispersión y solo puede ser aplicado en sistemas integrables.

El otro procedimiento clásico utilizado para resolver ecuaciones diferenciales no lineales es el método de Lie y sus generalizaciones [8], que está basado en el uso de la simetría de Lie para construir una solución exacta, pero si se tiene una mala simetría de Lie, se vuelve bastante complicada la resolución de la ecuación.

Existe otro método que reduce la ecuación diferencial parcial no lineal a una ecuación diferencial ordinaria no lineal, es un método basado en el esquema de onda de desplazamiento.

Sin embargo, si la velocidad de onda es un parámetro desconocido, se debe determinar éste mediante el análisis y proponer un trayectoria experimental. En cambio, si la ecuación resultante es de tipo Painleve, entonces se puede resolver de manera explícita llevando a una solución exacta de la ecuación original. De forma similar Ablowitz y Zeppetella obtuvieron la solución exacta de la onda de desplazamiento para la ecuación de Fisher, sin embargo el método no permite extensiones de ondas a dimensiones más altas [3].

El último método que se mencionará es el más simple de todos, es un método puramente algebraico, nombrado método de Hirota. Consiste en transformar la ecuación no lineal en una ecuación bilineal o también en un sistema de ecuaciones bilineales para de esa manera, expandir la ecuación en serie de potencias y resolverla.

Los métodos exactos requieren de un alto costo algebraico cuando son usados para resolver la ecuación diferencial no lineal. Se tiene además que este tipo de ecuaciones tiene una, varias o una infinidad de soluciones. Se han propuesto métodos numéricos a fin de capturar algunas de las soluciones, pero debido a la no linealidad de las ecuaciones involucradas, el análisis de estabilidad del método resulta ser prácticamente imposible.

Nuestro trabajo se desarrollará de acuerdo al siguiente orden. Primero presentaremos los preliminares matemáticos necesarios para el desarrollo del tema, siguiendo con la ecuación de Fisher y la ecuación generalizada de Fisher. A continuación, se propondrán dos métodos numéricos para su resolución y finalmente se presentarán los resultados numéricos obtenidos.

El objetivo de este trabajo es aplicar dos métodos numéricos a una ecuación diferencial parcial, en particular la ecuación generalizada de Fisher. Esta ecuación cuenta con soluciones que son estrictamente monótonas y por tanto se puede calcular la función inversa de la solución. El primer método numérico es un método predictor-corrector y el segundo es un método basado en diferencias finitas aplicadas a la ecuación diferencial de la función inversa.

III.- La Ecuación de Fisher y la Ecuación Generalizada de Fisher Las ecuaciones de reacción-difusión no lineales desempeñan papeles fundamentales en una gran variedad de situaciones tales como transferencia de calor/masa, biología, reacciones químicas y procesos genéticos. En este trabajo consideramos una ecuación particular de reacción-difusión conocida como la ecuación generalizada de Fisher. Esta ecuación describe el avance de genes ventajosos debido a condiciones locales favorables para la mutación. Se puede observar que las condiciones asintóticas en la parte posterior de la onda (donde los números de los genes mutantes son pequeños) pueden determinar la velocidad de avance.

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21

El problema generalizado de Fisher que consideramos es: (2.1)

=

→

(2.2) Cuando

+

−

( , )

,

,

> 1,

( , )

→

> 0, ( , 0) =

= 2 la ecuación es llamada la ecuación de Fisher.

( ).

( ) ∈ [0,1], ∈ Siguiendo a Larson [15], Si = 2 y la condición inicial y ( )? , > 0 cuando → −∞ , puede demostrarse que para cada ∈ (0,1) existe una solución de onda viajera para (2.1) - (2.2) con velocidad

=

de onda viajera tendrá una velocidad asintótica de 2; es decir, si que satisface las condiciones de frontera (ecuacion2) en y si ( )≈ (2.3) , > 0 cuando entonces, cuando donde

+ ; si

> 1 , la solución

( ) es una función positiva

→ −∞

→ ∞, la solución evolucionará a una onda viajera con velocidad ( )=

+

2

1

, 0<

( )

≤1

>1

También Kolmogorov et al. [13] han demostrado que si se eligen los datos iniciales de modo que

( )=

0, 1,

< 0, > 0,

la solución se aproximará a una onda de velocidad 2 .

Desarrollamos un esquema numérico para calcular la solución de la ecuación de Fisher generalizada. Construimos las condiciones numéricas de frontera para que el comportamiento asintótico en la parte posterior extrema de la onda sea modelado correctamente para asegurar que la onda avanza con la velocidad correcta.

Cabe señalar que la ecuación generalizada de Fisher también puede usarse para estudiar ciertos sistemas químicos/eléctricos y el crecimiento demográfico de varias especies.

III.1- Soluciones Analíticas Esta sección muestra algunos resultados analíticos para valores particulares de en la ecuación (2.1). En 1979, Ablowitz y Zeppetella [3] encontraron la primera solución explícita de onda sustituyendo = ( ) = ( − ) para así obtener una ecuación diferencial ordinaria

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22

″

′

+

+ (1 − ) = 0

(cuando = 2 ) y determinaron su solución. Para encontrar la solución del método se utiliza la teoría clásica de las ecuaciones diferenciales ordinarias. La solución es de tipo Painlevé. Es una familia paramétrica de soluciones dada por ( , )= (2.4) √

donde

√

es un parámetro y la velocidad de la onda es

no acotada si

√

. Se puede ver que la solución será

es negativa. Esta solución es la única solución de onda explícita conocida para

la ecuación de Fisher [3, 9, 14, 17] y corresponde al comportamiento asintótico con

=

√

.

La ecuación (2.1) es conocida como la ecuación de Newell-Whitehead cuando = 3 [5, 6, 7, 16, 17]. Las soluciones explícitas conocidas de la ecuación de Newell-Whitehead están dadas por [17] (2.5) donde

,

,y

( , )=

√

( √

)

√

√

son constantes arbitrarias.

,

Nótese que si = 0 en (2.5), entonces tenemos un perfil de onda con velocidad una solución de estado estacionario o una onda estacionaria.

Para

> 1 , si definimos

viajeras están dadas por [17]

con velocidad

= / =

Se puede apreciar que para dada en [3]. Si cuando

=0 o

=

(

(

)(

)

y,

( , ) = [1 +

=

( , ) = [−1 + = 2 tenemos

(

(

(

.

= 3 , tenemos que =0.

)

=−

=− y

)

(

)

, entonces las soluciones de ondas

±

)]

y

=−

)]

±

=−

= 0, i. e.,

√

√

que coincide con la solución

lo cual es consistente con (2.5)

Consideremos la ecuación diferencial parcial no lineal (2.6)

=

+ ( ).

Si la solución ( , ) de (2.6) es una función estrictamente monótona en la inversa de la solución ( , ) y esta satisface la ecuación (2.7)

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=−

−

se tiene que existe

( ).

23

Las soluciones de las ecuaciones (2.6) y (2.7) son inversas una de la otra, esto es ( ( , ), ) y = ( ( , ), ) .

=

Para el caso que nos ocupa, consideraremos soluciones que sean estrictamente monótonas ya que se pretende calcular la solución numérica de la ecuación (2.6) y la solución numérica de la inversa de la solución dada por la ecuación (2.7).

IV- Esquemas Numéricos

Iniciamos esta sección con la forma general de un método explícito para una ecuación de segundo orden y se establecen las condiciones bajo las cuales el método explícito es consistente y estable.

A continuación, sabiendo que generalmente, los métodos implícitos son incondicionalmente estables, se propone un método predictor-corrector basado en las ideas de Crank-Nicolson. Se usa un método predictor-corrector basado en la idea de que en cada paso del método de CrankNicolson se debe resolver un sistema no lineal de ecuaciones algebraicas. Eligiendo adecuadamente el predictor, se evita el resolver sistemas no lineales ya que se resuelven sistemas lineales en cada paso.

IV.1- Método Explícito

Consideramos la ecuación

= ( , , ,

),

,

∈ ,0 < ≤

sujeta a condiciones iniciales y de frontera suficientemente suaves.

La forma explícita del método puede ser escrita como:

donde

=

+

,

es una aproximación a

De acuerdo a Ames [4], si y

|

(

,

,

|+|

− 2

,

). ≥

|+

> 0,

entonces el esquema numérico es estable siempre que

,

−2

+

≤ ,

≤2 / ,

y

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24

0<

donde

1− 2

≤

= /

Así mismo el esquema es consistente y de orden

+

.

,

.

IV.2- Método de Crank-Nicolson Predictor-Corrector Consideramos la ecuación

= ( , , ,

(3.1)

,

sujeta a condiciones de frontera suaves.

),

∈ ,0 < ≤

La estructura de Crank-Nicolson para esta ecuación está dada por (3.2)

+ 2

−2

+ 2

=

+ +

+ 2

,

,

,

,

,

donde se puede observar que la aproximación

es reemplazada por el promedio de los

valores en los tiempos forma explícita es

y

. Tenemos además que la estructura de

(3.3)

=

+

=

+

+ 1 , es decir ,

,

,

,

−2

+

.

Para la ecuación de Fisher generalizada el método de Crank-Nicolson se reduce a (3.4)

+

+ 2

−

+ 2

.

Dado a que esta estructura es implícita nosotros debemos resolver un sistema de ecuaciones no lineales en cada paso . Para evitar la resolución de sistemas no lineales varias veces, construimos un esquema de predicción-corrección.

Este esquema predictor-corrector es

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25

( ) ( )

=

+

=

+

+

+ + 2

+ 2

−2

− (

+ 2

−

−2

) ,

+ 2

+ 2 + 2

+ + .

+ 2

+ 2

Podemos observar que en el predictor, hemos evitado resolver un sistema no lineal al considerar sólo el valor de en lugar de su promedio . Con el método corrector, lo que hacemos es aplicar el método del punto fijo solo una vez en el método de Crank-Nicolson dado por (3.4) y valor inicial .

Por conveniencia, reescribimos la estructura del método predictor-corrector como (P)

(C)

− −

+ +

+ (1 + ) − (

+ (1 + )

) .

+ 2

−

+ (1 − )

=

−

=

−

+ 2

+ (1 − ) .

+ +

donde = . De esta forma puede observarse claramente que los sistemas obtenidos en este método predictor-corrector son lineales. Además, los sistemas así obtenidos son sistemas tridiagonales, los cuales pueden ser resueltos fácilmente por medio del método de Thomas.

Comúnmente, esta estructura numérica tendrá mejores propiedades de estabilidad y por lo menos del mismo orden de consistencia, que la forma explícita de las diferencias finitas (3.3).

Los cálculos numéricos se llevarán a cabo sobre un dominio finito [− , ] de longitud .

Imponemos las condiciones de frontera para imitar el comportamiento asintótico consistente con la información inicial. Las condiciones usadas son (3.5) donde

(

(− , ) =

)

, ( , )=1

es la velocidad calculada de la parte izquierda delantera con tiempo

La velocidad de la onda es calculada monitoreando el punto

, ( ,

) =

,

=

=

. Usamos

la interpolación cúbica en orden para obtener el punto donde la solución numérica es igual a Si el valor inicial está dado por

( )=

AÑO XIII No. II JULIO - DICIEMBRE 2018

0, 1,

. .

< 0, > 0,

26

la velocidad predicha es

(− , ) = 0 en (3.5).

= 2 y usamos

Cuando el valor inicial está dado por la solución exacta de (2.1):

la velocidad

es

( , ) = [1 +

(

y su correspondiente

=

es

El tamaño de la malla ℎ y el paso en el tiempo estabilidad dado por

≤ 1,

≤

)]

±

.

son elegidos de acuerdo al criterio de

.

4+2

Estos criterios fueron establecidos por requerimiento de la estructura numérica (3.3) para preservar la monoticidad del perfil de la solución.

IV.3- Método de la Inversa Con el fin de formular el método de la inversa, consideremos la ecuación

=

con las condiciones (3.6)

→ ∞

(3.7)

+ ( ), −∞ <

< ∞, 0 < ≤ ,

( , ) = 0,

( , ) = 1, > 0,

→ ∞

y (3.8)

( , ) = 0,

( , 0) =

→ ∞

( , ) = 1, > 0,

→ ∞

< ∞.

( ), −∞ <

Si ( , ) es una función estrictamente monótona de existe y satisface la ecuación (2.7) (3.9)

donde

=−

−

( )

para todo 0 <

= ( , ) es una ubicación espacial para el valor de = ( + 1/2) , = 0, … ,

− 1,donde

,

−

Usamos la siguiente discretización para la ecuación (3.9) (3.10)

AÑO XIII No. II JULIO - DICIEMBRE 2018

/

=−

( , )

.

Sea el número de puntos de la malla y definiendo la malla para medios de la forma /

entonces

tomando los puntos

= 1/ .

27

−

= 0, … ,

De la ecuación (3.7) debemos tener

1

1

=

/

/

− 1.

,

=0

Usamos las siguientes aproximaciones en diferencias para las derivadas

1 /

/

=

− 2

=

/

/

=2

/

=2

/ /

, ≠ 0, ,

/

, + 3/2 ≤

/

y

−

/

=

1

− 1/2, − 1/2 ≥ 1/2

−

/

−

,

( )

/

,

.

La ventaja de este método es que los puntos de la malla son puestos automáticamente sobre la onda y la velocidad de la onda es calculada en una forma verdaderamente sencilla.

La ecuación diferencial ordinaria (3.10) representa un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, las cuales son resueltas numéricamente por medio del método de Euler. La solución numérica del sistema está dada entonces por / ,

para

= 0, … ,

=

−1,

,

= 0,1, … , donde 1

1 / ,

1

−

/ ,

=

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/

,

=

, − 2

,

= / ,

/ ,

− 1

−

1

,

−

,

/ ,

/

=0

/ ,

, + 3/2 ≤

, ≠ 0, , − 1/2, − 1/2 ≥ 1/2

28

/ , / ,

y

/

=2

/ ,

/ ,

=2

=

−

1

−

( )

/ ,

,

/ ,

,

.

V- Resultados Numéricos Aplicando ambas estructuras numéricas para resolver la ecuación generalizada de Fisher para diversos valores de se obtuvieron los siguientes resultados que muestran la eficacia y estabilidad de los métodos así como su comportamiento.

Para esta primera condición inicial se obtiene únicamente la curva dada por la condición inicial (la curva suave) y la curva final calculada (dada por los puntos +) se usó este problema como un ejemplo simple, dado que no se encontró la solución exacta. Estas curvas cumplen con las condiciones de estabilidad, así como también deben ser monótonas y crecientes.

En las figuras siguientes se muestran los métodos de la inversa y predictor corrector, así como los tiempos de ejecución. Se considera el valor de = 1.1 y el tiempo final de = 5 . La condición inicial para ambos métodos es

( )=

Para

) Mé todo de la Inversa, tiempo de ejecució n 0.041s. = 1/21, = 0.01

1 2

1−

1 2

= 2 se obtuvieron las siguientes gráficas:

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,

,

< 0, > 0,

) Mé todo predictor-corrector, tiempo de ejecució n 0.071 = 0.5, = 0.1

29

) Mé todo de la Inversa, tiempo de ejecució n 0.023s. = 1/21, = 0.01

) Mé todo predictor-corrector, tiempo de ejecució n 0.060 = 0.5, = 0.1

Las gráficas siguientes muestran las soluciones calculadas si

) Mé todo de la Inversa, tiempo de ejecució n 0.039s. = 1/21, = 0.01

) Mé todo predictor-corrector, tiempo de ejecució n 0.059 = 0.5, = 0.1

Las gráficas siguientes muestran las soluciones calculadas si

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= 2.5

= 25

30

) Mé todo de la Inversa, tiempo de ejecució n 0.019s. = 1/21, = 0.01

) Mé todo predictor-corrector, tiempo de ejecució n 0.059 = 0.5, = 0.1

A continuación se grafica la solución exacta para las siguientes condiciones con el fin de demostrar la efectividad del método de la inversa tanto como la del método predictor-corrector.

En el caso particular cuando = 2 y la condición inicial está dada por se tiene que la solución exacta es

( )=

( , )=

1+

1+

1

1

√

,

√

√

.

Las siguientes gráficas muestran a la condición inicial (línea continua), la solución exacta (∗) y la solución calculada (+) en =5.

) Mé todo de la Inversa, tiempo de ejecució n 0.020s. = 1/21, = 0.01

) Mé todo predictor-corrector, tiempo de ejecució n 0.061 = 0.5, = 0.1

Para los ejemplos dados a continuación se usaron los siguientes datos y se compararon ambos

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31

métodos:  Condición inicial (línea continua), exacta (∘) , calculada (+) .  

Tiempos de cómputo: inversa ≈ 0.040 , predictor-corrector ≈ 0.065 .

Condición inicial

)]

.

( ) = [1 +



Método de la inversa



Método predictor-corrector

Para

=3

= 16

= 1/21,

= 1.1

(

)]

, solución exacta

( , ) = [1 +

±

= 0.001 .

= 0.5,

= 0.1 .

) Mé todo de la Inversa

) Mé todo predictor-corrector

) Mé todo de la Inversa

) Mé todo predictor-corrector

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(

32

) Mé todo de la Inversa

) Mé todo predictor-corrector

VI.- Conclusiones

En este trabajo se han presentado dos métodos numéricos totalmente diferentes. El primero, basado en las ideas dadas por Ames y Crank-Nicolson, es un método del tipo predictorcorrector. La ventaja de esta idea es que se resuelven sistemas lineales, evitando así la gran carga numérica que representa el resolver un sistema no lineal.

El segundo método, el método de la inversa, aprovecha el hecho de que las soluciones buscadas son del estrictamente monótonas, permitiendo construir una ecuación diferencial para la inversa de la solución original.

Es evidente, al ver los resultados obtenidos individualmente por cada esquema, que ambos métodos tienen resultados similares, mientras que en el método de la inversa se tiene la gran ventaja de que los puntos son puestos de manera automática al frente de la curva y tienen un tiempo de ejecución bastante eficiente.

Por otro lado, el método predictor-corrector tiene buenas propiedades de estabilidad y es mucho más concreto. Si bien el método de la inversa no es más exacto que el método de predictor corrector eso indica que ambos métodos son eficientes para calcular las ondas viajeras.

VII.- Referencias [1] Ablowitz, M. J., Kaup, D. J., Newel, A. C., and Segur, H,.Stud. Appl. Math. 53 pp. 249253, 1974.

[2] Ablowitz, M. J., Segur, H.. Solitons and the Inverse Scattering Transform. SIAM, Philadelphia pp.65-66, 1981.

[3] Ablowitz, M.J., Zeppetella, A., Explicit Solutions of Fisher's Equation for a Special Wave Speed, Bull. Math. Biol., Vol 45, pp. 835-840, 1979.

[4] Ames, W.F., Numerical Methods for Partial Differential Equations, New York: Academic Press, 1992.

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[5] Cariello, F., Tabor, M., Painlevé Expansions for Nonintegrable Evolution Equations, Physica D, Vol. 39, No. 1, pp. 77--94, 1989.

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AÑO XIII No. II JULIO - DICIEMBRE 2018

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