COMITÉ EDITORIAL COMITÉ DE EDITORIAL Raúl Sánchez Padilla Dr. Ingeniería Civil y Arquitectura Gerente General Desarrollos en Ingeniería Aplicada Presidente Comité Editorial Judith Ceja Hernández Ing. Industrial. Gerente de Gestión 3R's de México Vicepresidenta Comité Editorial Juan Manuel Negrete Naranjo Dr. en Filosofía Universidad de Freiburg i Br. Francisco J. Hidalgo Trujillo Dr. en Ingeniería Industrial Universitat Politécnica de Catalunya – FUNIBER Director Sede México Fundación Universitaria Iberoamericana David Vivas Agrafojo Mtro. en Educación Ambiental Universitat de Valencia - Responsable IMEDES Andalucía Antonio Olguín Reza Mtro. Desarrollo de Negocios Jabil Circuit Oscar Alberto Galindo Ríos Mtro. en Ingeniería Mecánica Eléctrica Secretario de la Asociación Mexicana de Energía Eólica Amalia Vahí Serrano Dra. en Geografía e Historia Universidad Internacional de Andalucía Universidad "Pablo Olavide" Ricardo Bérriz Valle Dr. en Sociología Coordinador de Proyecto Regional de Ciudadanía Ambiental Global
Manuel Arellano Castañeda Lic. en Informática Gerente Tecnologías de Información y Comunicación 3r's de México Erika Uscanga Noguerola Mtra. en Educación Coordinadora de Gestión Ambiental Centro Universitario Hispano Mexicano Maria Fernanda Corona Salazar Maestra Psicóloga en Constelaciones Familiares Dirección de Orientación Educativa Manuel Herrerías Rul Dr. en Derecho Herrerías y Asociados Raúl Vargas Ph.D. Mechanical Engineering College Of Engineering And Computer Science Florida Atlantic University Mtra. Lorena Casanova Pérez Manejo Sustentable de Recursos Naturales Universidad Tecnológica de la Huasteca Hidalguense. Hidalgo, México Mtro. Sérvulo Anzola Rojas Director de Liderazgo Emprendedor División de Administración y Finanzas Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey. Monterrey, México María Leticia Meseguer Santamaría Doctora Europea en Gestión Socio-Sanitaria Especialista en Análisis socio-económico de la situación de las personas con discapacidad. Universidad de Castilla-La Mancha, España. Red RIDES Red INERTE
Manuel Vargas Vargas Doctor en Economía Especialista en Economía Cuantitativa. Universidad de Castilla-La Mancha, España Red RIDES Red INERTE
COMITÉ DE ARBITRAJE INTERNACIONAL David Vivas Agrafojo Mtro. en Educación Ambiental Universitat de Valencia - Responsable IMEDES Andalucía Juan Manuel Negrete Naranjo Dr. en Filosofía Universidad de Freiburg i Br., Alemania Delia Martínez Vázquez Maestra Psicologa en Desarrollo Humano y Acompañamiento de Grupos. Universidad de Valencia Erika Uscanga Noguerola Mtra. en Educación Coordinadora de Gestión Ambiental. Centro Universitario Hispano Mexicano Bill Hanson Dr. Ingeniería en Ciencias National Center for Enviromental Innovation. US Enviromental Protection Agency Ph.D. María M. Larrondo-Petrie Directora Ejecutiva del Latin American And Caribbean Consortium Of Engineering Institutions "LACCEI" María Leticia Meseguer Santamaría Doctora Europea en Gestión Socio-Sanitaria Especialista en Análisis socio-económico de la situación de las personas con discapacidad. Universidad de Castilla-La Mancha, España. Red RIDES Red INERTE Manuel Vargas Vargas Doctor en Economía Especialista en Economía Cuantitativa. Universidad de Castilla-La Mancha, España Red RIDES Red INERT
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ISSN: 1870-8773
Año 10 / No. II / Julio – Diciembre / 2015
ANÁLISIS DE LA DINÁMICA DE MODELOS POBLACIONALES CON COSECHA Arriaga Gutiérrez, Ma. Merced (e‐mail: mercedarriaga@hotmail.com) Olmos Gómez, Miguel Angel (e‐mail: miguel.olmos@cucei.udg.mx) Departamento de Matemáticas, Universidad de Guadalajara
I. RESUMEN Los modelos poblacionales tradicionales son considerados con población constante. En este artículo presentamos los modelos tradicionales modificados de forma tal que permiten modelar dos tipos de cosechas: la cosecha constante y cosecha proporcional a la población presente. Se analiza la dinámica de ellos, presentando los resultados para cada uno de ellos. Palabras Clave: Modelo Poblacional, Ecuación Logística, Cosecha, Estabilidad, Dinámica de Población. I. ABSTRACT Traditional population models are considered with constant population. We present modified traditional models so that allow you to model two types of crops: the constant harvest and harvest proportional to this population. the dynamics of these analyzes, presenting the results for each of them. Keywords: Population Model Logistic Equation, Picking, Stability, Population Dynamics.
II. Introducción y Conceptos Básicos Los modelos matemáticos basados en ecuaciones diferenciales son usados para representar fenómenos que transcurren en el tiempo. Estas ecuaciones nos ayudan a describir la variación de un fenómeno conforme transcurre el tiempo. Ejemplos de estos son la ley de enfriamiento de Newton, reacciones químicas, decaimiento radioactivo o crecimiento poblacional [3]. En este artículo se presentan modelos matemáticos que representan el crecimiento de una población bajo ciertas características. Estas características están dictadas por las suposiciones que se hagan en la población considerada, como por ejemplo, si esta población dispone de recursos o espacio ilimitado. Los modelos matemáticos considerados se representan mediante ecuaciones diferenciales de primer orden. Además, estas ecuaciones son autónomas, es decir, la variable independiente, en este caso el tiempo, no aparece en forma explícita en la ecuación diferencial considerada [7]. Una ecuación diferencial autónoma se puede escribir de forma general como (2.1)
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dP f P . dt
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Si asumimos que f tiene primera derivada continua en la región de interés, se sigue del Teorema Fundamental de Existencia y Unicidad de la Solución [5], que existe una única solución al problema de valor inicial
dP = f (P ), dt P(t0 ) = P0 . Este resultado implica que dadas dos soluciones a dos problemas de valor inicial, sus gráficas no pueden intersectarse. Los ceros de la función f son de particular importancia y son llamados puntos críticos. Se tiene que si
c es un cero de f entonces P(t ) = c es también solución de la ecuación diferencial y es llamada solución de equilibrio. Los puntos críticos, también llamados puntos de equilibrio, son las únicas soluciones constantes de la ecuación diferencial.
Si la ecuación modelo general tiene soluciones de equilibrio, se tiene entonces que estas soluciones definen regiones en el plano (t, P ) donde las curvas solución de la ecuación modelo general se encuentran confinadas [6]. Los modelos poblacionales de interés son en general no lineales, es decir, la función f (P ) es no lineal. Para analizar el comportamiento de las soluciones, encontraremos primero las soluciones de equilibrio para así determinar las diferentes regiones que estos definen. Una vez determinadas estas regiones se analizará el comportamiento de las soluciones en dichas regiones, esto será hecho mediante el estudio del retrato fase unidimensional. El estudio del retrato de fase es una parte muy importante en el área de sistemas dinámicos. Esta área estudia el comportamiento de los puntos de equilibrio al variar ciertos parámetros que definen al sistema dinámico, el cual es, en este caso, la ecuación diferencial del modelo. Los parámetros a considerar en nuestro trabajo son parámetros que definen el comportamiento de la población a considerar. En los modelos presentados, al variar los parámetros, las soluciones de equilibrio pueden variar; algunas veces aparecen nuevas soluciones o en otros casos dos soluciones pueden colapsar en una sola o simplemente desaparecer. El problema de aparición o desaparición de soluciones de equilibrio es conocido como el problema de bifurcación y será analizado en cada modelo propuesto [2]. III. Modelos de Crecimiento Poblacional Muchas veces los ecólogos utilizan modelos muy sencillos para estudiar el comportamiento de los sistemas naturales. Unos de los modelos más básicos son los que describen el crecimiento de las poblaciones, relacionando el número de individuos que se encuentran en una población en un momento dado. Los modelos de crecimiento más comunes son el modelo de crecimiento exponencial y el modelo de crecimiento logístico. Ambos se diferencian fundamentalmente porque este último, considera el efecto de la relación lineal que existe entre el tamaño poblacional y el número de individuos que el ambiente puede soportar. Por el contrario, el modelo de crecimiento exponencial supone recursos ilimitados en el tiempo y el número de individuos depende solamente de la tasa de reposición de individuos de una www.auge21.net
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generación a otra [1]. En la siguiente sección consideraremos un modelo que involucra una población mínima. Este modelo servirá para representar poblaciones donde es necesario que exista un número mínimo de habitantes, para que la población se reproduzca y crezca o al menos se mantenga. Este es el caso de un modelo de crecimiento donde se presentan especies en peligro de extinción. III.1 - Modelo Exponencial El economista inglés Thomas Malthus fue uno de los primeros en intentar modelar el crecimiento poblacional humano por medio de las matemáticas en 1798. Básicamente, el fundamento del modelo Malthusiano es la suposición de que la rapidez a la que crece la población de un país en cierto tiempo es proporcional a la población total del país en ese momento. En otras palabras, mientras más gente haya en el tiempo t , más gente habrá en el futuro. En términos matemáticos, si P(t ) denota la población en el tiempo t , entonces esta suposición puede ser expresada como (3.1)
dP dP ∝P o = kP, dt dt
donde k > 0 es una constante de proporcionalidad y es conocida como tasa intrínseca de crecimiento, así cuando k = 0 , los nacimientos y las muertes se compensan, manteniéndose la población del mismo tamaño. Cuando k < 0 la población se reduce hacia la extinción y cuando k > 0 la población crece. Este modelo simple, que no toma en cuenta muchos factores que pueden afectar a las poblaciones humanas en cuanto a crecimiento o disminución (por ejemplo, inmigración o emigración), resultó ser bastante preciso para predecir la población de Estados Unidos durante los años 1790-1860. Son pocas las poblaciones que crecen a la velocidad que describe la ecuación (3.1) para modelar el crecimiento de poblaciones pequeñas en intervalos cortos de tiempo (crecimiento de bacterias en cajas de Petri, por ejemplo) [4]. Los casos verdaderos de crecimiento exponencial en los periodos largos son difíciles de encontrar debido a que los recursos limitados del ambiente ejercen, en algún momento, restricciones sobre el crecimiento de una población. Resumiendo, el modelo de crecimiento exponencial está dado por
(3.2)
dP = kP, dt P(0 ) = P0 ,
donde k > 0 es la constante de proporcionalidad y P0 es la población presente. La solución a (3.2) se obtiene mediante la técnica de separación de variables y está dada por
P(t ) = P0 e kt . En las figuras siguientes mostramos algunas gráficas de soluciones con valores para k = 0 , k < 0 y
k >0
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dP = kP, con dt k =0
Soluciones de
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dP = kP, con dt k <0
Soluciones de
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dP = kP, con dt k >0
Soluciones de
En la última gráfica, es posible observar que cuando k > 0 la solución crecería indefinidamente, lo cual no es posible ya que los recursos y el espacio en que se desarrollan los individuos es limitado. III.2.- Modelo Logístico Supongamos que un entorno es capaz de mantener a no más de un número fijo K > 0 de individuos en su población. La cantidad K se llama cantidad de soporte o población máxima del ambiente. Por consiguiente, para la función f en (modelo general) se debe de cumplir que f (0 ) = 0 y f ( K ) = 0 , lo cual implica que no existirá crecimiento de la población si la población es nula o si la población ha alcanzado a la población máxima que el entorno puede mantener. La función más simple que satisface estas propiedades es la función cuadrática f (P ) = kP(K − P ) y la ecuación (2.1) se transforma en
dP = kP( K − P). dt
(3.3)
La ecuación no lineal (3.3) es la misma ecuación que
dP = P (a − bP ), dt
(3.4) Al identificar
a con kK y b con kc .
Alrededor de 1840 el matemático-biólogo belga P. F. Verhulst se ocupó de modelos matemáticos para predecir las poblaciones humanas de varios países. Una de las ecuaciones que estudió fue la (3.4), con a > 0 y b > 0 . La ecuación (3.4) tomó el nombre de ecuación logística, y su solución se llama curva logística. La ecuación diferencial dP dt = kP no proporciona un modelo muy preciso para la población cuando ésta es muy grande. Las condiciones de sobrepoblación, con los efectos nocivos resultantes en el ambiente, como contaminación y demandas excesivas y de competencia por alimentos y combustible, pueden tener un efecto inhibitorio en el crecimiento de la población. Como se verá a continuación, la solución de (3.4) se limita cuando t → ∞. Si se escribe de nuevo la ecuación (3.4) como ddtP = aP − bP 2, el término www.auge21.net
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no lineal − bP 2 , con b > 0, se puede interpretar como un término de inhibición o competencia. Así mismo, en la mayor parte de las aplicaciones la constante positiva a es mucho más grande que la constante b. Las curvas logísticas han demostrado ser bastante precisas para predecir los patrones de crecimiento, en un espacio limitado, de ciertos tipos de bacterias, protozoarios, moscas de agua (Daphnia) y moscas de la fruta (Drosophila). Específicamente, el modelo de crecimiento exponencial supone que la población satisface las siguientes características: 1) 2) 3) 4)
Migración e inmigración balanceada Todos los individuos son idénticos Está compuesta por hembras partenogenéticas Recursos ambientales infinitos
El modelo logístico considera, como ya se mencionó, el efecto de la denso dependencia. Estos modelos simulan el crecimiento de una población cuando la población es dependiente de la densidad, suponiendo que el efecto negativo del tamaño de la población sobre el crecimiento per cápita es una función lineal simple. Es decir, las tasas de nacimiento y mortalidad per cápita son dependientes del número de individuos de la población en un momento dado. En general, estos modelos incorporan un componente de retroalimentación negativa: mayor el número de individuos, menor la tasa de crecimiento per cápita. El modelo de crecimiento logístico continuo es tal vez el más sencillo de la familia de modelos de denso-dependencia. En este caso las suposiciones son las siguientes: 1) 2) 3) 4) 5)
Migración e inmigración balanceada Todos los individuos son idénticos Está compuesta por hembras partenogenéticas Recursos ambientales finitos La presión de la denso dependencia es inmediata
Los modelos dependientes de densidad asumen que el tamaño de la población afecta al crecimiento per cápita. El efecto de la densidad sobre el crecimiento puede tomar varias formas, pero un modelo logístico impone una respuesta negativa y lineal. Notemos que si K es la capacidad de carga (cuantificada en número de individuos, K ), entonces K − P nos da una medida de la capacidad de carga no usada. Si queremos determinar el número de individuos de una población para un tiempo dado, podemos utilizar la relación que se obtiene solucionando la ecuación (3.3) para P(t ) (3.5)
P(t ) =
KP0 . P0 + (K − P0 ) e − Kkt
De esta última expresión podemos observar que si k > 0 , la solución P(t ) tiende a la población límite K cuando t crece. Para un mejor análisis de la ecuación (3.3), escribámosla en forma adimensional haciendo P = KPˆ , r = kK y tˆ = rt . La ecuación se reduce a
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(3.6)
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dPˆ ˆ = P(1 − Pˆ ). dtˆ
La solución a la ecuación (3.6) es (3.7)
Pˆ (tˆ ) =
Pˆ0 , Pˆ0 + (1 − Pˆ0 )e −tˆ
donde Pˆ0 = Pˆ (0 ) es la proporción
P (0 ) K
de la población inicial del ecosistema.
Esta última expresión describe el comportamiento de la fracción de la población
P K
= Pˆ , donde Pˆ = 0
significa que no hay individuos y Pˆ = 1 que el entorno o ecosistema se encuentra totalmente saturado. Para obtener la solución del modelo (3.3) recordemos que P = KPˆ , r = kK y tˆ = rt , sustituyendo en (3.7) y simplificando se sigue que
P(t ) =
KP0 P0 + (K − P0 ) e − Kkt
la cual coincide con la solución dada en (3.5). Para obtener la solución del modelo logístico (3.3) recordemos que a = kK , b = kc y P = cP por lo que se obtiene la solución del modelo logístico (3.4)
P (t ) =
aP0 . bP0 + (a − bP0 ) e −at
En la Tabla 3.1 presentamos las diferentes representaciones del modelo logístico, sus soluciones y las relaciones existentes entre ellos Ecuación
Solución
dPˆ dtˆ
= Pˆ (1 − Pˆ )
Pˆ (tˆ ) =
dPˆ dt
= rPˆ (1 − Pˆ )
Pˆ (t ) =
Cambios de variable
Pˆ0 Pˆ0 + (1− Pˆ0 )e − tˆ
tˆ = rt
Pˆ0 Pˆ0 + (1− Pˆ0 )e − rt
dP dt
= kP( K − P) P(t ) =
dP dt
= P (a − bP ) P (t ) = bP +(aa−PbP )e
KP0 P0 + ( K − P0 ) e − Kkt 0
0
− at
P = KPˆ , tˆ = rt
y
r = kK
a = kK , b = kc
y
P = cP
0
Tabla 3.1: Representaciones del modelo logístico Dado que los modelos (3.3) y (3.4) pueden ser reducidos al modelo (3.6) analizaremos el comportamiento cualitativo de las soluciones en el modelo (3.6)
dPˆ ˆ = P(1 − Pˆ ). dtˆ Para esto, los puntos críticos son solución de la ecuación www.auge21.net
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Pˆ (1 − Pˆ ) = 0, y estos son
Pˆ = 0, Pˆ = 1. Estos puntos críticos dividen al eje Pˆ en tres regiones: − ∞ < Pˆ < 0 , 0 < Pˆ < 1 , y 1 < Pˆ < ∞ . A continuación analizamos el comportamiento de
dPˆ dtˆ
en estas regiones. Se tiene que el factor Pˆ es
negativo para − ∞ < Pˆ < 0 , positivo para 0 < Pˆ < 1 y positivo también si 1 < Pˆ < ∞ . Similarmente se hace el análisis para el otro factor. Lo anterior se resume en la Tabla 3.2 Intervalo
1 < Pˆ < ∞ 0 < Pˆ < 1 − ∞ < Pˆ < 0
Pˆ + + −
1− Pˆ
dPˆ dtˆ
= Pˆ (1 − Pˆ )
− + +
− + −
Tabla 3.2 Comportamiento de
dPˆ dtˆ
La representación gráfica de la Tabla 3.2 se llama retrato de fase de la ecuación diferencial dPˆ ˆ ˆ y está dado en la siguiente figura dtˆ = P (1 − P )
De esto se sigue que Pˆ = 0 es una solución inestable y Pˆ = 1 es una solución estable. Si analizamos la segunda derivada de Pˆ , la cual es obtenida al derivar la ecuación ddPtˆˆ = Pˆ (1 − Pˆ ) se tiene que
d 2 Pˆ = (1 − 2 Pˆ ) Pˆ (1 − Pˆ ). dtˆ 2 De aquí que Pˆ =
1 2
sea un punto de inflexión de la solución. Se puede observar que si 0 < Pˆ < 12 , Pˆ
es cóncava hacia arriba
(
d 2 Pˆ dtˆ 2
)
> 0 y si
1 2
< Pˆ < 1 la solución será cóncava hacia abajo.
(
d 2 Pˆ dtˆ 2
)
< 0 En la
Tabla 3.3 se muestra el comportamiento de la solución en cada región. Intervalo www.auge21.net
Pˆ 84
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1 < Pˆ < ∞ Pˆ = 1 1 ˆ 2 < P <1 Pˆ = 12
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Decreciente Solución de equilibrio estable Creciente
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Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo
Punto de inflexión
Creciente Cóncava hacia arriba 0 < Pˆ < 12 Solución de equilibrio inestable Pˆ = 0 Cóncava hacia abajo − ∞ < Pˆ < 0 Decreciente Tabla 3.3 Comportamiento Cualitativo de la Solución de ddPtˆˆ = Pˆ (1 − Pˆ ) La región 0 < Pˆ < 12 se denomina región de crecimiento rápido y la región 12 < Pˆ < 1 se llama región de crecimiento lento de la población. La región de interés para este modelo poblacional es 0 ≤ Pˆ ≤ 1 . Para determinar el comportamiento cualitativo de los modelos (3.3) y (3.4) solo es necesario efectuar los cambios de variables respectivos, mostrados en la Tabla 3.3. Con esto obtenemos: Intervalo
P K < P < ∞ Decreciente Solución de equilibrio estable P=K K 2
<P<K
P=
K 2
Creciente
Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo
Punto de inflexión
Cóncava hacia arriba 0 < P < K2 Creciente Solución de equilibrio inestable P=0 Cóncava hacia abajo − ∞ < P < 0 Decreciente Tabla 3.4 Comportamiento Cualitativo de la Solución de dP dt = kP ( K − P ) y Intervalo a b
<P <∞
P= a 2b
a b
< P <1
P=
a 2b
P Decreciente
Cóncava hacia arriba
Solución de equilibrio estable Creciente
Cóncava hacia abajo
Punto de inflexión
Cóncava hacia arriba 0 < P < 2ab Creciente Solución de equilibrio inestable P =0 Cóncava hacia abajo − ∞ < P < 0 Decreciente Tabla 3.4 Comportamiento Cualitativo de la Solución de ddtP = P (a − bP ) Las gráficas del campo de direcciones y algunas de sus soluciones están dadas en las figuras siguientes, donde podemos observar el comportamiento cualitativo de ellas.
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Soluciones y Campo de Direcciones de dPˆ dtˆ
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Soluciones y Campo de Direcciones de
= Pˆ (1 − Pˆ )
dP dt
= kP( K − P)
Cabe hacer notar que el comportamiento cualitativo de las soluciones no es fácil de observar a partir de las soluciones analíticas dadas en la Tabla 2.1, pero es fácil de observar al efectuar el análisis del retrato de fase y de la concavidad de la solución, el cual fue obtenido sin necesidad de resolver las ecuaciones diferenciales. Además, el haber resuelto la ecuación 2.6 puro nos permitió obtener las soluciones a los otros modelos con un simple cambio de variable. III.3.- Modelo Logístico con Población Crítica El modelo logístico (2.3), asume que dada una población inicial P0 con 0 < P0 < K siempre crecerá hasta alcanzar la población límite K . Esta suposición no es realista, ya que, si consideramos que la población se encuentra distribuida en un espacio suficientemente grande y la población inicial es pequeña entonces los encuentros entre machos y hembras serán limitados y no habrá nuevos nacimientos con lo cual la población tenderá a desaparecer. Este es el caso de las especies en peligro de extinción, donde la población es tan pequeña, que es prácticamente imposible que haya encuentros entre elementos de la población. Este tipo de poblaciones son conocidas como poblaciones asociales y su comportamiento es conocido como el efecto Allee, quien fue el primero en describirlo matemáticamente. En este caso el crecimiento es negativo debido a que la densidad de la población es pequeña, y es de nuevo negativo debido a que la densidad de la población es muy grande originando así sobrepoblación, tal y como lo refleja la ecuación logística. El modelo matemático es (3.8)
dP = kP( K − P)(P − B ), 0 < B < K , 0 < k , dt
donde K > 0 representa la población máxima del ecosistema y B > 0 la población crítica. La ecuación puede ser escrita en forma adimensional al hacer P = KPˆ , tˆ = kK 2t y b = B / K como (3.9)
dPˆ ˆ = P(1 − Pˆ )(Pˆ − b ), 0 < b < 1. dtˆ
Analizaremos el comportamiento cualitativo de las soluciones en el modelo (3.9). Para esto, los puntos críticos son solución de la ecuación Pˆ (1 − Pˆ ) Pˆ − b = 0, y estos son Pˆ = 0, Pˆ = b, Pˆ = 1.
(
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)
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Estos puntos críticos dividen al eje Pˆ en cuatro regiones: − ∞ < Pˆ < 0 , 0 < Pˆ < b , b < Pˆ < 1 y 1 < Pˆ < ∞ . A continuación mostramos el comportamiento de ddPtˆˆ en estas regiones en la tabla siguiente, junto con su retrato de fase
1 − Pˆ Pˆ − b + − 1 < Pˆ < ∞ + + b < Pˆ < 1 + − 0 < Pˆ < b − − ∞ < Pˆ < 0 − +
Intervalo
Pˆ + + +
dPˆ dtˆ
= Pˆ (1 − Pˆ )( Pˆ − b)
− + − +
Tabla 3.6 Comportamiento de
dPˆ dtˆ
De esto se sigue que Pˆ = 0 es una solución estable, Pˆ = b es inestable y Pˆ = 1 es una solución estable. Si analizamos la segunda derivada de Pˆ , la cual se obtiene al derivar la ecuación dPˆ ˆ ˆ ˆ dtˆ = P (1 − P ) P − b . Se tiene que
(
)
)
(
d 2 Pˆ dPˆ = − 3Pˆ 2 + 2(b + 1) Pˆ − b . 2 dtˆ dtˆ Los
puntos
(
de
inflexión
)
de
la
solución
están
dados
en
(
Pˆ1 = 13 b + 1 + b 2 − b + 1
)
y
Pˆ2 = 13 b + 1 − b 2 − b + 1 . En la figura siguiente mostramos una gráfica típica de la segunda derivada. 0.03
P''
0.02 0.01
-0.2 -0.01
0.2
P1 b
0.4
0.6
P2
0.8
1.0
1.2
t
-0.02 -0.03
En la figura anterior se puede observar que si 0 < Pˆ < Pˆ1 , entonces Pˆ es cóncava hacia arriba
(
d 2 Pˆ dtˆ 2
)
> 0 , si Pˆ1 < Pˆ < b la solución será cóncava hacia abajo
cóncava hacia arriba
(
2
d Pˆ dtˆ 2
<0
)
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(
2
d Pˆ dtˆ 2
)
(
d 2 Pˆ dtˆ 2
)
< 0 , si b < Pˆ < Pˆ2 la solución será
> 0 y finalmente si Pˆ2 < Pˆ < 1 entonces Pˆ es cóncava hacia abajo
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En la Tabla 3.7 se muestra el comportamiento de la solución en cada región. Intervalo
Pˆ
1 < Pˆ < ∞ Pˆ = 1 Pˆ2 < Pˆ < 1 Pˆ = Pˆ2
Decreciente Solución de equilibrio estable Creciente
b < Pˆ < Pˆ2
Creciente
Pˆ = b
Solución de equilibrio inestable Decreciente Cóncava hacia abajo
Pˆ1 < Pˆ < b Pˆ = Pˆ1 0 < Pˆ < Pˆ1
Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo
Punto de inflexión Cóncava hacia arriba
Punto de inflexión Decreciente
Cóncava hacia arriba
Solución de equilibrio estable Pˆ = 0 − ∞ < Pˆ < 0 Creciente
Cóncava hacia abajo
Tabla 3.7 Comportamiento Cualitativo de la Solución de
dPˆ ˆ = P(1 − Pˆ )(Pˆ − b ) dtˆ
La región b < Pˆ < Pˆ2 se denomina región de crecimiento rápido y la región Pˆ2 < Pˆ < 1 se llama región de crecimiento lento de la población. Similarmente las regiones 0 < Pˆ < Pˆ1 y Pˆ1 < Pˆ < b se denominan regiones de decrecimiento lento y rápido de la población, respectivamente. La región de interés para este modelo poblacional es 0 ≤ Pˆ ≤ 1 . En la figura siguiente presentamos algunas soluciones de (3.9) y su campo de direcciones.
Soluciones y Campo de Direcciones de
dPˆ dtˆ
= Pˆ (1 − Pˆ )( Pˆ − a )
Cabe hacer notar que para la ecuación (3.9) no es posible obtener la solución en forma explícita, pero si en forma implícita. Esta está dada por
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(Pˆ − b ) Pˆ
b −1
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= ceb (1−b )tˆ (Pˆ − 1)
b
El comportamiento para el modelo (3.8) es similar y es obtenido de la Tabla 3.7 haciendo los cambios de variables correspondientes y es mostrado en la Tabla 3.8 Intervalo
P K < P < ∞ Decreciente Solución de equilibrio estable Pˆ = K P2 < P < K Creciente
P = P2 B < P < P2 P=B P1 < P < B P = P1 0 < P < P1 P=0 −∞ < P < 0
Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo
Punto de inflexión Creciente
Cóncava hacia arriba
Solución de equilibrio inestable Decreciente Cóncava hacia abajo Punto de inflexión Decreciente
Cóncava hacia arriba
Solución de equilibrio estable Creciente
Cóncava hacia abajo
Tabla 3.8 Comportamiento Cualitativo de la Solución de
dP = kP( K − P )(P − B ) dt
donde 2 2 1 1 3 2 1 1 3 2 P1 = B + k + B − k + k , P2 = B + k − B − k + k . 3k 2 4 3k 2 4
IV.- Modelos de Crecimiento Poblacional con Cosecha Constante En esta sección consideraremos una población, en la cual, algunos miembros de la población son removidos, como es el caso de las pesquerías. En este caso diremos que los elementos de la población son cosechados, capturados o removidos de la población. Para determinar la cantidad o proporción de elementos que serán cosechados de la población hay que tener en consideración si nos importa o no que la población se mantenga o simplemente desaparezca. Consideraremos los modelos logístico y logístico con población crítica y les agregaremos un término constante, el cual representará el número de individuos que serán removidos de la población. IV.1.- Modelo Logístico con Cosecha Constante La ecuación (4.1)
dP = rP(K − P ) − h, h > 0, dt
es un modelo extremadamente simple de una población de peces o de cualquier población con comportamiento logístico donde haya una cosecha. En la ausencia de pesca, la población crecerá logísticamente. Los efectos de la pesca son modelados por el término − h , el cual representa los peces que son capturados o cosechados a una taza constante h > 0 , esto asume que los pescadores no están www.auge21.net
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preocupados por si la población de peces desaparece, simplemente atrapan el mismo número de peces todos los días. El modelo puede ser escrito en forma adimensional como
dPˆ ˆ = P(1 − Pˆ ) − Hˆ , dtˆ
(4.2) donde Pˆ =
P K
, tˆ = Krt , y Hˆ =
h K 2r
.
Los puntos de equilibrio del modelo (4.2) son las soluciones de
Pˆ (1 − Pˆ ) − Hˆ = 0, las cuales dependerán de la cosecha efectuada Hˆ . Estos puntos son
1 1 1 1 1 1 1 1 − 4 Hˆ , 0 < Hˆ < , Pˆ1 = , Hˆ = , 1 − 4 Hˆ , Pˆ2 = + Pˆ1 = − 4 2 2 2 4 2 2 Si Hˆ >
1 4
no existen puntos de equilibrio.
En las siguientes figuras se presentan las gráficas de Pˆ (1 − Pˆ ) y Hˆ , de donde es posible observar la existencia o no de los puntos de equilibrio.
H 0.3
0.3
0.3
H
H 0.2
P1
0.2
P1
0.1
P2
0.2
0.1
0.1
0.0
0.0 0.0
0.2
0.4
0.6
0 < Hˆ <
1 4
0.8
1.0
P
0.0 0.0
0.2
0.4
Hˆ =
0.6
1 4
0.8
1.0
P
0.0
0.2
0.4
Hˆ >
0.6
0.8
1.0
P
1 4
El comportamiento de los puntos de equilibrio y su estabilidad dependerá del valor del parámetro Hˆ . En la Figura siguiente presentamos los respectivos retratos de fase
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Se tiene que mientras que 0 < Hˆ <
1 4
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, la ecuación diferencial tendrá dos puntos de equilibrio
Pˆ1 = 12 − 12 1 − 4 Hˆ y Pˆ2 = 12 + 12 1 − 4 Hˆ , donde Pˆ1 es inestable y Pˆ2 es estable. Si Hˆ = 14 , los dos puntos colapsan en uno solo Pˆ1 = 12 , el cual, es semiestable. Si Hˆ > 14 no existen puntos de equilibrio. Este fenómeno, donde los puntos de equilibrio son creados y/o destruidos es conocido como bifurcación del tipo silla y decimos que una bifurcación ocurre en Hˆ = 14 . Para el modelo poblacional considerado se tiene que la región de interés para Hˆ es 0 < Hˆ ≤ si Hˆ >
1 4
1 4
ya que
la población decrecerá.
Si graficamos los puntos de equilibrio en términos del parámetro Hˆ ; obtenemos lo que se llama diagrama de bifurcación. En este diagrama representamos con una línea punteada a los puntos de equilibrio inestables y con una línea continua a los puntos de equilibrio estables. El diagrama se muestra en la siguiente figura
P
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
H
En las Tablas 4.1, 4.2 y 4.3 se muestra el comportamiento de la solución en cada región para 0 < Hˆ < , Hˆ =
1 4
1 4
y Hˆ > 14 .
Intervalo Pˆ Decreciente Pˆ1 < Pˆ Solución de equilibrio estable Pˆ = Pˆ1 1 < Pˆ < Pˆ1 Creciente 2 Punto de inflexión Pˆ = 12 Pˆ2 < Pˆ < 12 creciente Solución de equilibrio estable Pˆ = Pˆ1 Decreciente Pˆ < Pˆ1
Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo
Tabla 4.1 Comportamiento Cualitativo de la Solución de
Pˆ1 = 12 − 12 1 − 4 Hˆ y Pˆ2 = 12 + 12
dPˆ ˆ = P(1 − Pˆ ) − Hˆ , 0 < Hˆ < 14 , dtˆ 1 − 4 Hˆ
Intervalo Pˆ www.auge21.net
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< Pˆ
Pˆ = Pˆ <
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Decreciente
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Cóncava hacia arriba
1 2
Solución de equilibrio semiestable
1 2
Decreciente
Cóncava hacia abajo
Tabla 4.2 Comportamiento Cualitativo de la Solución de Intervalo Pˆ 1 Decreciente < Pˆ
Cóncava hacia arriba
2
Pˆ = Pˆ <
dPˆ ˆ = P(1 − Pˆ ) − Hˆ , Hˆ = 14 , dtˆ
1 2
Punto de inflexión
1 2
Decreciente
Cóncava hacia abajo
Tabla 4.3 Comportamiento Cualitativo de la Solución de
dPˆ ˆ = P(1 − Pˆ ) − Hˆ , Hˆ > 14 , ˆ dt
= Pˆ (1 − Pˆ ) − Hˆ . Como puede observarse de las figuras, se tiene que la región de interés del parámetro Hˆ es (0, 14 ) y dPˆ dtˆ
En las figuras siguientes mostramos algunas soluciones y campo de direcciones de
( )
en este caso la región considerada para que la población Pˆ se mantenga es Pˆ2 ,1 . Cabe hacer notar que el valor de Pˆ = de Hˆ ≠
1 4
1 2
siempre será un punto de inflexión de la ecuación diferencial para cualquier valor
.
0 < Hˆ <
1 4
Hˆ =
1 4
Hˆ >
1 4
El análisis para el modelo dP dt = rP (K − P ) − h, h > 0 puede ser hecho al trasformar las variables de las Tablas 4.1, 4.2 y 4.3 para obtener las Tablas 4.4, 4.5 y 4.6.
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Intervalo P1 < P < P < P1
P = 12 P2 < P <
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P Decreciente Cóncava hacia arriba Solución de equilibrio estable
P = P1 1 2
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Creciente
Cóncava hacia abajo
Punto de inflexión 1 2
Creciente
Cóncava hacia arriba
P = P1
Solución de equilibrio estable
P < P1
Decreciente
Cóncava hacia abajo dP = rP ( K − P ) − h, 0 < K 2 r − 4h , donde dtˆ
Tabla 4.4 Comportamiento Cualitativo de la Solución de
P1 =
K 2
− 21r
(K
2
)
r − 4h r y P2 =
K 2
Intervalo P K < P Decreciente
P=
K 2
Solución de equilibrio semiestable
P<
K 2
Decreciente
P=
K 2
Punto de inflexión
P<
K 2
Decreciente
)
r − 4h r
Cóncava hacia abajo
Tabla 4.5 Comportamiento Cualitativo de la Solución de
2
2
Cóncava hacia arriba
2
Intervalo P K < P Decreciente
(K
+ 21r
dP = rP ( K − P) − h, 0 = K 2 r − 4h dtˆ
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia abajo
Tabla 4.6 Comportamiento Cualitativo de la Solución de
dP = rP ( K − P ) − h, 0 > K 2 r − 4h dtˆ
IV.2.- Modelo Logístico con Población Crítica y Cosecha Constante Para el modelo logístico con población crítica y cosecha constante hacemos también la consideración de que a los pescadores no les importa si la población se mantiene o desaparece. Este modelo es (4.3)
dP = rP(K − P )(P − B ) − h, h > 0, 0 < B < K . dt
En la ausencia de pesca, la población crecerá logísticamente siempre y cuando la población inicial satisfaga ciertas condiciones. Los efectos de la pesca son modelados por el término − h , el cual representa los peces que son capturados o cosechados a una tasa constante h > 0 . El modelo puede ser escrito en forma adimensional como
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dPˆ ˆ = P (1 − Pˆ )( Pˆ − Bˆ ) − Hˆ , 0 < Hˆ , 0 < Bˆ < 1, dtˆ
(4.4) donde Pˆ =
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P K
, tˆ = rK 2 , Hˆ =
h rK 3
y Bˆ =
B K
.
Los puntos de equilibrio del modelo (4.4) son las soluciones de
Pˆ (1 − Pˆ )( Pˆ − Bˆ ) − Hˆ = 0. Estos puntos pueden ser determinados en forma analítica, pero las expresiones resultantes son demasiado complejas para permitir un análisis adecuado. Debe ser notado que los mínimos y máximos de Pˆ (1 − Pˆ )( Pˆ − Bˆ ) son alcanzados en 2 2 1 ˆ 1 3 ˆ 1 3 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ y P5 = 1 + B + B − + , P4 = 1 + B − B − + 3 2 4 3 2 4
y los valores mínimos y máximos de Pˆ (1 − Pˆ )( Pˆ − Bˆ ) son
( ( ((
)
)
1 − 2 Bˆ 2 − Bˆ + 1 Bˆ 2 − Bˆ + 1 + (Bˆ − 2 )(2 Bˆ − 1)(Bˆ + 1) , 27 1 2 Bˆ 2 − Bˆ + 1 Bˆ 2 − Bˆ + 1 + (Bˆ − 2 )(2 Bˆ − 1)(Bˆ + 1) , 27 respectivamente,
lo que para que haya tres f Pˆ = Pˆ (1 − Pˆ )( Pˆ − Bˆ ) y g Pˆ = Hˆ se requiere que
( )
por
)
)
( )
( (
intersecciones
entre
las
gráficas
de
)
)
1 − 2 Bˆ 2 − Bˆ + 1 Bˆ 2 − Bˆ + 1 + (Bˆ − 2 )(2 Bˆ − 1)(Bˆ + 1) < Hˆ y 27 1 Hˆ < Hˆ c = 2 Bˆ 2 − Bˆ + 1 Bˆ 2 − Bˆ + 1 + (Bˆ − 2 )(2 Bˆ − 1)(Bˆ + 1) . 27
((
)
)
Esta última condición establece un límite en la captura. Ahora recurriremos al método gráfico efectuado en la sección anterior para determinar el comportamiento de las soluciones de (4.4). Graficamos a las funciones f Pˆ = Pˆ (1 − Pˆ )( Pˆ − Bˆ ) y
( )
g (Pˆ ) = H . Los puntos de equilibrio serán las intersecciones de estas dos gráficas, como se muestra en
las siguientes figuras
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0.15
0.15
0.15
0.10
0.10
0.10
0.05
0.05
0.05
-0.2 -0.05
0.2
0.4
0.6
-0.10
0.8
1.0
P
-0.2 -0.05
0.2
0.4
0.8
1.0
P
-0.2 -0.05
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
P
-0.10
-0.10
0 < Hˆ < Hˆ c
0.6
Hˆ = Hˆ c
Hˆ > Hˆ c
Por lo tanto se tiene que si 0 < Hˆ < Hˆ c habrá dos puntos de intersección Pˆ1 y Pˆ2 para Pˆ > 0 . El tercer punto de intersección Pˆ3 se obtiene para Pˆ < 0 por lo que no es de interés para nuestro modelo. Si Hˆ = Hˆ c los dos puntos Pˆ1 y Pˆ2 colapsan en uno solo, quedando así únicamente los puntos de equilibrio Pˆ1 y Pˆ3 . Cuando Hˆ > Hˆ c , solo queda el punto de equilibrio Pˆ3 . El comportamiento de los puntos de equilibrio y su estabilidad dependerá del valor del parámetro Hˆ . Esto es mostrado en la siguiente figura
Para el modelo poblacional considerado se tiene que la región de interés para Hˆ es 0 < Hˆ ≤ Hˆ c ya que si
Hˆ > Hˆ c
la población decrecerá.
Si 0 < Hˆ < Hˆ c se tiene que Pˆ1 es un punto de equilibrio inestable, Pˆ2 es estable y Pˆ3 es también estable. Si Hˆ = Hˆ c , Pˆ1 es semiestable y Pˆ3 es estable. Ahora en el caso Hˆ > Hˆ c se tiene que Pˆ3 es el único punto de equilibrio y es estable. Si graficamos los puntos de equilibrio en términos del parámetro Hˆ obtenemos lo que se llama diagrama de bifurcación. En este diagrama representamos con una línea punteada a los puntos de equilibrio inestables y con una línea continua a los puntos de equilibrio estables. Este diagrama se muestra en la figura siguiente
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P
H
En las Tablas 4.7, 4.8 y 4.9 se muestra el comportamiento de la solución en cada región para 0 < Hˆ < Hˆ c , Hˆ = Hˆ c y Hˆ > Hˆ c .
Intervalo Pˆ2 < Pˆ
Pˆ Decreciente
Cóncava hacia arriba
Pˆ = Pˆ2 Solución de equilibrio estable Pˆ4 < Pˆ < Pˆ2 Creciente Pˆ = Pˆ4 Punto de inflexión Pˆ1 < Pˆ < Pˆ4 Creciente
Cóncava hacia arriba
Pˆ = Pˆ1 Pˆ5 < Pˆ < Pˆ1
Solución de equilibrio inestable Cóncava hacia abajo
Pˆ = Pˆ5 Pˆ3 < Pˆ < Pˆ5
Punto de inflexión
Pˆ = Pˆ3 Pˆ < Pˆ3
Decreciente Decreciente
Cóncava hacia arriba
Solución de equilibrio estable Creciente
Tabla 4.7 Comportamiento Cualitativo de la Solución de
Intervalo Pˆ1 < Pˆ
Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia abajo dPˆ ˆ = P(1 − Pˆ )( Pˆ − Bˆ ) − Hˆ , 0 < Hˆ < Hˆ c dtˆ
Pˆ Decreciente
Cóncava hacia arriba
Pˆ = Pˆ1 Solución de equilibrio inestable Pˆ5 < Pˆ < Pˆ1 Decreciente Cóncava hacia abajo Pˆ = P Punto de inflexión Pˆ3 < Pˆ < P Decreciente Cóncava hacia arriba Pˆ = Pˆ3 Solución de equilibrio estable Pˆ < Pˆ3 Creciente Cóncava hacia abajo www.auge21.net
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Tabla 4.8 Comportamiento Cualitativo de la Solución de
,
Intervalo Decreciente
Cóncava hacia arriba
Punto de inflexión Decreciente
Cóncava hacia abajo
Punto de inflexión Decreciente
Cóncava hacia arriba
Punto de equilibrio estable Creciente
Cóncava hacia abajo
Tabla 4.9 Comportamiento Cualitativo de la Solución de En
las
siguientes
parámetro es
es
,
figuras mostramos algunas soluciones y campo de direcciones de . Como puede observarse de las figuras, se tiene que la región de interés del y en este caso la región considerada para que la población
. Cabe hacer notar que el valor de
diferencial para cualquier valor de
se mantenga
siempre será un punto de inflexión de la ecuación
.
V.- Modelos de Crecimiento Poblacional con Cosecha Proporcional a la Población Consideramos ahora una población en la que existe una cosecha, pero esta cosecha dependerá del número de elementos presentes en el tiempo . Esto asume, contrario al capítulo anterior, que las personas que efectúan la cosecha son personas conscientes, preocupadas por el hecho de que la población pudiese desaparecer si muchos elementos son removidos. Consideraremos los modelos logístico y logístico con población crítica y les agregaremos un término, el cual representará la cantidad o proporción de la población que es cosechada. V.1.- Modelo Logístico con cosecha proporcional a la población www.auge21.net
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La ecuación
dP = rP(K − P ) − hP, r , K , h > 0, dt es un modelo extremadamente simple de una población de peces o de cualquier población con comportamiento logístico donde haya una cosecha. En la ausencia de pesca, la población crecerá logísticamente. Los efectos de la pesca son modelados por el término − hP , el cual representa los peces que son capturados o cosechados a una tasa constante h > 0 proporcional a la población presente. Este término asume que los pescadores están preocupados por si la población de peces desaparece, a mayor población mayor será la captura, a menor población la captura se reduce. Reacomodando términos, el modelo puede ser escrito como
dP ~ − P ), = rP (K dt
~
donde K = K − hr . Al hacer los cambios de variables
P = K~Pˆ , tˆ = rK~t , se sigue que le modelo puede ser escrito en forma adimensional como
dPˆ ˆ = P (1 − Pˆ ), dtˆ el cual corresponde al modelo (3.6). Para que el modelo tenga sentido biológico se requiere que cosecha no puede ser mayor que
Intervalo
K − hr > 0 . Esto es rK > h , la tasa de
rK . De ahí que el comportamiento sea el mostrado en la Tabla 5.1
P
K− <P<∞
Decreciente
P = K − hr
Solución de equilibrio estable
1 2
Creciente
h r
(K − hr ) < P < K − hr P = 12 (K − hr ) 0 < P < 12 (K − hr ) P=0 −∞ < P < 0 www.auge21.net
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia abajo
Punto de inflexión Creciente
Cóncava hacia arriba
Solución de equilibrio inestable Decreciente Cóncava hacia abajo
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Tabla 5.1 Comportamiento Cualitativo de la Solución de
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dP = rP ( K − P) − hP dtˆ
El efecto de remover individuos en forma proporcional a la población es el mismo que el de reducir la población máxima del ecosistema. Una gráfica típica de algunas soluciones es presentada en la siguiente figura
V.2.- Modelo Logístico con población crítica y cosecha proporcional a la población Para el modelo logístico con población crítica y cosecha proporcional a la población presente hacemos de nuevo la consideración de que a los pescadores si les importa si la población se mantiene o desaparece. Este modelo es
dP = rP(K − P )(P − B ) − hP, h > 0, 0 < B < K , dt En la ausencia de pesca, la población crecerá logísticamente siempre y cuando la población inicial satisfaga ciertas condiciones. Los efectos de la pesca son modelados por el término − hP , el cual representa los peces que son capturados o cosechados a una tasa constante h > 0 . El modelo puede ser escrito en forma adimensional como 2 dónde P = KPˆ , tˆ = rK t , Hˆ =
h rK 2
y Bˆ =
B K
dPˆ ˆ = P(1 − Pˆ )( Pˆ − Bˆ ) − Hˆ Pˆ , 0 < Hˆ , 0 < Bˆ < 1, dtˆ
, el cual a su vez puede ser reducido a
dPˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = P( P4 − P)( P − P3 ), dtˆ dónde
1 1 Pˆ3 = (Bˆ + 1) − 2 2
(Bˆ − 1)
2
− 4 Hˆ , Pˆ4 =
1 ˆ (B + 1) + 1 2 2
(Bˆ − 1)
2
− 4 Hˆ ;
esto es, www.auge21.net
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P3 =
1 (K + B ) − 1 2 2
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(K − B )2 − 4 h , P4 = 1 (K + B ) + 1 (K − B )2 − 4 h , r
2
2
r
con 0 < P3 ≤ P4 < 1 , el cual corresponde al modelo (3.8) con k = 1, K = Pˆ4 , B = Pˆ3 . Cabe hacer notar que en ausencia de cosecha, h = 0 , se tiene que los puntos de equilibrio son P = B y P = K como era de esperarse. Para que el modelo tenga al menos dos puntos de equilibrio diferentes de cero, se requiere que
(Bˆ − 1)
2
− 4 Hˆ ≥ 0.
Esto es
r (K − B )2 ≥ h. 4 Si esta condición es satisfecha el comportamiento es el mostrado en la Tabla 5.2. Intervalo
P
Pˆ4 < P < ∞ Decreciente Solución de equilibrio estable P = Pˆ4
Cóncava hacia arriba
Pˆ2 < P < Pˆ4 Creciente Punto de inflexión P = Pˆ2
Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia arriba Pˆ3 < P < Pˆ2 Creciente Solución de equilibrio inestable P = Pˆ3
Pˆ1 < P < Pˆ3
Decreciente
P = Pˆ1
Punto de inflexión
0 < P < Pˆ1 Decreciente Solución de equilibrio estable P=0 − ∞ < P < 0 Creciente
Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo
Tabla 5.2 Comportamiento Cualitativo de la Solución de
dP = rP(K − P )(P − B ) − hP dt
donde Pˆ1 y Pˆ2 son los correspondientes puntos de inflexión. El efecto de remover individuos en forma proporcional a la población es el mismo que el de reducir la población máxima del ecosistema. Una gráfica típica de algunas soluciones y su campo de direcciones está dada en la figura siguiente
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VI.- Conclusiones Hemos presentado tres modelos poblacionales, el modelo exponencial, logístico y logístico con población crítica. Estos modelos tienen la característica de que son ecuaciones diferenciales autónomas y por tanto su análisis es relativamente sencillo. A los dos últimos modelos se les ha incorporado cosecha constante y cosecha proporcional a la población presente dando como resultado ecuaciones no autónomas y ecuaciones autónomas, respectivamente. Dado que el comportamiento del modelo exponencial es relativamente sencillo y de que no refleja las características de la mayoría de las poblaciones, el análisis no fue efectuado ya que las propiedades de la solución permanecen sin cambio. El análisis de la dinámica de cada uno de los dos modelos fue hecho al escribir los modelos en forma adimensional. Esto permitió efectuar el análisis en forma fácil y determinar el efecto de la variación de los parámetros involucrados. Aunque en algunos casos fue posible obtener la solución al modelo propuesto, no fue posible obtener a partir de la solución las propiedades cualitativas de ella. Pero a partir del análisis como sistema dinámico, fue posible obtener las propiedades cualitativas, obteniendo los puntos críticos, puntos de inflexión, intervalos donde la solución es creciente o decreciente y cóncava hacia arriba o hacia abajo. Los modelos con cosecha constante presentan serios inconvenientes ya que las soluciones pueden ser negativas, lo cual no tiene significado biológico, por lo que sólo pueden ser considerados en los casos de que 0 < Hˆ < 14 , Pˆ2 ≤ Pˆ ≤ Pˆ1 para el modelo ddtPˆ = Pˆ (1 − Pˆ ) − Hˆ y 0 < Hˆ < Hˆ c , Pˆ1 ≤ Pˆ ≤ Pˆ2 para el modelo
dPˆ dt
= Pˆ (1 − Pˆ )(Pˆ − Bˆ ) − Hˆ .
Para los modelos con cosecha proporcional a la población se sigue que el hecho de incluir a la cosecha conduce a una reducción de la población máxima del ecosistema, pero los modelos conservan las propiedades cualitativas de los modelos sin cosecha. En el caso logístico, dP dt = rP (K − P ) , una cosecha
hP hace que la población máxima del ecosistema se reduzca de K a K − hr y en el caso logístico con población 1 2
crítica
dP dt
= rP(K − P )(P − B ) ,
(K + B ) + 12 (K − B )2 − 4 hr
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,
así
como
la
población la
población
máxima crítica
se
reduce cambia
de de
K
a
B
a 101
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(K + B ) − 12 (K − B )2 − 4 hr
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.
El análisis efectuado sobre las ecuaciones en forma adimensional ha permitido determinar las propiedades cualitativas de las soluciones a los diferentes modelos. Estas propiedades coinciden con el comportamiento de las poblaciones bajo las características que presentan cada población. Se recomienda que cuando se proponga un modelo, se escriba primero este en forma adimensional para reducir el número de parámetros involucrados y que una vez hecho esto se proceda al análisis de la dinámica del modelo para determinar las características de las soluciones. Si la dinámica del modelo propuesto coincide con la dinámica del fenómeno a modelar, entonces se puede proceder a la determinación de los parámetros para modelar el proceso y obtener la solución, ya sea de forma numérica o analítica. VII.- Referencias [1] W. C. Allee. The Social Life of Animals. W. W. Norton and Co. New York. 1938. [2] J. Hale, H. Koçak. Dynamics and Bifurcations. Springer Verlag. New York. 1991. [3] R. K. Nagle, E. B. Saff, A. D. Snider. Ecuaciones Diferenciales y problemas con Valores en la Frontera. Cuarta Edición. Pearson Educación . 2005. [4] L. Perko. Differential Equations and Dynamical Systems, Equations and Dynamical Systems. Third Edition. Springer. New York. 2001. [5] G. F. Simmons, S. G. Krantz. Ecuaciones Diferenciales, Teoría, técnica y práctica. Mc Graw Hill Interamericana. México. 2008. [6] S. H. Strogatz. Nonlineal Dynamics and Chaos with Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Westview Press. USA. 1994. [7] D. G. Zill, M. R. Cullen. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería I, Ecuaciones Diferenciales. Tercera Edición. Mc Graw Hill Interamericana. México. 2007.
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