Cálculo de Autovalores de Matrices

COMITÉ EDITORIAL

Manuel Arellano Castañeda Lic. en Informática Gerente Tecnologías de Información y Comunicación 3r's de México

Erika Uscanga Noguerola Mtra. en Educación Coordinadora de Gestión Ambiental Centro Universitario Hispano Mexicano

Maria Fernanda Corona Salazar Maestra Psicóloga en Constelaciones Familiares Dirección de Orientación Educativa

Manuel Herrerías Rul Dr. en Derecho Herrerías y Asociados

Raúl Vargas Ph.D. Mechanical Engineering College Of Engineering And Computer Science Florida Atlantic University

Mtra. Lorena Casanova Pérez Manejo Sustentable de Recursos Naturales Universidad Tecnológica de la Huasteca Hidalguense.

Hidalgo, México

Mtro. Sérvulo Anzola Rojas Director de Liderazgo Emprendedor División de Administración y Finanzas Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey.

Monterrey, México

María Leticia Meseguer Santamaría Doctora Europea en Gestión Socio‐Sanitaria Especialista en Análisis socio‐económico de la situación de las personas con discapacidad.

Universidad de Castilla‐La Mancha, España.

Red RIDES Red INERTE

COMITÉ DE EDITORIAL

Raúl Sánchez Padilla Dr. Ingeniería Civil y Arquitectura Gerente General Desarrollos en Ingeniería Aplicada Presidente Comité Editorial

Judith Ceja Hernández Ing. Industrial.

Gerente de Gestión 3R's de México Vicepresidenta Comité Editorial

Juan Manuel Negrete Naranjo Dr. en Filosofía Universidad de Freiburg i Br.

Francisco J. Hidalgo Trujillo Dr. en Ingeniería Industrial Universitat Politécnica de Catalunya – FUNIBER Director Sede México Fundación Universitaria Iberoamericana

David Vivas Agrafojo Mtro. en Educación Ambiental Universitat de Valencia ‐ Responsable IMEDES Andalucía

Antonio Olguín Reza Mtro. Desarrollo de Negocios Jabil Circuit

Oscar Alberto Galindo Ríos Mtro. en Ingeniería Mecánica Eléctrica Secretario de la Asociación Mexicana de Energía Eólica

Amalia Vahí Serrano Dra. en Geografía e Historia Universidad Internacional de Andalucía Universidad "Pablo Olavide"

Ricardo Bérriz Valle Dr. en Sociología Coordinador de Proyecto Regional de Ciudadanía Ambiental Global

Manuel Vargas Vargas Doctor en Economía Especialista en Economía Cuantitativa.

Universidad de Castilla‐La Mancha, España Red RIDES Red INERTE

COMITÉ DE ARBITRAJE INTERNACIONAL

David Vivas Agrafojo Mtro. en Educación Ambiental Universitat de Valencia ‐ Responsable IMEDES Andalucía

Juan Manuel Negrete Naranjo Dr. en Filosofía Universidad de Freiburg i Br., Alemania

Delia Martínez Vázquez Maestra Psicologa en Desarrollo Humano y Acompañamiento de Grupos.

Universidad de Valencia

Erika Uscanga Noguerola Mtra. en Educación Coordinadora de Gestión Ambiental.

Centro Universitario Hispano Mexicano

Bill Hanson Dr. Ingeniería en Ciencias National Center for Enviromental Innovation.

US Enviromental Protection Agency

Ph.D. María M. Larrondo‐Petrie Directora Ejecutiva del Latin American And Caribbean Consortium Of Engineering Institutions "Laccei"

María Leticia Meseguer Santamaría Doctora Europea en Gestión Socio‐Sanitaria Especialista en Análisis socio‐económico de la situación de las personas con discapacidad.

Universidad de Castilla‐La Mancha, España.

Red RIDES Red INERTE

Manuel Vargas Vargas Doctor en Economía Especialista en Economía Cuantitativa.

Universidad de Castilla‐La Mancha, España Red RIDES Red INERTE

Auge21: Revista Científica Multidisciplinaria

ISSN: 1870-8773

Año 7 / No. I / Enero - Junio / 2012

CÁLCULO DE AUTOVALORES DE MATRICES QUE PROVIENEN DE LA DISCRETIZACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ELÍPTICAS 1Olmos

Gómez Miguel Angel (e-mail: miguel.olmos@cucei.udg.mx) Gutiérrez Ma. Merced (e-mail: mercedarriaga@hotmail.com) 1Gutiérrez Robles José Alberto (e-mail: alberto.gutierrez@cucei.udg.mx) 2Galván Sánchez Verónica Adriana (e-mail: vgalvan@gdl.cinvestav.mx) 1Universidad de Guadalajara, Departamento de Matemáticas, México 2Cinvestav-Unidad Guadalajara, México 1Arriaga

I. Resumen En este artículo presentamos fórmulas cerradas para la obtención de autovalores que provienen de discretizar ecuaciones diferenciales elípticas mediante diferencias finitas sobre regiones rectangulares.

Además obtendremos sus números de condición, mostrando así que mientras mayor sea el número de nodos a considerar en la discretización, el número de condición de las matrices resultantes se incrementa.

Palabras Clave: Autovalores, Ecuaciones Diferenciales, Diferencias Finitas

II. Introducción La solución algebraica de problemas en los que se trabaja con autovalores de matrices ha sido siempre un tema de gran interés entre los matemáticos, porque ilustra de manera clara la diferencia entre las matemáticas clásicas y el análisis numérico práctico. Los problemas de autovalores han sido, de manera engañosa, formulaciones simples y aunque la teoría ha sido conocida a fondo por muchos años, todavía la determinación de soluciones exactas presenta un reto para una gran variedad de problemas.

Existe una extensa bibliografía sobre el tema [1], [2], y [6], donde se presenta la descripción de muchas técnicas conocida para resolver el problema, junto con la evaluación crítica de sus méritos, sustentados en lo posible en el análisis de los errores.

Un tratamiento práctico de problemas de autovalores resulta potencialmente de interés para una gran variedad de personas, incluyendo en otros, ingenieros en diseño, físicos teóricos, matemáticos clásicos y analistas numéricos que desea hacer investigación en el campo de las matrices.

En este artículo mostraremos formulas cerradas para la obtención de autovalores de matrices que provienen de discretizar una ecuación diferencial parcial elíptica por medio de diferencias finitas sobre una región rectangular. Las matrices así obtenidas serán simétricas y definidas positivas. Los resultados mostrados se aplican a matrices en banda, pero pueden ser generalizados a otros tipos de matrices más generales.

153

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Como consecuencia de los resultados mostrados obtendremos el número de condición de algunas matrices importantes en el análisis numérico, ya que estas aparecen con frecuencia en la solución de ecuaciones diferenciales. Dicho número de condición es importante ya que mientras más alto sea éste, menos confiables serán los resultados numéricos obtenidos.

III. Matrices en Banda En esta sección presentaremos algunos resultados sobre cierto tipo de matrices que aparecen con frecuencia en la solución numérica de ecuaciones diferenciales. Estas matrices tienen una estructura en banda, la cual permite, entre otras cosas, determinar de una forma fácil sus autovalores. Para esto, iniciaremos con algunos resultados sobre la determinación de los autovalores, los cuales pueden ser aplicados a cualquier tipo de matrices.

 a11 a 21 Sean A =     a m1 respectivamente,

a12  a1n   b11 b12  b1q  b  b22  b2 q  a 22  a 2 n  21  y B= dos matrices con dimensiones m × n y p × q            a m 2  a mn  bp1 bp 2  bpq  el

producto

tensorial

de

A

y

B

está

definido

como

la

matriz

 a11 B a12 B  a1n B  a B a B  a B 22 2n  con dimensiones mp × nq Nótese que (k1 A) ⊗ (k2 B ) = (k1k2 )( A ⊗ B ) A ⊗ B =  21        a m1 B a m 2 B  a mn B  para cualesquier real k1 y k 2 . De esta definición se sigue inmediatamente que [3]: Lema 1. Sean X, Y, W, Z, matrices con dimensiones m × n , q × r , n × p y r × s respectivamente,

( X ⊗ Y )(W ⊗ Z ) ( X ⊗ Y )(W ⊗ Z ) = ( XW ) ⊗ (YZ ) .

entonces

el

producto

está

bien

definido

y

además

tenemos

que

Los autovalores del producto tensorial de dos matrices están relacionados a los autovalores de las matrices originales de acuerdo al siguiente: Teorema 1. Sean X y Y matrices de dimensiones m × m y n × n respectivamente. Sea λ un autovalor de X asociado al autovector u y µ un autovalor de Y asociado al autovector v. Entonces i)

λµ es un autovalor de X ⊗ Y asociado al autovector u ⊗ v .

ii)

λ + µ es un autovalor de X ⊗ I n + I m ⊗ Y asociado con el autovector u ⊗ v , donde I k es la matriz identidad de dimensión k × k .

Demostración: i)

Dado que λ es un autovalor de X asociado a u y µ es un autovalor de Y asociado a v se tiene que Xu = λu y Yv = µv . Ahora 154

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( X ⊗ Y )(u ⊗ v ) = Xu ⊗ Yv , = (λu ) ⊗ (µv ) , = (λµ )(u ⊗ v ) .

De lo que se sigue que λµ es un autovalor de X ⊗ Y asociado con el autovector u ⊗ v . ii)

( X ⊗ I n + I m ⊗ Y )( u ⊗ v ) =( X ⊗ I n )( u ⊗ v ) + ( I m ⊗ Y )( u ⊗ v ) = ( Xu ⊗ I n v ) + ( I mu ⊗ Yv ) = ( λu ⊗ v ) + ( u ⊗ µ v ) = λ (u ⊗ v ) + µ (u ⊗ v ) = ( λ + µ )( u ⊗ v ) Por lo que λ + µ es un autovalor de X ⊗ I n + I m ⊗ Y asociado con el autovector u ⊗ v IV. Casos Particulares En esta sección consideraremos algunas matrices que aparecen frecuentemente en la solución numérica de ecuaciones diferenciales. Para esto, consideremos la matriz

1 a  a 1 a    S1 =        a 1 a   a 1  ( n −1)×( n −1) Sus autovalores y autovectores están dados por el siguiente teorema: Teorema 2. Sea S1 la matriz definida anteriormente, se tiene que los autovalores de S1 son

 kπ  , k = 1,, n − 1 ,  n 

λk = 1 + 2a cos Con autovectores correspondientes

v

(k )

  (n − k )π   kπ  (n − 2k )π  = sen  ,, sen , sen n n  n     

T

 , , k = 1, n − 1 . 

Demostración: Ver [4] 155

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Unos resultados inmediatos son: Corolario 1. Consideremos la matriz

b c  c b c    = ,b > 0 .

S2        c b c   c b  ( n −1)×( n −1) Los autovalores de S 2 son

 kπ  µk = b + 2c cos  1, , n − 1 ,k = n 



Nota: La condición b>0 en el corolario anterior puede ser reemplazada por la condición b≠0.

Corolario 2. Consideremos la matriz

0 1  1 0 1    .

S3 =        1 0 1   1 0  ( n −1)×( n −1) Los autovalores de S3 son

 kπ  µk 2 cos  = =  , k 1, , n − 1  n  Pasemos ahora a determinar los autovalores de las matrices obtenidas al discretizar algunas ecuaciones diferenciales. De la ecuación de onda en una dimensión

d 2u + α 2u= f , 0 < x < 1, u ( 0 )= u (1)= 0 se tiene 2 dx

que la matriz correspondiente está dada en [5] por

− (1 + δ )  2    2 − (1 + δ )    A=    − (1 + δ )    2  − (1 + δ )  donde δ =

α 2h2

1 , por lo que al aplicar el Corolario 1, los autovalores de la matriz A son: ,h = 2 n 156

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 kπ  1, 2, , n − 1 ,k =  n    kπ   = 2 1 − (1 + δ ) cos    , k = 1, 2, , n − 1.  n  

µk =2 − 2 (1 + δ ) cos 

Para

que

los

autovalores

de

esta

matriz

sean

todos

positivos

se

requiere

que

1  kπ  −1 = > δ , k 1, 2, , n − 1 . Esto último establece 1 − (1 + δ ) cos  0, k 1, 2, , n − 1 , esto es  >=  kπ   n  cos    n  una condición sobre n . Además tenemos que el número de condición para esta matriz está dado por la expresión

κ ( A) =

µn −1 . µ1

(1)

Consideremos ahora el esquema de cinco puntos para la ecuación de Poisson en dos dimensiones. La matriz correspondiente [5] es A = A1 + A2 , con

S  A1 =      2I − I A2 =    

  S     S  ( n −1)2 ×( n −1)2 −I

       −I   − I 2 I  ( n −1)2 ×( n −1)2

donde cada bloque es una matriz ( n − 1) × ( n − 1) y

 2 −1   −1      .

S=    −1   −1 2  ( n −1)×( n −1)  La matriz A se puede escribir como A = ( I ⊗ S ) + ( S ⊗ I ) . Del Teorema 1 y del Corolario 1, vemos que los autovalores de ( I ⊗ S ) están dados por

 jπ  δ j +( n −1)(i −1) = 2 − 2 cos  1, , n − 1  , i, j =  n   jπ  = 4sen 2  =  , i, j 1, , n − 1  2n 

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mientras que los autovalores de ( S ⊗ I ) están dados por

 iπ  η j +( n −1)(i −1) = 2 − 2 cos   , i, j = 1, , n − 1 n 



 iπ  = 4sen  =  , i, j 1, , n − 1  2n 

.

2

Así que finalmente podemos establecer que los autovalores de A = ( I ⊗ S ) + ( S ⊗ I ) están dados por

 jπ  2  iπ  µ j +( n −1)(i −1) = 4sen 2  1, , n − 1  + 4sen   , i, j = 2n 2n 

     jπ  2  iπ   4 sen 2  1, , n − 1 =  + sen    , i, j =  2n   2n   

y su número de condición puede ser determinado por medio de la fórmula

κ ( A) =

µ( n −1) µ1

2

.

(2)

Para el esquema de nueve puntos de la ecuación de Poisson [3] en dos dimensiones, la matriz está dada

P Q  Q P     con P y Q definidas como por A =    Q   Q P  ( n −1)2 ×( n −1)2   5 −1   −1 5 −1    2  P=     3  −1 5 −1   −1 5  ( n −1)×( n −1) 4 1  1 4 1    1 Q= −      6  1 4 1   1 4  ( n −1)×( n −1) Se tiene que la matriz A se puede escribir como A = ( I ⊗ P ) + ( S3 ⊗ Q ) .

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Usando los mismos argumentos que en los casos anteriores, tenemos que los autovalores de A están dados por

10 4  jπ − cos  µ j +( n −1)(i −1) = 3 3  n

 2  iπ  − cos   3  n

  jπ     2 + cos     n 

y su número de condición puede ser determinado por medio de la fórmula

κ ( A) =

µ( n −1)

2

(3)

µ1

Para la ecuación de Poisson en tres dimensiones [5] se tiene que la matriz correspondiente es

A= I ⊗I ⊗S +I ⊗S ⊗I +S ⊗I ⊗I .

Aplicando las mismas herramientas podemos concluir que los autovalores son

  iπ   jπ   kπ   µi +( n −1)( j −1)+( n −1) ( k −1)= 4 sen 2   + sen 2   + sen 2    , 2n 2n 2n 2

   i, j , k 1, , n − 1 =









y su número de condición puede ser determinado por medio de la fórmula

κ ( A) =

µ( n −1)

3

µ1

(4)

V. Conclusiones Los resultados anteriores obtenidos de los casos particulares (1), (2), (3) y (4), al ser aplicados a sistemas de ecuaciones en los cuales se fue incrementando el número de nodos, permitió observar que mientras mayor sea el número de nodos, el número de condición de la matriz resultante es más alto. Como ejemplo se puede citar el caso de las matrices obtenidas de la ecuación de onda en una dimensión para distintos tamaños de la malla. La siguiente tabla muestra algunos de los resultados obtenidos.

Tabla 1- Número de Condición de la Matriz Resultante de la Ecuación de Onda en Una Dimensión.

Numero de κ ( A) Nodos 9 39.941 19 162.934 29 369.370 39 665.667 49 1080.081

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Es posible observar que usando 9 puntos para la discretización de la ecuación de Poisson en dos dimensiones se obtiene un número de condición menor que al usar el esquema de 5 puntos, por lo que los resultados obtenidos del esquema de nueve puntos al resolver los sistemas correspondientes tendrán un menor error numérico. La siguiente tabla muestra los números de condición obtenidos bajo los dos diferentes esquemas.

Tabla 2- Número de Condición de la Matriz Resultante de la Ecuación de Poisson en Dos Dimensiones.

Numero de Cinco Puntos Nueve Puntos Nodos (2) (3) 32.16 9 21.98 97.64 19 145.64 340.17 29 227.34 615.77 39 411.07 972.40 49 648.84

VI. Biografías Miguel Angel Olmos Gómez. Recibió el título de Licenciado en Matemáticas en 1986 por la Universidad de Guadalajara, México y el Doctorado en Filosofía por Washington State University, Pullman, WA, en 1996. Actualmente es profesor en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Guadalajara, México. Sus áreas de interés son el Análisis Numérico en Ecuaciones Diferenciales no Lineales y la Modelación con Ecuaciones Diferenciales.

Ma. Merced Arriaga Gutiérrez. Recibió el título de Licenciada en Matemáticas en 1986 por la Universidad de Guadalajara, México y el de Maestra en Ciencias (Educación Matemática) por el Cinvestav, México en 1991. Sus áreas de interés son la Solución Exacta de Ecuaciones Diferenciales y la Modelación con Ecuaciones Diferenciales.

José Alberto Gutiérrez Robles. (Miembro de IEEE, 2004). Se recibió de Ingeniero Mecánico Eléctrico y Maestro en Ciencias en la Universidad de Guadalajara, México en 1993 y 1998, respectivamente. Obtuvo el grado de Doctor en Filosofía por el Cinvestav-Guadalajara, México en 2002. Actualmente trabaja como profesor en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Guadalajara, México. Sus áreas de interés son Matemáticas Aplicadas y el análisis de estabilidad transitoria de los sistemas eléctricos de potencia.

Verónica Adriana Galván Sánchez. Recibió los grados de Licenciatura y Maestría en la Universidad de Guadalajara, México en 2008 y 2011 respectivamente. Actualmente es estudiante de Doctorado en Cinvestav-Guadalajara. Su área de investigación son las matemáticas aplicadas y el análisis de estabilidad transitoria de los sistemas eléctricos de potencia.

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VII. Referencias [1] Burden R. I., Faires J. D. (1998). Análisis Numérico, Sexta Edición, International Thompson Editores, México.

[2] Kinkaid D. R., Hayes L. J. (1990). Iterative Methods fot Large Linear Systems, Academic Press Inc. Hancourt Brace Jovanovich.

[3] Michel Robles J. R. Tesis Maestría. (1999). Precondicionadores Para el Método del Gradiente Conjugado Aplicado a la Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Parciales por Diferencias Finitas. Universidad de Guadalajara, México.

[4] Smith G. D. (1977). Numerical Solution of Partial Differential Equations, Finite Difference Methods, Second Edition, Clarendon Press, Oxford.

[5] Strikwerda J. (1989). Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations, First Edition, Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books and Software, Pacific Grove, California.

[6] Wilkinson J. H. (1965). The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Press, Oxford.

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