Solución de Sistemas de Ecuaciones Diferencialescon Coeficientes Desconocidos by Auge 21

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Manuel Vargas Vargas Doctor en Economía Especialista en Economía Cuantitativa. Universidad de Castilla‐La Mancha, España Red RIDES Red INERTE

COMITÉ DE ARBITRAJE INTERNACIONAL David Vivas Agrafojo Mtro. en Educación Ambiental Universitat de Valencia ‐ Responsable IMEDES Andalucía Juan Manuel Negrete Naranjo Dr. en Filosofía Universidad de Freiburg i Br., Alemania Delia Martínez Vázquez Maestra Psicologa en Desarrollo Humano y Acompañamiento de Grupos. Universidad de Valencia Erika Uscanga Noguerola Mtra. en Educación Coordinadora de Gestión Ambiental. Centro Universitario Hispano Mexicano Bill Hanson Dr. Ingeniería en Ciencias National Center for Enviromental Innovation. US Enviromental Protection Agency Ph.D. María M. Larrondo‐Petrie Directora Ejecutiva del Latin American And Caribbean Consortium Of Engineering Institutions "Laccei" María Leticia Meseguer Santamaría Doctora Europea en Gestión Socio‐Sanitaria Especialista en Análisis socio‐económico de la situación de las personas con discapacidad. Universidad de Castilla‐La Mancha, España. Red RIDES Red INERTE Manuel Vargas Vargas Doctor en Economía Especialista en Economía Cuantitativa. Universidad de Castilla‐La Mancha, España Red RIDES Red INERTE

Auge21: Revista Científica Multidisciplinaria

ISSN: 1870-8773

Año 7 / No. I / Enero - Junio / 2012

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES DESCONOCIDOS 1Verónica

Adriana Galván-Sánchez (e-mail: vgalvan@gdl.cinvestav.mx) Alberto Gutiérrez-Robles (e-mail: alberto.gutierrez@cucei.udg.mx) 2Miguel Ángel Olmos Gómez (e-mail: miguel.olmos@cucei.udg.mx) 1 Cinvestav-Unidad Guadalajara, México. 2 Universidad de Guadalajara, Departamento de Matemáticas, México.

2José

RESUMEN

Existe más de una técnica para ajustar sea un grupo de puntos que una función dentro de un intervalo; en el primer caso, el uso de la propiedades de la suma conduce al error mínimo, en el segundo caso es necesario utilizar la formulación integral para desarrollar la forma normal de la aproximación. La diferencia entre ambas técnicas es el criterio que se emplea para minimizar la función, donde uno de los más utilizados el criterio de error mínimo cuadrado. Si se tiene un problema sobre-determinado, la multiplicación por la transpuesta es equivalente a utilizar el criterio de error mínimo cuadrado. Si se tiene un grupo de datos reales sobre un intervalo, el uso de los polinomios ortogonales determina una función muy estable que ajusta este grupo de puntos; pero para el caso de números complejos, se necesita una metodología más elaborada. En este articulo, la técnica de ajuste vectorial se utiliza para ajustar un grupo sobre-determinado de datos complejos, con lo cual se resuelve un sistema de ecuaciones diferenciales ordinario (SEDO). Palabras clave: SEDO, criterio de error mínimo cuadrado, ajuste en plano complejo.

II.

ANTECEDENTES

Hay dos tipos de problemas considerados dentro de este concepto; el primero de ellos es el problema de interpolación que involucra encontrar valores intermedios cuando se tienen valores en un número finito de puntos; el segundo problema es el de aproximar una función compleja dentro de un intervalo con una función simple, la cual es más adecuada para hacer cálculos numéricos. Claramente, el objetivo principal es que la aproximación haga el error tan pequeño como sea posible. Dependiendo de la forma como se presente el error, surgen diferentes métodos, por ejemplo [1]:

En = ∑ φn (xi ) − f i n

i =0

donde

(1)

es el error de la aproximación

φn (xi ) es la función propuesta para hacer el ajuste es la función que se desea ajustar fi Al ajustar la función en los n + 1 puntos, se va a reducir el error En a cero. El error definido por la ecuación (1) ciertamente se minimizo, pero la interrogante que queda es si los valores de los puntos donde x ≠ xi son buenas aproximaciones. Al problema de aproximación le concierne el error en todos los puntos dentro de un intervalo; por ejemplo, un grupo de puntos equidistantes , xi (i = 0,1,..., n ) se eligen para aproximar la función 1 (1 + 25 x 2 ) dentro del intervalo [− 1,+1] . Se encuentra que para cualquier punto x ≠ xi , cuando x > 0.726 el error φn (x ) − f (x ) de la aproximación se incrementa sin límite cuando n se incrementa, y esto es verdad a pesar de

que φn (x i ) = f (x i ) (i = 0,1,..., n ) lo cual significa que En = 0 .

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Cuando se considera el error sobre todo el intervalo, un objetivo más satisfactorio es hacer el máximo error tan pequeño como sea posible. Esta es la aproximación minimax donde el error está definido por [1], (2) Emax = max φ (x ) − f (x ) a≤ x≤b

y la función φ (x ) se elije de tal forma que Emax se minimiza. En este contexto es donde los polinomios de Tchebyshev han encontrado amplias aplicaciones. El tercer caso, es cual es de nuestro interés, es cuando el número de puntos dados es considerablemente mayor que el grado de la aproximación polinómica. Por ejemplo, es tal vez deseable utilizar polinomios de bajo orden, como un cúbico, como una aproximación dentro de un intervalo del cual se conocen tal vez 12 valores de la función. Cuatro puntos son suficientes para determinar una función cúbica de forma única y los errores entonces se presentarán en los puntos restantes. En esta situación, mejor que tener error cero en un punto en particular, se requiere que el error global sea tan pequeño como sea posible. Una elección adecuada es la definición de error dada por [1], m (3) 2 S m = ∑ [φn (xi ) − f i ] , m ≥ n i =0

El ajuste de mínimos cuadrados se obtiene encontrando una función φn (x ) dentro de un grupo de funciones que minimizan el término S m . El subíndice n implica que la función φn (x ) depende de n parámetros, los cuales se pueden elegir de manera apropiada para tener la propiedad de mínimos cuadrados. En el caso de un polinomio estos parámetros son coeficientes de la forma (a0 , a1 ,..., an ) , y por tanto una función φn+1 (x ) va a tener (n + 1) parámetros variables. Los polinomios son muy utilizados para hacer ajustes, por lo tanto vale la pena considerarlos como las funciones más apropiadas para este propósito. Una gran ventaja de la aproximación polinómica es su evaluación directa, sea de su derivada como de su integral. Sin embargo, es importante saber que tan cercana se puede obtener una aproximación utilizando polinomios. Afortunadamente, existe el teorema de Weierstrass que muestra que, para cualquier función continua dentro de un intervalo finito, el error minimax se puede hacer tan pequeño como se quiera eligiendo un polinomio de orden suficientemente grande.

III.

AJUSTE MEDIANTE EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

La propiedad fundamental de este método es que la suma de los cuadrados de los errores se hace tan pequeña como sea posible. Se tienen dos tipos de problemas bien definidos, el aproximar un grupo de datos finitos o el aproximar una función dentro de un intervalo. En el primer caso el error se define como la suma de los cuadrados de los errores individuales de cada punto; en el segundo caso se necesita una formulación integral. Esta formulación se utiliza para ilustrar la base teórica del método debido a que en gran medida se está más familiarizado con el cálculo integral que con las propiedades de las sumatorias. En forma general el método de mínimos cuadrados se basa en una aproximación que depende linealmente de un grupo de parámetros (a0 , a1 ,..., an ) . La integral de la suma de los errores al cuadrado está dada por [1, 2 ,3],

S = ∫ [ f (x ) − φ (a0 , a1 ,..., an , x )] dx b

(4)

Como se requiere que S se minimice, la primera derivada respecto a los coeficientes se hace cero, por tanto (5) ∂S ∂ai = 0 Si se tienen las condiciones adecuadas para la diferenciación dentro de la integral, se obtienen n + 1 ecuaciones para los coeficientes ai , de la forma ∂φ [ f (x ) − φ (a0 , a1 ,..., an , x )]dx = 0, i = 0,1,..., n ∂ ai a Sabiendo que φ es una función lineal, las ecuación (6) se puede escribir como, b

− 2∫

∂φ ∂φ ∫ ∂a φ (a , a ,..., a , x )dx = ∫ ∂a f (x )dx, b

i = 0,1,..., n

(6)

(7)

Esta ecuación se conoce como la forma normal de una ecuación.

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Como una ilustración de la forma en que se aplica el método, se elige una aproximación polinomial, así se tiene (8) φ (a0 , a1 ,..., an , x )dx = a0 + a1 x +  + an x n La forma normal de la ecuación es

∫ x [a b

+ a1 x +  + an x n ]dx = ∫ x i f (x )dx, i = 0,1,..., n b

Si se hace la expansión, en forma explícita se tiene que u00 a0 + u01a1 +  + u0 n an = b0 ................................... u n 0 a0 + u n1a1 +  + u nn an = bn entonces los coeficientes u i j del lado izquierdo de la matriz U están dados por b

ui j = ∫ x i ⋅ x j dx ,

i , j = 0 ,1,..., n

(9)

(10)

(11)

Idealmente, se quiere que la forma normal de la ecuación tenga una estructura simple, lo cual resulta en una solución eficiente del problema. La estructura más simple es la diagonal, lo cual implica tener los coeficientes (a0 , a1 ,..., an ) directamente dividiendo por ui i (i = 0,1,..., n ) . Esta forma se puede producir tomando ventaja de las propiedades de las funciones ortogonales.

III.A.- Aproximación en plano discreto por el método de mínimos cuadrados La propiedad fundamental de este método expresada en forma discreta, lleva a la siguiente relación: m

Em = ∑ (y i − Pn (x i ))2

(12)

i =1

donde: n

( )

Pn (x ) = ∑ a j x j j =0

(13)

Substituyendo la ecuación (13) en la ecuación (12), se obtiene

(

)

m n   Em = ∑  y i − ∑ a j x ij  i =1  j =0  Expandiendo el termino cuadrático se llega a

(14)

m n m  n n m  Em = ∑ y i2 − 2 ∑ a j  ∑ y i x ij  + ∑∑ a j a k  ∑ x ij+k  (15) i =1 j =0  i =1  j =0 k =0  i =1  El error mínimo cuadrado se define como la derivada del error respecto de los coeficientes igual a cero, es decir, ∂Em ∂a j = 0 , por lo tanto se tiene que n  m  m  n n  m  ∂ ∑ yi2 − 2∑ a j  ∑ yi xij  + ∑∑ a j ak  ∑ xij + k   j =0  i =1  j =0 k =0  i =1   i =1 =0 ∂a j

La solución de la ecuación (16) en forma matricial tiene la siguiente estructura, m m m  m 0 m  xi xi1 xi2  ∑ xin  yi xi0  ∑ ∑ ∑ ∑ i =1 i =1 i =1 i =1 1 = i m m m   a0   m m 1  xi3  ∑ xin+1   a1   ∑ yi xi1   ∑ xi ∑ xi2 ∑ i =1 i =1 i =1     i =1  im=1  m m m m 3 4 n + 2   a2  =   x2 xi xi  ∑ xi   ∑ yi xi2  ∑ ∑ ∑ i    i =1  i =1  i =1 i =1 i =1            an   m m m m m  n ∑ xin ∑ xin+1 ∑ xin+ 2  ∑ xin+ n   ∑ y i xi    i =1  i =1  i =1 i =1 i =1 donde m es el numero de muestras en plano discreto.

(16)

(17)

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IV.

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SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON COEFICIENTES DESCONOCIDOS

Muchos de los problemas físicos comunes se modelan con un sistema de ecuaciones diferenciales como,

x = Ax + Bu

y = Cx + Du donde A , B , C y D son, en este caso, matrices de coeficientes desconocidos. La solución de la ecuación (18) en el dominio de Laplace es, sX(s ) − x(0) = A ⋅ X(s ) + B ⋅ F(s ) Resolviendo para X(s ) se obtiene, X(s ) = (sI − A ) x(0 ) + (sI − A ) B ⋅ F(s ) −1

]

Y(s ) = C ⋅ (sI − A ) x(0 ) + (sI − A ) B ⋅ F(s ) + D ⋅ F(s ) −1

−1

La respuesta de estado cero de (21b), x(0 ) = 0 , conduce a,

[

]

Y(s ) = C ⋅ (sI − A ) ⋅ B + D ⋅ F(s ) −1

(20a) (20b)

−1

La solución de la ecuación (19) en dominio de la frecuencia es, Y(s ) = C ⋅ X(s ) + D ⋅ F(s ) Substituyendo la ecuación (20b) en la ecuación (21a) se tiene,

[

(18) (19)

(21a) (21b) (22)

Dado que la función de transferencia de un sistema es la relación entre la entrada y la salida, se tiene que −1 (23) H (s ) = C ⋅ (sI − A ) ⋅ B + D

Así, el objetivo de este trabajo es aproximar la función H(s ) en forma racional, suponiendo que A es una matriz diagonal y B es una matriz columna de unos. Esta aproximación se hace ajustando la función de transferencia en plano complejo como se muestra en la sección V.

AJUSTE EN PLANO COMPLEJO

El ajuste vectorial (vector fitting) se ha constituido como una herramienta popular para identificar sistemas lineales, la técnica se basa en la aproximación de la función en dominio de la frecuencia como sigue [4, 5, 6]: (24) σ (s ) f fit (s ) = σ f fit (s ) donde: N +1

c f fit (s ) = ∑ n + d + sh = h n =1 s − a n N

∏ (s − z ) n =1 N

∏ (s − a ) n =1

(25b)

∏ (s − ~z ) N

c~ σ (s ) = ∑ n~ + 1 = n =1 s − a n N

(25a)

n =1 N

∏ (s − a~ ) n

n =1

N +1

∏ (s − zˆn ) cˆ σ f fit (s ) = ∑ n~ + d + sh = h nN=1 n =1 s − a n (s − a~ )

(25c)

∏ n =1

Despejando f fit (s ) de la ecuación (24) se tiene que, N +1

∏ (s − zˆ ) h

σ f fit (s ) f fit (s ) = = σ (s )

(26a)

n =1 N

∏ (s − a~ ) n

n =1 N

∏ (s − ~z ) n =1 N

∏ (s − a~ ) n =1

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Auge21: Revista Científica Multidisciplinaria ISSN: 1870-8773 Si los polos de σ f fit (s ) y σ (s ) son los mismos, la ecuación resultante es,

σ f fit (s ) =h f fit (s ) = σ (s )

Año 7 / No. I / Enero - Junio / 2012 (26b)

N +1

∏ (s − zˆ ) n =1 N

∏ (s − ~z ) n =1

La ecuación (26b) indica que los polos de f fit (s ) son los ceros de σ (s ) .

VI.A.- Procedimiento numérico Substituyendo la ecuación (25a,b,c) en la ecuación (24) lleva a, N   N c~n cˆn  ∑ ( ) = f s 1 + ∑ ~ + d + sh  fit  n=1 s − a~ n =1 s − a n n   esto es N N c~n cˆn * ( ) ( ) f s f s + = ∑ ∑ fit fit ~ ~ + d + sh n =1 s − a n n =1 s − a n Despejando f fit* (s ) se tiene que, N N cˆ c~ f fit* (s ) = ∑ n~ + d + sh − ∑ n~ f fit (s ) n =1 s − a n =1 s − a n

(27b)

(27c)

Re escribiendo la ecuación (27c) en forma matricial se obtiene, cˆn  N f fit (s )   d  N 1 1 − f fit* (s ) = ∑ s ∑ ~ ~  n =1 s − a n   h   n =1 s − a n ~  c n  Si se define, N f fit (s )  N 1 f (s ) = ∑ 1 s −∑ y XT = [cˆn ~ ~  − − s a s a 1 1 n = n = n n   La notación en forma compacta es, f fit* (s ) = f (s ) ⋅ X

(27a)

(27d)

h c~n ]

(28a,b) (28c)

de la ecuación (28a,b,c) se tiene que, 1. f fit* (s ) es la función discretizada a ser ajustada. 2. s es la variable de Laplace (discretizada). 3. f (s ) es la función utilizada para hacer el ajuste en plano discreto. 4. a~n contiene los polos iniciales para hacer el ajuste. 5. cˆn , d , h y c~n son los valores desconocidos. La ecuación (27d) indica que el ajuste es un problema no lineal en donde f fit (s ) depende de f fit (s ) . Por lo tanto se resuelve en forma iterativa [6]. La ecuación (27d) es la realización de un grupo de datos utilizando una función impropia. Si se quiere una realización con una función propia, se necesita cancelar el término “sh” en la ecuación (27a) y seguir el mismo procedimiento. Por otro lado, si se quiere una realización con una función estrictamente propia, se necesita cancelar “d+sh” en la ecuación (27a) y seguir el mismo procedimiento.

VI.B.- Calculo de residuos c~n Si se tiene que f fit* (s ) = f (s ) ⋅ X y se sabe que f fit* (s ) y f (s ) son complejos, ambos se pueden separar en su parte real e imaginaria como sigue, A1 = real ( f (s ))

(29a)

b1 = real ( f

(29b) (29c)

A 2 = imag ( f (s ))

(s )) = imag ( f (s )) * fit

* fit

(29d)

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Reacomodando estas matrices en un nuevo sistema matricial, se tiene, A  b  b =  1 A =  1 y (30a,b) A 2  b 2  esto es b = A⋅X . (31) Para resolver el sistema (31), la matriz A se normaliza utilizando la norma cuadrática Euclidiana dada por,

( )

p p  n norm(V, p ) =  ∑ vi  (32a)  i =1  donde p = 2 y n es el número de elementos del vector V . La aplicación de la norma Euclidiana, por columna, se hace con la siguiente ecuación, A(:, m ) (m = 1 : Nc ) A(:, m ) = (32b) norm(A m ,2 ) Aquí A m es un vector columna. Después de la normalización, se usa el criterio de mínimos cuadrados, lo que es

equivalente a la pre-multiplicación por A T , por lo tanto resolviendo para X se obtiene,: X = (A T ⋅ A ) ⋅ A T ⋅ b −1

(33)

Finalmente la norma cuadrática Euclidiana se aplica al vector X elemento a elemento como sigue X = X. norm(A).' ; por lo tanto sabiendo que XT = [cˆn d h c~n ] , se obtiene, (34a) cˆn = X 1 : N p

[ ] d = X[N + 1] h = X[N + 2] c~ = X[N + 3 : 2 N

(34b)

(34c)

]

(34d) +2 ~ donde N p es la longitud de an . Es importante notar que cuando se tiene un par complejo conjugado de polos iniciales, p.e. a~ , entonces c~ contiene la parte real y c~ contiene la parte imaginaria del residuo de σ (s ) . n

k +1

VI.C.- Calculo de los ceros ~z n de σ (s ) De la ecuación (25b), y teniendo s , c~n y a~n , es posible obtener (~ z n ) de la siguiente ecuación,

∏ (s − ~z ) N

c~n ∑ ~ +1 = n =1 s − a n N

n =1 N

(35)

∏ (s − a~n ) n =1

Hay dos posibilidades; si se tiene un par de polos iniciales reales (a~1 , a~2 ) o si se tiene un par complejo conjugado

(a~ = a~ + jb~ ) y (a~

)

~ − jb~ . El procedimiento de ambos se describe a continuación. =a

1er CASO.- Procedimiento para obtener los ceros (~ z n ) cuando se tienen dos polos reales, ~ ~ c c σ (s ) = 1 ~ + 2~ + 1 s−a s−a 1

Sacando factor común y agrupando alrededor de la variable s se tiene, s 2 + (c~1 + c~2 − a~1 − a~2 )s + (a~1a~2 − c~1a~2 − c~2 a~1 ) σ (s ) = (s − a~1 )(s − a~2 ) De la factorización del numerador en función de la variable s se obtiene que, (s − α )(s − β ) σ (s ) = (s − ~a1 )(s − ~a2 ) por lo tanto ~z = α y ~ z =β. 1

(36a)

(36b)

(36c)

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Auge21: Revista Científica Multidisciplinaria ISSN: 1870-8773 Año 7 / No. I / Enero - Junio / 2012 En forma alternativa, estos ceros se pueden calcular utilizando la siguiente ecuación,  a~ 0  1   ~ z n = eigenvalues  1 ~  −  [c~1 c~2 ] (37a)     0 a2  1 Desarrollando la parte dentro de las llaves se tiene que, ~ ~ − c~2  ~z = eigenvalues a1 − c1 n (37b)  − c~ a~2 − c~2  1  El cálculo de los valores propios se puede hacer utilizando la ecuación ∆(A − λI ) = 0 , por lo tanto  a~ − c~ − c~  1 0   ∆  1 ~ 1 ~ 2~  − λ  =0 (38a)  a 2 − c2   0 1     − c1 Haciendo las operaciones indicadas y agrupando la ecuación se llega a, (38b) λ2 + (~ c1 + ~ c2 − ~ a1 − ~ a2 )λ + (~ a1~ a2 − ~ c1 ~ a2 − ~ c2 ~ a1 ) = 0 ~ De la solución de esta ecuación se obtiene λ1 y λ2 las cuales son los ceros (z n ) . Naturalmente λ1 = α y λ2 = β . 2o CASO.- Procedimiento para obtener los ceros (~ z n ) si se tiene un par de polos complejo conjugados ~ ~ ~ ~ c1 + jc2 c1 − jc2 σ (s ) = ~ + ~ +1 (39a) ~ s − a + jb s − a~ − jb Sacando factor común y agrupando se obtiene, ~ ~ s 2 + (2c~1 − 2a~ )s + a~ 2 + b 2 − 2a~c~1 − 2b c~2 σ (s ) = (39b) ~ ~ s − a~ − jb s − a~ + jb Al factorizar el numerador se llega a, (s − α )(s − β ) σ (s ) = (39c) (s − a~1 )(s − a~2 ) ~ ~ donde z = α y z = β . En forma alternativa, estos ceros se pueden calcular utilizando la siguiente expresión,

(

)

(

)

)(

)

~ ~ ~z = eigenvalues  a b  − 2[c~ c~ ]  ~ ~    1 2  n − b a  0  Por lo tanto, a~ − 2c~1 b~ − 2c~2  ~ z n = eigenvalues   ~ a~   − b

(40a)

(40b)

El cálculo de los valores propios se puede hacer utilizando la ecuación ∆(A − λI ) = 0 , de donde se obtiene a~ − 2c~ b~ − 2c~  1 0  2 ∆  ~ 1 (41a)  − λ  = 0 ~ a   − b 0 1  Haciendo las operaciones indicadas y agrupando se llega a, ~ ~ (41b) λ2 + (2c~1 − 2a~ )λ + a~ 2 + b 2 − 2a~c~1 − 2b c~2 = 0 ~ De la solución de esta ecuación se obtiene λ1 y λ2 las cuales son los ceros de (z n ) ; donde λ1 = α y λ2 = β .

(

)

VI.D.- Calculo de los residuos cn La función original que se quiere ajustar es, N c f fit (s ) = ∑ n + d + sh (42a) n =1 s − a n ~ De la ecuación (26b), se tiene que los polos de f fit (s ) son los ceros de σ (s ) , esto significa que an = z n ; por lo tanto, N 1 f fit (s ) = ∑  n=1 s − an

c n    1 s  d   h   

(42b)

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Auge21: Revista Científica Multidisciplinaria En forma matricial,

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f fit (s ) = f (s ) ⋅ XT

donde XT = [cn



h] y f (s ) = ∑ N

1 s − an

 n=1 su parte real e imaginaria como sigue, Z1 = real (f (s )) Z 2 = imag (f (s )) y 1 = real (f fit (s ))

(42c)

 1 s  . Debido a que f fit (s ) y f (s ) son complejas, ambas se separan en  (43a) (43b) (43c)

y 2 = imag (f fit (s ))

(43d)

Re acomodando en un nuevo sistema matricial se tiene que, Z  y  y =  1 Z =  1 y (44a) Z 2  y 2  Por lo tanto (45) y = Z ⋅ XT Para resolver el sistema de ecuaciones (45), la matriz Z se divide por su norma cuadrática Euclidiana, después se utiliza la aproximación de mínimos cuadrados, lo que es equivalente a pre multiplicar por ZT , así se obtiene, −1 (46) X = (Z T ⋅ Z ) ⋅ Z T ⋅ y Finalmente se aplica la norma Euclidiana al vector X . Sabiendo que XT = [cn

[ ] d = X[N + 1] h = X[N + 2]

h] , se obtiene,

(47a)

cn = X 1 : N p

(47b)

(47c)

donde N p es la longitud de an . Es importante notar que cuando se tiene un par de polos iniciales complejos conjugados, p.e. ak , entonces ck va a contener la parte real y ck +1 la parte imaginaria del residuo. La aproximación final es una formula analítica dada por los polos an y los residuos cn , complementada con un término constante d y un término proporcional h . Esto significa que de los valores discretos iniciales en plano complejo, el procedimiento sintetiza una función analítica que aproxima el grupo de datos. Para aplicaciones prácticas se obtiene un modelo (formulación) analítico a partir de un grupo de datos; y este es el principal objetivo de ajustar en todas sus variantes.

VI.

PROCEDIMIENTO NUMÉRICO

Se puede ajustar un grupo de datos con una función estrictamente propia, propia o impropia. Es claro que si se tiene un grupo de datos es imposible conocer en forma a priori el tipo y orden de la función que los ajusta. Por lo tanto, es necesario explorar alrededor de estas dos variables para obtener la ecuación que ajuste mejor el grupo de datos. Por ejemplo, si se tiene la función de transferencia H(s ) descrita por los siguientes datos, 0.1 + 6.2832i  6.4095 − 0.78136i  1 0.1 + 29.164i  6.0217 − 0.20376i  1   HS =  S= B=   0.1 + 135.37i   6.001 − 0.044304i  1      0.1 + 628.32i   6 − 0.0095491i  1 donde S es la variable de Laplace en forma discreta, H S es la función de transferencia en forma discreta y B es un vector de pesos de unos. Utilizando la técnica de ajuste vectorial, se sintetiza una función analítica como la de la ecuación (42a), la cual tiene la siguiente forma N c f (s ) = ∑ n + d + sh n =1 s − a n

donde (N ) da el orden de la función a sintetizar y (d + sh ) determinan el tipo de la aproximación.

120

Auge21: Revista Científica Multidisciplinaria ISSN: 1870-8773 Año 7 / No. I / Enero - Junio / 2012 La tabla 1 muestra los polos iniciales de acuerdo al orden de la aproximación y el factor de cada polo, es decir, el numero asociado para distinguir un polo real de las partes real e imaginarias de un polo complejo. El procedimiento de ajuste es sensible a los polos iniciales, pero después de muchas pruebas el espaciamiento lineal es una buena forma de distribuir los polos dentro del intervalo de ajuste. La tabla 1 se genera con polos reales entre -1 y -100 y polos complejos con parte real entre los limites [-0.01 -1] y parte imaginaria entre [1 100] utilizando la función linspace de MatLab. Orden 1er 2o 3er 4o

TABLA 1.- Polos iniciales para cada orden de aproximación Polos iniciales Factor de cada polo. 0 para un real, 1 para la parte real y 2 para la imaginaria de uno complejo Pinit = [− 49.5] I index = [0]

Pinit = [− 1 − 100i

− 1 + 100i ]

Pinit = [− 0.01 − i

− 0.01 + i

Pinit = [− 49.5 − 1 − 100i

I index = [1 2 ]

− 1 + 100i ]

− 1 − 100i

I index = [0 1 2 ]

I index = [1 2 1 2 ]

Aplicando la metodología descrita, es posible obtener una función estrictamente propia, propia o impropia para cada orden de aproximación. La tabla 2 muestra las funciones obtenidas de acuerdo al orden y tipo de aproximación.

Orden 1er 2o 3er

TABLA 2.- Funciones para cada orden y tipo de aproximación Tipo de funciones Estrictamente propia Propia Impropia

f (s ) =

555.53 s +88.396

6.2366 1.585×106 + s + 2.6416×10 5 s + 3.1845

2.6696×108 s + 4.4493×107 2.9987 + 2.3423 i 2.9987 − 2.3423 i + s + 2.1841−1.0374 i + s + 2.1841+ 1.0374 i

f (s ) =

7.3699×10 20 11.331 + s + 241.91 s +1.2319×10 20 9.261 11.23 − s +18.054 + s +6.0666

f (s ) =

6.2112 s + 3.1221 + 6.0016 + 2.5104 i f s = s+32.0008 .1635−0.99951i 3.0008− 2.5104 i + s + 2.1635+0.99951i + 6

()

f (s ) =

2 2 −i 2 +i s + 5 + s + 3− 2 i + s + 3+ 2 i + 6

−10

×10 f (s ) = − 3.3113 s +9.0123

2 −i 2 +i + s + 3− 2 i + s + 3+ 2 i + 6

2 + s+ 5

f (s ) =

6.212 −6 s + 3.1232 + 6.0016 + 1.5125 × 10 s

f (s ) =

3.0008+ 2.5085 i 3.0008− 2.5085 i s + 2.1637 −0.99996 i + s + 2.1637 +0.99996 i −8 + 6 + 1.5929 × 10 s

f (s ) =

2 2 −i 2 +i −18 s s + 5 + s + 3− 2 i + s + 3+ 2 i + 6 − 4.101 × 10

f (s ) =

2.9988+ 2.3564 i 2.9988− 2.3564 i s + 2.1819 −1.0345 i + s + 2.1819 +1.0345 i 0.00050299 +6.2064×10 − 5 i 0.00050299 −6.2064×10 − 5 i + + s +1−100 i s +1+100 i −9 + 6 − 3.4726 × 10 s

Es posible obtener aproximaciones de mayor o menor orden, sin embargo se deben de tomar en cuenta ciertas consideraciones, por ejemplo, 1. El grupo de datos tiene como origen una función de cierto orden y tipo (problema original). 2. Aunque no se conocen estas características del problema original, cuando se sobrepasa el orden en la aproximación, se obtienen residuos cercanos a cero, imaginarios puros o de gran magnitud. 3. Por otro lado, cuando se tiene un bajo orden de aproximación, se obtienen polos y residuos de gran magnitud. 4. Cuando el tipo de función no es el adecuado se tienen términos proporcionales o constantes cercanos a cero. 5. Por estas razones, la medida del ajuste se da en términos del error mínimo cuadrado [4, 5, 6]. La evaluación del error por el método de mínimos cuadrados tiene el problema de que utilizando un error fijo, más de una función puede cumplirlo. Por ejemplo, las funciones propias de orden 3 y 4, y la función impropia de orden 3, tienen prácticamente el mismo error pero difieren en orden y tipo. Analizando los resultados en forma visual, la Figura 1 muestra el valor absoluto del grupo de datos y todas las aproximaciones, la Figura 2 muestra la parte real y la Figura 3 la parte imaginaria. Las Figuras 4, 5 y 6 muestran un acercamiento de las funciones a fin de notar cual es la mejor aproximación. Parece que las tres funciones mencionadas (propia orden 3 y 4, impropia orden 3) tienen diferencias indistinguibles pero la tabla 2 muestra las diferencias entre estas aproximaciones.

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ISSN: 1870-8773

Año 7 / No. I / Enero - Junio / 2012

7 6

Valor absoluto

5 4 3 2 1 0 0 10

Grupo original de datos Función estrictamente propia de primer orden Función propia de primer orden Función impropia de primer orden Función estrictamente propia de segundo orden Función propia de segundo orden Función impropia de segundo orden Función estrictamente propia de tercer orden Función propia de tercer orden Función impropia de tercer orden Función estrictamente propia de cuarto orden Función propia de cuarto orden Función impropia de cuarto orden 2

Frecuencia

FIGURA 1.- Valor absoluto de los datos originales y todas las aproximaciones. 7

Parte real de la función

6 5 4 3 2 1 0 0 10

Frecuencia

FIGURA 2.- Parte real de los datos y las aproximaciones.

Parte imaginaria de la función

0 -0.5 Grupo original de datos Función estrictamente propia de primer orden Función propia de primer orden Función impropia de primer orden Función estrictamente propia de segundo orden Función propia de segundo orden Función impropia de segundo orden Función estrictamente propia de tercer orden Función propia de tercer orden Función impropia de tercer orden Función estrictamente propia de cuarto orden Función propia de cuarto orden Función impropia de cuarto orden

-1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5 0 10

Frecuencia

FIGURA 3.- Parte imaginaria de los datos y las aproximaciones.

122

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6.0016 6.0015 6.0014

Valor absoluto

Año 7 / No. I / Enero - Junio / 2012

6.0013 6.0012 6.0011 6.001 6.0009 6.0008 1.3

1.31

1.32

1.33

1.34

1.35

1.36

Frecuencia

1.37

FIGURA 4.- Acercamiento del valor absoluto de los datos y las aproximaciones. Grupo original de datos Función estrictamente propia de primer orden Función propia de primer orden Función impropia de primer orden Función estrictamente propia de segundo orden Función propia de segundo orden Función impropia de segundo orden Función estrictamente propia de tercer orden Función propia de tercer orden Función impropia de tercer orden Función estrictamente propia de cuarto orden Función propia de cuarto orden Función impropia de cuarto orden

6.0015

Parte real de la función

6.0014 6.0013 6.0012 6.0011 6.001 6.0009 6.0008 1.29

1.31

1.35

1.33

1.37

1.39

Frecuencia

FIGURA 5.- Acercamiento de la parte real de los datos y las aproximaciones.

Parte imaginaria de la función

-0.04

-0.045 Grupo original de datos Función estrictamente propia de primer orden Función propia de primer orden Función impropia de primer orden Función estrictamente propia de segundo orden Función propia de segundo orden Función impropia de segundo orden Función estrictamente propia de tercer orden Función propia de tercer orden Función impropia de tercer orden Función estrictamente propia de cuarto orden Función propia de cuarto orden Función impropia de cuarto orden

-0.05

-0.055

-0.06

1.29

1.3

1.31

1.32

1.33

1.34

Frecuencia

1.35

1.36

1.37

FIGURA 6.- Acercamiento de la parte imaginaria de los datos y las aproximaciones.

123

Auge21: Revista Científica Multidisciplinaria ISSN: 1870-8773 Año 7 / No. I / Enero - Junio / 2012 De acuerdo a los resultados numéricos, las mejores aproximaciones son la función propia de tercer y cuarto orden y la función impropia de tercer orden. Analizando estas funciones, es notable que la función impropia de tercer orden tiene el termino proporcional casi cero y que la función propia de cuarto orden tiene un residuo casi cero, por esta razón se puede decir que son prácticamente la misma función. Es claro que si se tiene un grupo de datos medidos, se tiene el ruido de los equipos de medición y el ajuste se puede ver seriamente afectado, aun con esto se puede esperar el mismo comportamiento; si se aplica el proceso de ajuste en forma iterativa, hay una recolocación de polos para obtener una mejor aproximación [6]. Al utilizar ajustes de alto orden, si se tienen algunos polos muy grandes, imaginarios puros o residuos casi cero, se pueden omitir estos polos y utilizar el resto como un nuevo grupo de polos iniciales. Aplicando el paso anterior, se puede iniciar con una función impropia de un orden alto y reducirla hasta llegar a un grupo de polos, residuos, términos constante y proporcional que ajusten de manera adecuada el grupo de datos. El ejemplo previo se hizo en un solo ciclo iterativo, el procedimiento paso a paso para obtener la función propia de orden tres, se describe a continuación, 1. Se necesita un grupo con los siguientes datos, 6.4095 − 0.78136i  1 0.1 + 6.2832i  0   − 49.5  6.0217 − 0.20376i  1 0.1 + 29.164i        H S = f fit =  B=  S= I index =  1 Pinit =  − 1 − 100i   6.001 − 0.044304i  1  0.1 + 135.37i  − 1 + 100i  2        6 − 0.0095491i  1 0.1 + 628.32i  2. Utilizando esta información se obtienen las matrices A y b para una función propia como sigue, Bf fit   B A= B b = f fit* (s )  S - Pinit   S - Pinit Numéricamente se tiene, 0.30851 −0.069083i 1 −0.12403+0.031151i −0.64125−1.1333i −1.9234+ 0.68385i 6.4095−0.78136 i   0.019651 −0.0024645i 0.077343+0.18625i  −0.20376 i 0.014908−0.0086783i 0.0037019 −0.077523i −0.026496−0.0022687i 1 −0.088005+0.055296i −0.0064959+0.46758i 0.16002+0.0082628i b = 66..0217 A = 0.0024047   001−0.044304 i −0.0064973i 0.00012203−0.014855i −0.0010972−1.7931×10 i 1 −0.014143+0.039097i −7.4211×10 +0.089149i 0.0065852+5.8994×10 i  6−0.0095491i   0.0001261−0.0015815i 5.5769×10 −0.0031839i −5.0673×10 −1.7747×10 i 1 −0.00074152+0.0094902i −3.0582×10 +0.019104i 0.00030404+5.8096×10 i  3. Separando las matrices A y b en parte real e imaginaria  0.019651 0.077343 0.30851 1 −0.12403 −0.64125 −1.9234   6.4095  0.014908 0.0037019 1 0.16002 − 0.026496 − 0.088005 − 0.0064959  0.0024047   66.0217  12.203×10 0.0065852 − 0.0010972 1 − 0.014143 − 7.4211×10 .001  12.61×10 5.5769×10 −5.0673×10 1 −74.152×10 −3.0582×10 30.404×10   6  A =  −0.0024645 0.18625 −0.069083 0 0.031151 b =  −0.78136  0.68385  −1.1333 0.46758 0.0082628   −0.0086783 −0.077523 −0.0022687 0 0.055296  −0.20376  0.0064973 − 0.014855 −1.7931×10 0 0.039097 0.089149 5.8994×10 044304  −−0.0015815   −−00..0095491  0 0.0094902 0.019104 5.8096×10  − 0.0031839 −1.7747×10 4. Se calcula la norma Euclidiana de la matriz A , la cual por columna es, norm( A) = [0.0272 0.2166 0.3173 2.0000 0.1702 1.3866 2.0477 ] -5

-6

-5

-7

-5

-6

-7

-5

-6

-5

-6

-5

-7

Resolver el sistema aplicando primero por columna, A = A norm(A) y después haciendo la operación X = (A T ⋅ A ) ⋅ A T ⋅ b , y entonces obtener X = X. norm(A).' , por lo tanto numéricamente se tiene −1

 −45.8182  95.5909 −−252  .7384 X =  6.0000   −7.8041   −16.3480   −41.9512  Como se tiene un ajuste de orden tres, los últimos tres valores corresponden a los residuos de σ (s ) :

 ~ =  −−167..8041 C −41.3480  9512  Conociendo los polos iniciales y los factores de ponderación, se tiene  −49.5 0 0  1  W = 2  Λ init =  0 −1 −100  and  0 100 −1  0  Con los residuos de σ (s ) , los polos iniciales y la matriz de ponderación, se obtienen los ceros de σ (s ) ,   −49.5 Z ZEROS = eig   0  0

−1 −100 100 −1

 1   − 02 [−7.8041

−16.3480 − 41.9512



] 

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Auge21: Revista Científica Multidisciplinaria ISSN: 1870-8773 Año 7 / No. I / Enero - Junio / 2012 Los ceros de la función σ (s ) son los polos de la función de transferencia H(s ) , así se tiene que,

 −5  R ROOTS =  −3+ 2 i   − 3− 2 i  10. Se utilizan estos polos para calcular los residuos, el termino constante y proporcional, por lo tanto  B  A= B  b = f fit* (s ) S - RS  Numéricamente se tiene,  0.077876 0.15052 0.047319 1   6.4095  0.0073079 0.0045663 1  00.0058183   6.0217  .00027793 0.00033839 0.00021799 1 6.001 1.2918×10 1.5705×10 1.0131×10 1   6  A =  −0.095943 −0.25911 0.071259 0  b =  -0.78136   −0.033271 −0.068114 98.653×10 0   -0.20376  0.0073768 -0.01477 9.9919×10 0 0.044304  −-0.0015914  --0.0095491  -0.0031831 9.9977×10 0 Resolviendo el sistema siguiendo los pasos 4 y 5, se llega a 2 X =  −21  6  Los primeros tres términos de X son los residuos de H(s ) y el cuarto es el término constante. De acuerdo con I index el primer termino es un residuo real, el segundo es la parte real de un par de residuos complejos conjugados y el tercero es su parte imaginaria, por lo tanto se tiene, 2 C =  2 −i  d =6 y  2+i  Finalmente se tiene el siguiente SEDO, 0 0   x 1  1 x1  − 5        y = [2 2 − i 2 + i ]x 2  + [6]u(t ) x =  0 − 3 + 2i 0  x 2  + 1 u(t ) x 3   0 0 − 3 − 2i  x 3  1 Y utilizando la ecuación (23) la función de transferencia H(s ) del grupo de datos es la siguiente, -5

-5

-6 -8

11.

12.

13.

14.

f (s ) = H(s ) =

2 2−i 2+i + + +6 s + 5 s + 3 − 2i s + 3 + 2i

VII.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

EJEMPLO 1.- El comportamiento de un fenómeno físico se puede representar por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, sin embargo esta representación no es única, lo que significa que se pueden tener dos grupos de SEDO con la misma solución. Para este ejemplo se define un SEDO como referencia, después se desarrolla otro SEDO a partir de los puntos discretos de la función de transferencia H(s ) del sistema de referencia y se comparan las soluciones. Así, si se tiene x = Ax + Bu(t ) y y = Cx + Du(t ) , entonces,

 x1  − 25 − 5  x1  10 u (t ) y x  =   + − 2  x2   0   2   1

 y1  − 2 0   2 y    0 0  2  3    y3   − 5 − 1   2       1   x1  0  y4  =  0 + u (t )  y 5   − 1 0   x  1  2        0  y6   1 0  y   1 − 2 0  7     2  0  y8   0

La solución analítica de este SEDO que sirve de referencia es, x1 (t ) = 0.4075(1 − e −24.7805141726785t ) − 0.0437(1 − e −2.21948582732152 t ) x2 (t ) = −0.0179(1 − e −24.7805141726785t ) + 0.1996(1 − e −2.21948582732152 t )

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Auge21: Revista Científica Multidisciplinaria ISSN: 1870-8773 Año 7 / No. I / Enero - Junio / 2012 Por lo tanto, la soluciones analíticas de las salidas son y1 = −0.814937520035717(1 − e −24.7805141726785t ) + 0.0357734471600778(1 − e −2.21948582732152 t ) + 2u (t ) y2 = 1.22240628005358(1 − e −24.7805141726785t ) − 0.0536601707401167(1 − e −2.21948582732152 t )

y3 = −1.9935114037078(1 − e −24.7805141726785t ) − 0.110271287498026(1 − e −2.21948582732152 t ) + 2u (t ) y4 = −0.0438323963814949(1 − e −24.7805141726785t ) + 0.199704905398221(1 − e −2.21948582732152 t )

y5 = −0.407468760017858(1 − e −24.7805141726785t ) + 0.0178867235800389(1 − e −2.21948582732152 t ) + u (t ) y6 = 0.407468760017858(1 − e −24.7805141726785t ) − 0.0178867235800389(1 − e −2.21948582732152 t ) y7 = 0.495133552780848(1 − e −24.7805141726785t ) − 0.41729653437648(1 − e −2.21948582732152 t )

y8 = −0.0876647927629897(1 − e −24.7805141726785t ) + 0.399409810796442(1 − e −2.21948582732152 t )

Estos resultados se utilizan como referencia, pero la intención es construir un SEDO suponiendo que solo se conoce la función de transferencia H(s ) , la cual es T

2 2  2 s 2 + 34 s + 70  s + 17 s + 35 30 s + 60 2 s + 4s 10 10 s + 20 10 s 20  H (s ) =   s 2 + 27 s + 55 s 2 + 27 s + 55 s 2 + 27 s + 55 s 2 + 27 s + 55 s 2 + 27 s + 55 s 2 + 27 s + 55 s 2 + 27 s + 55 s 2 + 27 s + 55  La Figura 7 muestra cada término, en forma discreta, de la función de transferencia H(s ) , con 500 muestras

logarítmicamente distribuidas entre [10 −3 108 ] Hz y haciendo que s = jω . 2

|Hs(1)| |Hs(2)| |Hs(3)| |Hs(4)| |Hs(5)| |Hs(6)| |Hs(7)| |Hs(8)|

Valor absoluto

1.5

0.5

-2

10 10 Frecuencia en Hz

FIGURA 7a.- Valor absoluto del la función de transferencia H(s ) .

Parte real de la función

real(Hs(1)) real(Hs(2)) real(Hs(3)) real(Hs(4)) real(Hs(5)) real(Hs(6)) real(Hs(7)) real(Hs(8))

1.5 1 0.5 0 -0.5

-2

10 10 Frecuencia en Hz

FIGURA 7b.- Parte real de la función de transferencia H(s ) .

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Auge21: Revista Científica Multidisciplinaria

ISSN: 1870-8773

Año 7 / No. I / Enero - Junio / 2012

Parte imaginaria de la función

1.5

imag(Hs(1)) imag(Hs(2)) imag(Hs(3)) imag(Hs(4)) imag(Hs(5)) imag(Hs(6)) imag(Hs(7)) imag(Hs(8))

1 0.5 0 -0.5 -1

-2

10 10 Frecuencia en Hz

FIGURA 7c.- Parte imaginaria de la función de transferencia H(s ) . Como conocimiento a priori, se toma como hecho que todos los datos de la función de transferencia H(s ) provienen de el mismo sistema físico, y por lo tanto, todos los términos tienen polos comunes. Así, sin importar cual grupo de datos se utilice, se llega al mismo grupo de polos. De esta forma utilizando la técnica descrita para ajustar cada curva con una función propia de segundo orden, se llega al siguiente SEDO: 0  x 1  − 24.7805141726785   x 1  1 + u(t ) x  =  0 − 2.21948582732152  x 2  1  2  

 y1  − 20.1945 0.1945  2 y    0   2   30.2918 − 0.2918    y3  − 50.0432 0.0432  2       0.4432   x1  0  y4  =  − 0.4432 + u (t )  y5   − 10.0972 0.0972   x  1  2         y6   10.0972 − 0.0972 0   y   10.9837 − 0.9837  0   7      y8   − 0.8864 0.8864  0 Analizando este resultado, se tiene un SEDO diferente al original, pero el objetivo es tener el mismo comportamiento en ambos SEDO. En este caso se tiene una solución analítica de la siguiente forma: x1 (t ) = 0.040354287769482(1 − e −24.7805141726785t ) x2 (t ) = 0.450554803139609(1 − e −2.21948582732152 t ) Por lo tanto la solución analítica de las salidas es: y1 = −0.814934664360809(1 − e −24.7805141726785t ) + 0.0876329092106539(1 − e −2.21948582732152 t ) + 2u (t ) y2 = 1.2224040142556(1 − e −24.7805141726785t ) − 0.131471891556138(1 − e −2.21948582732152 t )

y3 = −2.01945769370575(1 − e −24.7805141726785t ) + 0.0194639674956311(1 − e −2.21948582732152 t ) + 2u (t ) y4 = −0.0178850203394345(1 − e −24.7805141726785t ) + 0.199685888751475(1 − e −2.21948582732152 t )

y5 = −0.407465314466016(1 − e −24.7805141726785t ) + 0.04379392686517(1 − e −2.21948582732152 t ) + u (t ) y6 = 0.407465314466016(1 − e −24.7805141726785t ) − 0.04379392686517(1 − e −2.21948582732152 t )

y7 = 0.443239390573662(1 − e −24.7805141726785t ) − 0.443210759848433(1 − e −2.21948582732152 t )

y8 = −0.035770040678869(1 − e −24.7805141726785t ) + 0.399371777502949(1 − e −2.21948582732152 t ) Comparando estas soluciones con las del sistema de referencia, pareciera que son diferentes. Sin embargo, la solución en tiempo muestra que las diferencias reales con prácticamente cero. La Figura 8 muestra la solución de ambos SEDO y la Figura 9 muestra el porciento de error de la solución ajustada, donde se puede observar que el

127

Auge21: Revista Científica Multidisciplinaria ISSN: 1870-8773 Año 7 / No. I / Enero - Junio / 2012 máximo error esta alrededor de 0.01%, lo cual es aceptable debido a que es menor que el error por incertidumbre en los parámetros de un SEDO y que el error incorporado por el procedimiento numérico. 2

Función original Ajuste de la función

Amplitud en p.u.

1.5

0.5

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8 1 1.2 tiempo en segundos

1.4

1.6

1.8

FIGURA 8.- Función original y ajuste obtenido, resueltas numericamente. 0.01

Error en porciento

0.005

Error (y1) Error (y2) Error (y3) Error (y4) Error (y5) Error (y6) Error (y7) Error (y8)

-0.005

-0.01 0

0.2

0.4

0.6

0.8 1 1.2 tiempo en segundos

1.4

1.6

1.8

FIGURE 9.- Percent error between the original and the fitted solution. EJEMPLO 2.- La finalidad del ejemplo anterior es explorar la técnica, sin embargo la aplicación propuesta es para el caso donde solo se tiene la función de transferencia sea analítica que numérica, por ejemplo si se tiene un SEDO descrito de la siguiente forma,  x1   a11  x  a  2  =  21        xn  an1

a12  a1n   x1   e1  a22  a2 n   x2  e2  u (t ) +              an 2  ann   xn  en 

 y1   c11 c11  y  c  2  =  21 c22         y m  cm1 cm 2

 c1n   x1   d1   c2 n   x2   d 2  u (t ) +              cmn   xn  d m 

(48a)

(48b)

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Auge21: Revista Científica Multidisciplinaria ISSN: 1870-8773 Si se sabe que la función de transferencia H(s ) de este SEDO es,

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 7 s + 36.5 s +196.57 s +188.5   s +9.5 s + 29.51 s + 29.785  H (s )  2 s + 39 s +149.02 s +99.57   1   s +9.5 s + 29.51 s + 29.785  H 2 (s )  (49)  4 s − 2 s +98.04 s +89.14    H 3 (s ) s + 9.5 s + 29.51 s + 29.785   H(s ) = =  5 s + 27.5 s +117.55 s +138.93  H 4 (s )   s +9.5 s + 29.51 s + 29.785    H 5 (s )   − 10 s + 40 s + 30  s +9.5 s + 29.51 s + 29.785   H (s )  3 s + 28.5 s +108.53 s +109.36   6   s +9.5 s + 29.51 s + 29.785  Como se tiene la función de transferencia analítica, el primer paso es ponerla en plano discreto. Con la finalidad de comparar el efecto del muestreo, se utilizan 4 y 10000 muestras logarítmicamente distribuidas entre [10−3 105 ] Hz, haciendo que s = jω . El segundo paso es explorar el orden de la función que ajusta todos los términos; en este caso se llega a una función propia de tercer orden. La Tabla 3 muestra las raíces que se obtienen para cada termino de la función de transferencia con las 4 y las 10000 muestras. 3

H 1 (s )

TABLA 3.- Raíces utilizando 4 y 10000 muestras Raíces utilizando 4 muestras Raíces utilizando 10000 muestras r1 = −3.700000 r2 = −3.499999 r3 = −2.300000 r1 = −3.699999 r2 = −3.500000 r3 = −2.299999

H 3 (s )

r1 = −3.700000 r2 = −3.499999 r3 = −2.299999

r1 = −3.699999 r2 = −3.500000 r3 = −2.300000

r1 = −3.699999 r2 = −3.500000 r3 = −2.299999

r1 = −3.700000 r2 = −3.499999 r3 = −2.300000

r1 = −3.699999 r2 = −3.500000 r3 = −2.299999

r1 = −3.700000 r2 = −3.499999 r3 = −2.300000

r1 = −3.700000 r2 = −3.499999 r3 = −2.299999

r1 = −3.699999 r2 = −3.500000 r3 = −2.299999

r1 = −3.700000 r2 = −3.499999 r3 = −2.299999

H 2 (s ) H 4 (s )

H 5 (s )

H 6 (s )

Como es necesario elegir tres raíces que ajusten todos los términos de la función de transferencia, del análisis de los resultados se escogen como raíces r1 = −3.7 r2 = −3.5 r3 = −2.3 ; notando que los resultados utilizando 4 o 10000 muestras son prácticamente iguales con diferencias insignificantes. Utilizando las raíces elegidas, se obtienen los resultados mostrados en las Figuras 10, 11 y 12. Es estas figuras se compara cada término de la función de transferencia original con el ajuste. Mientras que la Figura 10 muestra el valor absoluto, la Figura 11 muestra la parte real y la Figura 12 la parte imaginaria.

Valor absoluto de la función

Función original Resultado del ajuste racional

7 6 5 4 3 2 1

0 -3 10

-2

-1

10 10 Frecuencia en Hz

FIGURA 10.- Valor absoluto de la función H(s ) y del ajuste.

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Parte real de la función

Función original Resultado del ajuste racional

6 4 2 0 -2 -3 10

-2

-1

10 10 Frecuencia en Hz

FIGURA 11.- Parte real de la función H(s ) y del ajuste.

Parte imaginaria de la función

Función original Resultado del ajuste racional

2 1 0 -1 -2 -3 -3 10

-2

-1

10 10 Frecuencia en Hz

FIGURA 12.- Parte imaginaria de la función H(s ) y del ajuste. Finalmente, utilizando la metodología descrita se llega al siguiente SEDO, 0 0   x1  1  x1  − 3.7 x  =  0 − 3.5 0   x2  + 1 u (t )  2    x 2   0 0 − 2.3  x3  1

 y1   − 1370.4 1427.1 y   − 83.333  2   110  y3   − 1762.9 1833.3  =  y 4  − 688.57 708.33  y5   − 874.64 927.08     y6   − 192.86 208.33

− 86.726  7    2 − 6.6667   x1    − 110.48    4  x2 +   u (t ) − 39.762    5  x3  − 62.44    0    − 15.476  3

(50a)

(50b)

130

Auge21: Revista Científica Multidisciplinaria Este SEDO tiene como solución analítica, x 1 (t ) = 0.270270270270(1 − e −3.7 t )

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x 2 (t ) = 0.285714285714(1 − e −3.5 t )

x 3 (t ) = 0.434782608695(1 − e −2.3 t ) Por lo tanto la solución analítica de la salida es, y 1 = −370.366795366795(1 − e −3.7 t ) + 407.738095238094(1 − e −3.5 t ) − 37.707039337471(1 − e −2.3 t ) + 7 u(t ) y 2 = +29.729729729729(1 − e −3.7 t ) − 23.809523809523(1 − e −3.5 t ) − 2.898550724637 (1 − e −2.3 t ) + 2 u(t )

y 3 = −476.447876447876(1 − e −3.7 t ) + 523.809523809523(1 − e −3.5 t ) − 48.033126293993(1 − e −2.3 t ) + 4u(t ) y 4 = −186.100386100386(1 − e −3.7 t ) + 202.380952380952(1 − e −3.5 t ) − 17.287784679088(1 − e −2.3 t ) + 5u(t ) y 5 = −236.389961389961(1 − e −3.7 t ) + 264.880952380951(1 − e −3.5 t ) − 27.148033126292 (1 − e −2.3 t ) + 0u(t )

y 6 = −52.123552123552(1 − e −3.7 t ) + 59.523809523809(1 − e −3.5 t ) − 6.728778467908(1 − e −2.3 t ) + 3u(t ) La Figura 13 muestra la solución del SEDO descrito por la ecuación (50a,b). 8

Amplitud en p.u.

6 4 y1 y2 y3 y4 y5 y6

2 0

-2 0

0.2

0.4

0.6

1.2 1 0.8 tiempo en segundos

1.4

1.6

1.8

FIGURA 13.- Solución del SEDO descrito por las ecuaciones (50a) y (50b). Este ejemplo muestra el procedimiento para obtener un sistema de ecuaciones diferenciales ordinario a partir de una función de transferencia analítica o en plano discreto, así con esta metodología se puede resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinario con coeficientes desconocidos construyendo uno similar, es decir, un sistema de ecuaciones diferenciales ordinario con el mismo comportamiento que la función de transferencia H(s ) del sistema original.

VIII. CONCLUSIONES Si se tiene la función de transferencia, de un sistema físico, descrita numéricamente, entonces es posible construir un sistema de ecuaciones diferenciales ordinario que tenga el mismo comportamiento que esta función de transferencia. Como los sistemas son similares, la solución del sistema construido es similar a la solución del sistema original, siendo el propósito principal del ajuste el obtener un modelo analítico a partir de un grupo de datos. Este artículo muestra el procedimiento, paso a paso, para ajustar un grupo de datos en plano complejo mediante una función en el dominio de "s" utilizando la metodología descrita por el ajuste vectorial.

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IX.

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BIOGRAFÍAS

Verónica Adriana Galván Sánchez. Ella recibió sus grados de Licenciatura y Maestría en Ciencias de la Universidad de Guadalajara, México, en el 2008 y 2011 respectivamente. Actualmente, ella es estudiante de doctorado en Cinvestav-Unidad Guadalajara, México. Sus áreas de interés son los transitorios electromagnéticos en sistemas de potencia, análisis de estabilidad transitoria y las matemáticas aplicadas. José Alberto Gutiérrez Robles. El recibió sus grados de Licenciatura y Maestría en Ciencias de la Universidad de Guadalajara en 1993 y 1998, respectivamente. El recibió su grado de Doctor en Ciencias de Cinvestav-Unidad Guadalajara, México, en 2002. El actualmente es profesor de tiempo completo en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Guadalajara, México. Sus áreas de interés son las matemáticas aplicadas, el comportamiento de las descargas atmosféricas y los transitorios electromagnéticos en sistemas de potencia. Miguel Ángel Olmos Gómez. El recibió su grado de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad de Guadalajara, México, en 1986; y su grado de Doctorado en Matemáticas de la Universidad Estatal de Washington (Pullman), EUA, en 1995. El actualmente es profesor de de tiempo completo en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Guadalajara, México. Sus áreas de interés son la solución numérica de sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales y las matemáticas aplicadas.

REFERENCIAS

[1] P. W. Williams, "Numerical computation", Nelson Edition, boards: 0-17-761018-2, paper: 0-17-771018-7, 1972, 191 pages. [2] L. R. Burden, J. D. Faires, "Numerical analysis", Brooks/Cole 20 Channel Center Street, Boston MA 002210 USA. Night edition, ISBN-13: 978-0-538-73351-9, CENGAGE Learning. [3] J. D. Hoffman, "Numerical methods for engineers and scientists", McGraw-Hill International Editions ISBN: O-07029213-2. [4] B. Gustavsen, A. Semlyen, "A robust approach for system identification the frequency domain", IEEE Transactions on power delivery, vol. 19, no. 3, pp.1167-1173, July 2004. [5] B. Gustavsen, A. Semlyen, "Rational approximation of frequency domain response by vector fitting", IEEE Transactions on power delivery, vol. 14, no. 3, pp.1052-1061, July 1999. [6] A. Semlyen, B. Gustavsen, "Vector fitting by pole relocation for the state equation approximation of nonrational transfer matrices", Circuits Systems Signal Process, vol. 19, no. 6, pp. 549-566,2000.

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