L’ORA DI ASTRONOMIA

L’ORA DI ASTRONOMIA

A CURA DI ANDREA SIMONCELLI*

IL RAGGIO DI SCHWARZSCHILD

DI QUANTO SI DEVE RESTRINGERE UNA STELLA PER DIVENTARE UN BUCO NERO?

Nell’ultimo ventennio del XVIII secolo John

Michell e Pierre

Simon de Laplace, considerando la teoria corpuscolare della luce proposta da Isaac Newton, studiarono le possibili conseguenze dell’interazione di un fotone con un campo gravitazionale prodotto da un corpo celeste. In maniera indipendente, arrivarono a ipotizzare che nell’Universo potessero esistere oggetti celesti con massa e densità tali da intrappolare i raggi luminosi per via della loro enorme attrazione gravitazionale. Tali oggetti presero il nome di “stelle oscure” in quanto sarebbero stati invisibili a un osservatore. Tra le implicazioni della legge di gravitazione universale di Newton c’è il concetto di velocità di fuga. Immaginiamo di lanciare in alto un sasso; questo, a causa della gravità terrestre, rallenterà sempre più fino a raggiungere un’altezza massima e poi ricadrà al suolo. Questa altezza sarà tanto maggiore quanto maggiore sarà la velocità iniziale con cui lanciamo il nostro sasso. Esiste una velocità “limite”, detta velocità di fuga:

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se il sasso è lanciato con una velocità pari o superiore a questa, nonostante continui a rallentare, non invertirà più il suo moto e si allontanerà definitivamente dalla Terra. La velocità di fuga è la velocità che consente all’oggetto di giungere a una distanza teoricamente infinita, quindi con energia potenziale pari a zero, e con velocità nulla, e quindi con energia cinetica nulla. Dunque, le “stelle oscure”, secondo i due scienziati che le ipotizzarono, avrebbero avuto una velocità di fuga superiore a quella della luce!

CALCOLIAMO

LA VELOCITÀ DI FUGA

Consideriamo un oggetto di massa m posto sulla superficie di un corpo celeste di massa M e raggio R, che è vincolato a rimanere sul corpo celeste dalla gravità. L’energia potenziale gravitazionale U del sistema costituito dall’oggetto e dal corpo celeste separati dalla distanza R è: U = G M m / R. Dove G è la costante di gravitazione universale, pari a 6,67 x 10−11 N·m2/kg2 . Se lanciamo l’oggetto con una velocità iniziale v, esso avrà un’energia cinetica pari a ½ m v2 . La velocità di fuga vf può essere calcolata uguagliando l’energia cinetica dell’oggetto con la sua energia potenziale gravitazionale. Così, si ottiene: G M m / R = 1/2 m vf 2 . Da questa si ricava: vf = (2 G M / R)1/2 (ricordiamo che elevare a ½ equivale a estrare la radice quadrata). È da notare che la velocità di fuga non dipende dalla massa dell’oggetto lanciato, ma solo dalla massa e dal raggio del corpo celeste dal quale si prova a sfuggire. Per esempio, calcoliamo la velocità di fuga della Terra, ricordando che in questo caso M = 6 · 1024 kg e R = 6370 km = 6.370.000 m = 6,37 x 106 m. Applicando la formula, abbiamo: vf = 11.200 m/s, ovvero 11,2 km/s. Va tenuto presente che, quando parliamo di velocità di fuga, ci riferiamo a una situazione che non preveda ulteriore spinta rispetto al lancio iniziale. Una navicella spaziale non ha bisogno di raggiungere la velocità di fuga per allontanarsi dal nostro pianeta; può partire anche a velocità molto inferiori, purché sia dotata di un sistema di propulsione.

I BUCHI NERI

Ipotizziamo di prendere un oggetto celeste e di comprimerlo, facendo diminuire man mano il suo raggio. La velocità di fuga dalla sua superficie aumenterà al diminuire del raggio finché diventerà uguale a quella della luce. A questo punto, nemmeno la luce potrà sfuggire indefinitamente dall’oggetto celeste: avremo così un “buco nero”. Il raggio associato a ogni massa M in cui si verifica questo fenomeno prende il nome di raggio di Schwarzschild (Rs). Il suo valore si ottiene sostituendo la velocità della luce nella formula della velocità di fuga. Risolvendo la formula rispetto a R s, si ottiene: R s = 2 G M / c2 . Dove c è la velocità della luce nel vuoto, pari a 3 x 108 m/s. L’ipotesi avanzata da Michell e de Laplace non ebbe successo e fu abbandonata con la scoperta che la luce era una radiazione priva di massa e pertanto non soggetta all’influenza della gravitazione. Solo nel secolo scorso, grazie alla formulazione della Relatività generale di Albert Einstein, si è compreso come il campo gravitazionale possa influenzare anche la luce. Poco tempo dopo la pubblicazione della teoria di Einstein, l’astrofisico tedesco Karl Schwarzschild trovò una soluzione alle equazioni della Relatività generale per il campo gravitazionale di una stella con una distribuzione sferica di massa, priva di momento angolare (cioè non in rotazione) e con carica elettrica nulla. Solo sul finire degli anni 60 del secolo scorso l’oggetto celeste in grado di non far sfuggire

» L’astrofisico tedesco Karl Schwarzschild (1873-1916) (AIP archive).

Nella pagina a sinistra: l’immagine di Sgr A*, il buco nero supermassiccio nel cuore della Via Lattea, realizzata dall’Event Horizon Telescope (Eht).

Il buco nero si trova al centro della regione oscura (detta ’“ombra”), circondata da un anello brillante di radiazione emessa dalla materia in rapida rotazione attorno al mostro celeste (Eht Collaboration).

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A CURA DI ANDREA SIMONCELLI

» Quando il Sole avrà esaurito il suo combustibile nucleare, non si ridurrà a un buco nero: dopo aver espulso gli strati esterni, il nucleo della stella si compatterà fino a dimensioni poco maggiori di quelle terrestri: una “nana bianca”.

L’ORA DI ASTRONOMIA

Questa rubrica vuole avere una connotazione didattica, per stimolare i lettori ad approfondire l’indagine del cielo anche con gli strumenti della matematica e della fisica. Chi si ferma su queste pagine scopre che può arrivare a comprendere come funziona l’Universo, con l’aiuto di una semplice calcolatrice. Domande, risposte e proposte riguardanti i problemi di calcolo astronomico possono essere inviate in redazione, all’indirizzo stroppa@bfcmedia.com

LE NOSTRE SOLUZIONI

Ecco le soluzioni dei problemi proposti nella puntata precedente (“Quanto sono grandi le stelle?”) pubblicata su Cosmo n. 30 (luglio 2022). La luminosità di Antares è 1,57 x 1029 W, equivalente a 405 volte la luminosità del Sole (nei testi è riportato un valore di 500 volte, la differenza è dovuta alla mancata correzione bolometrica nei calcoli proposti in rubrica). Il raggio di Rigel è 5,49 x 1010 m, pari a circa 78 raggi solari.

nemmeno la luce fu definito “buco nero” dall’astrofisico John A. Wheeler. La dimensione caratteristica di un buco nero è proprio il raggio di Schwarzschild, mentre la superficie della sfera individuata da questo raggio è definita “orizzonte degli eventi”, il confine di un buco nero oltre il quale niente può sfuggire, nemmeno la luce.

CALCOLIAMO IL RAGGIO

DI SCHWARZSCHILD

Applichiamo il calcolo del raggio di Schwarzschild al caso di una stella con una massa pari a quella del Sole (M = 2 x 1030 kg): R s = 2960 m ovvero 2,96 km. Allora, se potessimo comprimere il Sole fino dal suo raggio di 700mila km fino a circa 3 km, diventerebbe un buco nero! Si tratta però di un calcolo solo teorico, perché non è questo il destino dell’evoluzione del Sole, ma quello di diventare una nana bianca. Infatti, non è abbastanza massiccio perché la sua gravità possa comprimerlo fino a questo punto, quando avrà esaurito la sua produzione di energia. Ripetiamo, sempre come esercizio, il calcolo precedente per la Terra (M = 6 x 1024 kg): Rs = 0,0089 m, ovvero 8,9 mm. Dunque, dovremmo contrarre la Terra al punto tale da avere tutta la massa concentrata in una sfera con un raggio inferiore a 1 cm per farla diventare un buco nero!

PER LA PROSSIMA PUNTATA

Una nana bianca è una stella che ha una massa confrontabile con quella solare, ma è compressa all’interno di un raggio simile a quello terrestre. Qual è la velocità di fuga da questa stella? Abbiamo visto che, per il nostro pianeta, il raggio di Schwarzschild è poco meno di 1 cm. E per la Luna, che ha una massa di 7,3 x 1022 kg? Infine, qual è il raggio di Schwarzschild per Sgr A*, il buco nero situato al centro della Via Lattea (vedi Cosmo n. 30), che ha una massa pari a circa quattro milioni di masse solari?

*ANDREA SIMONCELLI LAUREATO IN ASTRONOMIA A BOLOGNA, È UN RICERCATORE, DOCENTE E DIVULGATORE SCIENTIFICO.