ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ СОФИЯ ПИСМЕН КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 9 ЮЛИ 2005 Г.
ТЕМА 1 Задача 1. Да се решат уравненията: а) x + 2 − 2 x − 3 = 1 б) 2 log 3 ( x − 1) − log 3 ( x 2 − 1) = −1 Задача 2. Окръжност (k) e описана около правоъгълния триъгълник ABC (∠ACB=90°, AC<BC). Симетралата на АВ пресича катета ВС в точка Е, продължението на катета АС в точка F, и окръжността (k) в точка D, D е между Е и F. a) Да се намери лицето на кръга, ограничен от окръжността (k) и cos∠BAC, ако ОЕ=а, EF=b, където О е центъра на окръжността (k). б) Да се изчисли радиусът R на окръжността (k), ако FD=1 и ∠AFO=α е решение на 1 cos 2 α − sin α = . Намерете лицето на частта от ∆AFO, лежаща вън от кръга. 4 2 2 , където а е реален Задача 3. Дадена е системата: 2 x 2 − y 2− x + a = 0 4 x − 3 y − 2 x + ay + a + 1 = 0 параметър. а) Решете системата за а=3. б) За кои стойности на параметъра а системата няма решение? в) Ако ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x3 , y3 ) , ( x 4 , y 4 ) са решенията на системата при а≤0, изразете като функция на параметъра а израза f (a ) = x12 + x 22 + x32 + x 42 и намерете най-малката му стойност. Задача 4. Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDM с връх М, за която основният ръб е равен на а и ъгълът между стена и основата е равен на 2α. а) През точките A и C е прекарана равнина β, успоредна на BM. Да се намери лицето на сечението на пирамидата с равнина β. R б) Да се намери отношението като функция на α , където R е радиусът на описаната r около пирамидата сфера, а r е радиусът на вписаната в пирамидата сфера. Намерете най малката дтойност на това отношение.