КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА – 2005 г. ТРЕТА ТЕМА Задача 1. а) Числата , прогресия, а числата Да се намерят числата
и
, взети в този ред образуват аритметична , и образуват геометрична прогресия. , и , ако техният сбор е равен на .
б) Да се реши уравнението
.
в) Да се реши уравнението
.
г) Да се реши уравнението
.
Задача 2. Дадена е системата
където е реален параметър. а) Да се реши системата при . б) Да се намери множеството от стойностите на параметъра , за които системата има реални решения. в) Да се намерят най-голямата и най-малката стойност на функцията за
, където
е решение на системата.
Задача 3. В равнобедрен трапец см и
имат дължини
дължини см ( и а) Да се намери лицето на продълженията на двете бедра.
с бедра
и
см, а височините лежат върху , където
, основите и
имат
). е пресечната точка на
б) Да се намери разстоянието между центровете на вписаните в и окръжности. в) Да се намери максималното лице на правоъгълник, едната страна на който лежи върху основата , а краищата на срещуположната страна лежат върху двете бедра на трапеца. Задача
4.
В
триъгълна
пирамида
,
ръбът
е
перпендикулярен на основата и има дължина см. Височината в околната стена сключва с основата на пирамидата ъгъл с мярка
,а
и
.
а) Да се намери лицето на . б) Да се намери обемът на пирамидата. в) Да се намери лицето на сечението на пирамидата с равнина, минаваща през ръба и сключваща с основата на пирамидата ъгъл с мярка
.
ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Решение на задача 1 а) От свойствата на аритметична и геометрична прогресия и от условието за сбора на числата , и , съставяме системата
От първото и третото уравнение следва, че намираме . Сега за и съставяме системата
, откъдето
От първото уравнение изразяваме и заместваме във второто, , . Решенията на това квадратно уравнение са , , което дава и . Получаваме следните две решения , , и , , . б) Полагаме . Областта от допустими стойности за е . Получаваме следното квадратно уравнение за , чиито решения са и . Решението не принадлежи на , а от решението получаваме , следователно . Даденото уравнение има само едно решение . в) Използваме формулата и заместваме в уравнението. Получаваме , ,
При
. получаваме следните решения , където
е цяло число, т.е.
, където
е цяло число.
При получаваме следните решения , където
е цяло число, т.е.
, където е цяло число. Решенията на даденото уравнение са и , където е цяло число. г) Областта от допустими стойности се получава от неравенствата и , което дава . Преобразуваме уравнението във вида , откъдето след повдигане на квадрат получаваме , , . Отново повдигаме на квадрат и получаваме , . Това квадратно уравнение има корени и . Проверката показва, че само е решение на даденото ирационално уравнение. Решение на задача 2 а) При системата приема вида
От второто уравнение изразяваме , откъдето след заместване в първото получаваме следното квадратно уравнение за ,
, , , , което има едно решение . На тази стойност на съответства . Следователно системата в този случай има единствено решение . б) За да определим стойностите на , за които системата има и заместваме в реални решения, от второто уравнение изразяваме първото. По този начин за получаваме квадратното уравнение , , . За неговата дискриминанта пресмятаме , . Системата има реални решения тогава и само тогава, когато , което е изпълнено, точно когато . Следователно множеството от стойностите на параметъра , за които системата има реални решения е интервала . в) Разсъждавайки както при решението на точка б), при , по формулата за решаване на квадратно уравнение, за получаваме и
,
на които съответстват и Системата има две решения
.
и За всяко от тези две решения имаме
.
, което показва, че функцията е добре определена в областта . До същия израз за може да се достигне и по следния начин. Като повдигнем второто уравнение в квадрат получаваме
, от което след изваждане почленно на първото уравнение, намираме , което отново води до формулата . Графиката на тази квадратна функция в интервала (черт. 1)
има вида
Черт. 1. Абсолютният минимум на квадратната функция се достига в точката , която е единственият корен на уравнението , която точка се явява вътрешна за разглеждания интервал . Следователно най-малката стойност на се достига за и е равна на . Най-голямата стойност на в интервала се достига в някой от неговите краища. Понеже и , то най-голямата стойност на се достига за и е равна на . Решение на задача 3
a) Нека е височината в точката е пресечна на отсечките следователно е височина в
към страната и . Понеже . Тогава
(черт. 2) и нека , то ,
. е подобен на триъгълник
Триъгълник следователно
,
, откъдето намираме , . За лицето на триъгълника намираме см2. б) Трапецът е равнобедрен, следователно правоъгълните и са еднакви ( , триъгълници ). Имаме см, откъдето намираме
, От друга страна
,
.
, следователно
. От теоремата на Питагор намираме .
Черт. 2. Нека и са центровете на вписаните окръжности в еднаквите правоъгълни триъгълници и , а е дължината на техния радиус. Съгласно формулата за радиус на вписана окръжност в правоъгълен триъгълник
. Нека и са допирните точки на вписаната в окръжност и , а и са допирните точки на съответно със страните вписаната в окръжност съответно със страните и . Очевидно четириъгълниците и са квадрати със страна , следователно . Разстоянието между центровете на вписаните в и е см. в) Нека е един вписан в трапеца правоъгълник (черт. 3), както е зададено условието на задачата. Да положим и . е пресечната точка на и . Очевидно е височина в Нека равнобедрения триъгълник .
Черт. 3. Тогава от подобните триъгълници или откъдето намираме
,
или което ни дава
,
. Трябва да намерим максималната стойност на
максималната
.
и
имаме
стойност
на
,
т.е.
Тук обаче трябва да вземем предвид факта, че правоъгълникът се разглежда като вписан в трапеца , а не в триъгълника , което означава, че променливата се мени в граници от до . Имаме , следователно глобалният максимум на квадратната функция се достига за , което лежи извън разглеждания интервал . Графиката на тази функция има вида
Черт. 4. Очевидно нейната максимална стойност достига при най-голямото възможно , т.е. за
в интервала . Следователно
се
см2. В този случай правоъгълникът
съвпада с правоъгълника
.
Решение на задача 4 а) Тъй като ръбът е перпендикулярен на основата на пирамидата, то е перпендикулярен на всяка права от равнината на основата (черт. 5). Следователно . Тогава за лицето на триъгълника намираме .
Черт. 5. От , където Следователно околната стена . Тогава на
е височина в стената
(
) и
следва, че
е равнината, определена от триъгълника . и е линеен ъгъл на двустенния ъгъл между и основата . По условие двустенният ъгъл е равен и
. От тук за лицето на триъгълник
намираме
см2. б) Намираме последователно ,
понеже триъгълникът Тогава
, е правоъгълен и равнобедрен (
см2.
и За обема на пирамидата се получава см3. в) Нека сечението (черт. 5) е триъгълникът . От правоъгълен триъгълник
имаме
).
. Тогава
. Следователно см2,
.