РУСЕНСКИ УНИВЕРСИТЕТ “АНГЕЛ КЪНЧЕВ” Писмен конкурсен изпит по МАТЕМАТИКА 21.07.2005 Вариант II 1. Дадена е функцията f ( x ) = (m + 5)x 2 − 2(m + 1)x + 2m − 4 , където m е реален параметър. а) Да се намерят всички стойности на m, така че уравнението f ( x ) = 0 да има корен 0. б) Да се намерят всички стойности на m, така че неравенството f ( x ) < 0 да е изпълнено за всяка реална стойност на x. x x в) Да се изрази 1 + 2 като функция на m, където x1 и x2 са корените на x 2 x1 уравнението f ( x ) = 0 . 2. Да се реши: а) уравнението cos 2 x − 5. sin x − 3 = 0 ; 2x + 1 < 0. б) неравенството log 2 x+3 3. Около окръжност е описан правоъгълен трапец. Допирната точка на окръжността с бедрото го дели на отсечки с дължина 16 cm и 9 cm. а) Да се намерят дължините на страните на трапеца. б) Да се намери лицето на четириъгълника, чийто върхове са допирните точки на окръжността със страните на трапеца. 4. Дадена е пирамида ABCDM с основа правоъгълникът ABCD, като дължините на всички околни ръбове са равни. Дължините на основните ръбове са AB = 4 cm и BC = 3 cm, а ъгълът между два околни ръба, не лежащи в една стена е 2 . а) Да се намери обема на пирамидата. б) Да се намери разстоянието от точка A до равнината (BDM).
01234256 14683026939 4 3 5 4 38 !" #! $ %&" ' (# ()*%" $ ! $# + + ,-./0.,//1 2 * ! 33 -. 45 &"%!6 &" 7%/6 " #!# )* 6 " " $#8) 6 &" ,=<9:/; =:,.
>!?.@ , -.A4 "* 6" %!6#!# EBC 7D/" $F8 " # 6%'( *" 8 %!#G #%! 7H (#? !# =I1D/ J:B=I-C,<B=I1CB,=<9C:<=,<9=I,-D/. #? 6 =LB<KM<1C =LB<KM<0CNBOMIKC. >!?.@ B<KM<0C -.64>! !"#*"& ! 2 "! & &" 7-I7,:,=B=II1-C 7-7,:,==I<19. #? 6 7- I7, :B7-I7,C,<,7-7, : ,,<,= . 7, 77-7, =,IO=<-/ >!?.@ =,,I,O<=,=<-/ ,. 4 STP,7<1PQR7<O:/; -<,PQR,7<1PQR7<O:/; ,PQR,7I1PQR7I,:/. U#8 ? &" PQR7:XYXLV<-M-WH*"Z 6 &" (6 * ! #!# )* 6 " " ,X,I1XI,:/ $#8) 6 &" X-:<, X,:<-,. "Z 6 &" % &# PQR7:<-,. >!?.@ B<-I-,\C^]MB<1I-,RC^]Y\YRL[ ,.A4+ #_"%!6#!# #! #$)%!& %!#G #%! #$*" "8'&" #! )%8#6'! 7IO`/ ,77IIO-a/H!.".7LB<KM<OCNgef<-,MIKdbc.h " #!# "* 6" %!6# " "(66 8" ! # %,77IIO-D-; 7LB<OM,C.>(# !"8 # 7Lgef<-,M,dbc. >!?.@ gef<-,M,dbc
0
12345673 9 6 7 3 3 6 3 3 6 3
7 3 6 3 2 6 9 ! "# $ % ! 0&2 6
3 3 ' ( ) ' ( 7 * + * "#+%*"02 , '33 ! ! 0 ! 0-2 . )3/6 0 1 01 2. (3'3/6 3' 3 6 6/3 23 ' ( 7 0 3 0 * 05 00 *426(69 3 6( 7 ! 42 , 8 73 3 6 3 6 3 3 7 $ ! $ ! -%2 (69 6 96 9 3 6 ) 3/ 3/6 ! 0: ! 0"2 '23 ! 0: ! 0& ! 0" ! 0- 12;4, / ( 6 3 6 ' ( 7 2 ? *? A? A? * *"0 + A"0 + <=>@ A"0 + <=>@ B6 ;6(6 / 6 ! 0- ! ! ! ! "0 3 0-2 * <=>@ *<=>@ *<=>@0 * 0 0& , '33 ? *"00IGH"A00-&FDE*0:0C0-JK02 '23 0:0 0- JK0 -234, 8 73 7 ( 6 ; 6 3 3 6 6 3 3 73 L 3 9 3' 3( 6 MN OP 6 6 3 3 3 3 7 ( MONP 7 Q 6 67 3 ' 3( 73 L 3 3 3 3 3 32, ' ( 7 MNQ 6 3 ;69 6 73 1MQN ! 0126(69 3 6( 1MQL ! 1NQL ! 12 ' ( 7 MLQ 3/ 3/6 * * TUVSR2 3' 3 3 6 6/3 23 ' ( 7 MON 3/ 3/6 * 0A 0 *& '33 ML ! &02 7 3 6( W *"1? 2 *"12-212&02JXYSR2 '23 W *"ZJXYSR -2;4, 8 73 3 6 OPQ MONP 3 6 6 9 79()
' 3( 3 3 67 ) 3 73 M 3 3 3 OPQ 6 73 [ OP 73 M[ 1OP2 , '33 6 32 ) 6 6M[ 7 6 3/ 3/6 3 ' ( ) + *"02 ' ( 7 MOP 3 0 * & '23 "&0