ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – СОФИЯ ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – ВАРНА ПИСМЕН КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 11 юли 2005 г. ТЕМА ПЪРВА Задача 1. Да се реши: а) уравнението
3x + 4 −
1 = 3; 3x + 4
⎛ y⎞ log 3 ⎜ ⎟ = 1 − x . ⎝4⎠ x 3 +y=7
б) системата
x + 1 + 3x + 6 . Да се намерят: 3x + 6 а) най-малката стойност на функцията f ( x ) в затворения интервал [1 ; 6] ;
Задача 2. Дадена е функцията f ( x ) =
б) координатите на точките от графиката на функцията f ( x ) , в които допирателната към графиката на f ( x ) сключва с положителната посока на абсцисната ос ъгъл с големина
π
. 6 Задача 3. Даден е ромб ABCD с BAD = α . Върху диагонала AC е взета точка M така, че CM = k . AM . В ACD е вписана окръжност с център P . Правите AD и MP са успоредни. а) Да се изрази cos α като функция на k и да се намерят допустимите стойности на k . б) Да се намери стойността на k , при α =
π
. 2 Задача 4. В куба ABCDA1 B1C1 D1 телесният диагонал AC1 има дължина 48 . Върху основните ръбове AD и BC са избрани съответно точки M и N така, че AM : MD = CN : NB = 3 :1 . През точките M , N и C1 е построена равнина λ . Да се намерят: а) косинусът на ъгъла, който равнината λ сключва с равнината на околната стена CDD1C1 на куба; б) отношението на обемите на двата многостена, на които равнината λ разделя куба. ВРЕМЕ ЗА РАБОТА 5 АСТРОНОМИЧЕСКИ ЧАСА. Разпределението на точките в задачите е както следва: Зад. 1.а)- 5 точки, Зад.1.б)-5 точки, Зад. 2.а)- 4 точки, Зад. 2.б)-6 точки, Зад. 3.а)- 6 точки, Зад.3.б)-4 точки, Зад. 4.а)- 6 точки, Зад. 4.б)-4 точки. НА ВСИЧКИ КАНДИДАТ-СТУДЕНТИ ПОЖЕЛАВАМЕ УСПЕХ!