2005.11.07 Технически университет - София и Варна

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – СОФИЯ ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – ВАРНА ПИСМЕН КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 11 юли 2005 г. ТЕМА ПЪРВА Задача 1. Да се реши: а) уравнението

3x + 4 −

1 = 3; 3x + 4

⎛ y⎞ log 3 ⎜ ⎟ = 1 − x . ⎝4⎠ x 3 +y=7

б) системата

x + 1 + 3x + 6 . Да се намерят: 3x + 6 а) най-малката стойност на функцията f ( x ) в затворения интервал [1 ; 6] ;

Задача 2. Дадена е функцията f ( x ) =

б) координатите на точките от графиката на функцията f ( x ) , в които допирателната към графиката на f ( x ) сключва с положителната посока на абсцисната ос ъгъл с големина

π

.

6 Задача 3. Даден е ромб ABCD с BAD = α . Върху диагонала AC е взета точка M така, че CM = k . AM . В ACD е вписана окръжност с център P . Правите AD и MP са успоредни. а) Да се изрази cos α като функция на k и да се намерят допустимите стойности на k . б) Да се намери стойността на k , при α =

π

.

2 Задача 4. В куба ABCDA1 B1C1 D1 телесният диагонал AC1 има дължина 48 . Върху основните ръбове AD и BC са избрани съответно точки M и N така, че AM : MD = CN : NB = 3 :1 . През точките M , N и C1 е построена равнина λ . Да се намерят: а) косинусът на ъгъла, който равнината λ сключва с равнината на околната стена CDD1C1 на куба; б) отношението на обемите на двата многостена, на които равнината λ разделя куба. ВРЕМЕ ЗА РАБОТА 5 АСТРОНОМИЧЕСКИ ЧАСА. Разпределението на точките в задачите е както следва: Зад. 1.а)- 5 точки, Зад.1.б)-5 точки, Зад. 2.а)- 4 точки, Зад. 2.б)-6 точки, Зад. 3.а)- 6 точки, Зад.3.б)-4 точки, Зад. 4.а)- 6 точки, Зад. 4.б)-4 точки. НА ВСИЧКИ КАНДИДАТ-СТУДЕНТИ ПОЖЕЛАВАМЕ УСПЕХ!

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – СОФИЯ ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – ВАРНА ПИСМЕН КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 11 юли 2005 г.

ТЕМА ПЪРВА

УКАЗАНИЯ за точкуване на кандидатстудентските писмени работи по МАТЕМАТИКА Задача 1. а) а) а) а) б) б) б) б)

1.

2.

3.

4.

1.

2.

3.

4.

Задача 2. а)

1.

а) а) а) б)

2.

3.

4.

1.

б) б)

2.

3.

Общо 10 точки Намерено е дефиниционното множество. Получено е квадратно уравнение . Решено е квадратното уравнение от т.2а). Намерено е решението на даденото уравнение. Намерено е дефиниционното множество. Получено е показателно уравнение. Решено е показателното уравнение от т.2б). Намерени са решенията на системата.

1 2 1 1 1 1 1 2

Общо 10 точки Установено е, че интервалът [1;6] се съдържа в дефиниционното множество на f ( x) . Намерена е производната на f ( x) . Доказано е, че функцията f ( x) е растяща в дадения интервал. Намерена е най-малката стойност на f ( x) в дадения интервал. От геометричния смисъл на производната е получено ирационално уравнение. Решено е ирационалното уравнение от т.1б). Намерени са координатите на търсената точка от графиката.

1 1 1 1 2 3 1

Задача 3. а)

1.

Общо 10 точки Условието AD MP е изразено аналитично ( PMC =

α 2

или

1

отношение на отсечки) а)

2.

а)

3.

а) б)

4.

1.

б)

2.

б)

3.

Задача 4. а) а) а)

1.

2.

3.

а) а) б) б) б)

4.

5.

1.

2.

3.

α

k −1 .

2 2 k 2 − 2k − 1 . Намерено е, че cos α = 2 Намерен е интервалът от допустимите стойности на k . Доказано е, че cos

При α =

2

=

1

π

, от а) е получено уравнение за k или е изразен 2 радиусът на окръжността чрез AB . Решено е квадратното уравнението от т.1б) или е изразена дължината на AM чрез AB . Получен е окончателен отговор за стойността на k .

2 1

1 2

Общо 10 точки Намерена е страната на куба. Определен е видът на сечението на куба с равнината λ . Изразен е косинусът на търсения ъгъл чрез отношението на лица или отсечки. Намерени са лицата или отсечките от т.3а). Намерен е косинусът на търсения ъгъл. Намерен е обемът на единия многостен (пресечената пирамида). Намерен е обемът на другия многостен. Намерено е търсеното отношение.

1 1 1 2 1 2 1 1

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – СОФИЯ ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – ВАРНА ПИСМЕН КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 11 юли 2005 г.

ТЕМА ПЪРВА ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. Да се реши: а) уравнението

б) системата

3x + 4 −

1 = 3; 3x + 4

⎛ y⎞ log 3 ⎜ ⎟ = 1 − x . ⎝4⎠ x 3 +y=7

Решение: 4 а) Даденото ирационално уравнение има смисъл при x > − . Тогава полагаме 3 2 t = 3x + 4, t > 0 и получаваме квадратното уравнение t − 3t − 1 = 0 с корени

t1 =

3 − 13 3 + 13 < 0 и t2 = > 0 . От 2 2

3x + 4 = t2 намираме x =

решението на даденото ирационално уравнение е x =

1 + 13 . Окончателно 2

1 + 13 .

2

4 Забележка: Даденото уравнение може да се реши и без полагане, понеже при x > − , 3 то е равносилно на уравнението 3x + 4 = x + 1, x > −1 . б) При y > 0 дадената система е равносилна на системата y>0 y>0

y = 4.3.3− x y = 7 − 3x

⇔

y = 12.3− x

.

12.3− x = 7 − 3x

Показателното уравнение 12 = 7.3x − 32 x има корени x1 = 1 и x2 = log 3 4 , откъдето

намираме y1 = 4 и y2 = 3 . Окончателно решенията на дадената система са (1 , 4 ) и

( log3 4, 3) . x + 1 + 3x + 6 . Да се намерят: 3x + 6 а) най-малката стойност на функцията f ( x ) в затворения интервал [1;6] ;

Задача 2. Дадена е функцията f ( x ) =

б) координатите на точките от графиката на функцията f ( x ) , в които допирателната към графиката на f ( x ) сключва с положителната посока на абсцисната ос ъгъл с големина

π 6

.

Решение:

x +1 + 1 е дефинирана за x ∈ ( −2; ∞ ) . За тези стойности на x 3 x+2 намираме производната й по правилото за производна на частно на две функции и получаваме x+3 f ′( x) = (1) .

3 2 3 ( x + 2) а) Функцията f ( x ) =

Тогава f ′ ( x ) > 0 за всяко x ∈ ( −2; ∞ ) и следователно функцията f ( x ) е строго растяща 1+1 5 +1 = .

3 3 1+ 2 б) Точката M ( x, y ) лежи на графиката на функцията f ( x ) , точно тогава, когато y = f ( x ) .

в [1;6] . Оттук следва, че най-малката стойност на f ( x ) е f (1) =

Допирателната в точката М към графиката на f ( x ) сключва с положителната посока на абсцисната ос ъгъл с големина

π

ирационалното уравнение

2 3 вида

точно тогава, когато f ′ ( x ) = tg

6 x+3

( x + 2)

3

=

1 , т.е. 2 3

( x + 2)

3

π 6

. Така от (1) получаваме

= x + 3 . Това уравнение е от

f ( x ) = g ( x ) и при x > −2 е равносилно на

4 x3 + 23x 2 + 42 x + 23 = 0 ⇔ ( x + 1) ( 4 x 2 + 19 x + 23) = 0 ⇔ x = −1 . За ордината y на точката М , при x = −1 получаваме y = f ( −1) = 1 . Следователно търсената точка е M ( −1;1) . Задача 3. Даден е ромб ABCD с BAD = α . Върху диагонала AC е взета точка M така, че CM = k . AM . В ACD е вписана окръжност с център P . Правите AD и MP са успоредни. а) Да се изрази cos α като функция на k и да се намерят допустимите стойности на k .

б) Да се намери стойността на k , при α =

π

2

.

Решение: а) Означаваме AB = AD = a, AM = x и тогава CM = kx, AC = (1 + k ) x (фиг.1). Триъгълникът ACD е равнобедрен и OP = r . От MP AD ⇒ k > 1 . От MOP α AC k −1 k −1 α − AM = правоъгълен следва, че r = OM .tg . Но OM = x и така r = xtg .

2 2 2 2 2

D

C P O M

A

За лицето на

B

Фиг.1.

ACD имаме a sin (1800 − α ) = ( 2a + AC ) r или получаваме 2

k −1 α xtg .

2 2 2 α cos . Заместваме в (1) и след ⇒ x=a 1+ k 2

a 2 sin α = ( 2a + (1 + k ) x )

(1)

AO α = cos AB 2 α k −1 . Това равенство следва също от преобразуване получаваме cos = 2 2 k − 1 OM OP OA α = = = ( свойство на ъглополовящата) = cos . Тогава MA PD AD 2 2 2 α k − 2k − 1 cos α = 2 cos 2 − 1 = .

2 2 α ⎛ π ⎞ k −1 α = cos ∈ ( 0;1) . За допустимите Тъй като α ∈ ( 0; π ) , то ∈ ⎜ 0; ⎟ и 2 ⎝ 2⎠ 2 2 стойности на к получаваме k ∈ (1;3) .

От правоъгълния

б) От т.а) при α =

ABO ⇒

π 2

следва

k −1 π 2 = cos = . Следователно k = 1 + 2 .

2 4 2

Забележка: Може да не се използва резултатът получен от т.а) . При α = ABCD е квадрат и от правоъгълния

ADC ⇒ r =

π 2

ромбът

2a − a 2 a a и AM = . = 2 2+ 2 2 +1

CM AC − AM = = 1 + 2 . Търсената стойност е k = 1 + 2 .

AM AM Задача 4. В куба ABCDA1 B1C1 D1 телесният диагонал AC1 има дължина 48 . Върху основните ръбове AD и BC са избрани съответно точки M и N така, че AM : MD = CN : NB = 3 :1 . През точките M , N и C1 е построена равнина λ . Да се намерят: а) косинусът на ъгъла, който равнината λ сключва с равнината на околната стена CDD1C1 на куба; б) отношението на обемите на двата многостена, на които равнината λ разделя куба. Решение: Пресмятаме отношението

D1

C1

C1

K A1 P

P

B1

Q

C

D M

Q

D

C

M N

N

A

Фиг.2. B Фиг.3. а) Намираме ръба AB = a на куба от AC1 = a 3 ⇒ 48 = a 3 ⇒ a = 4 . Така BN = DM = 1, NC = AM = 3 . Нека Q = MN ∩ CD и P = QC1 ∩ DD1 . Тъй като MP NC1 , то сечението на куба с равнината λ е трапеца NC1 PM (фиг.2). В QCC1 построяваме CK ⊥ C1Q . Тогава NK ⊥ C1Q (теоремата за трите перпендикуляра) и търсеният ъгъл е QD MD 1 CKN = ϕ . От MDQ ∼ CNQ следва = = . От тук QD = 2 и QC = 6 . От QD + 4 NC 3 6.4 12 . От правоъгълния NCK следва,че правоъгълния QCC1 намираме CK = = 2 2 13 6 +4

cos ϕ =

CK = NK

12 13 32 +

2

12 13

=

4 4 29 . = 29 29

S1 , където S2 S1 е лицето на проекцията на сечението NC1 PM върху околната стена CDD1C1 , а S2 е лицето на сечението NC1 PM . Забележка: За пресмятане на cos ϕ може да се използва и формулата cos ϕ =

б) Нека V1 е обема на пресечената пирамида NCC1MDP с основи NCC1 , MDP и CC1.CN DP QD 1 = 6 .От = = височина h = CD = 4 (фиг.3.). Пресмятаме B = S NCC1 = CC1 QC 3 2 4 DM .DP 2 h 104 = .Следователно V1 = B + B1 + B.B1 = . следва DP = .Тогава B1 = S MDP = 3 2 3 3 9 Обемът V на куба е V = 43 = 64 . Тогава обемът V2 на другия многостен е 472 V2 = V − V1 = . Търсеното отношение на обемите на двата многостена е V1 : V2 = 13 : 59 .

9

(

)