2005.18.07 Висше транспортно училище "Т.Каблешков"

!" #$ % & ' ( )* + ,.-0/ 132546487:9 ; <>=@?A=@BDC EFCHG IKJLGKM%GK<>C I NPORQTS U SWV@X%Y[Z>\.]^Z_Y[`aZ_bPc^Z>Y[dfe_]^ghb ikj lnmRofmqp6r 931 s SWV@X%Y[Z ]^Zut%vDYwvWYubxZy`TXfbzX ikj lnmRofmqp6r x = −4

115 + 121 + 127 + 133 + 139 + 145 + 151.

2x − y = −9 x + 5y = 1. y=1

{ SWV@X%Y[Z ]^Zut%v |P]^X~}~c^Zuc^v.Z_bxe ikj lnmRofmqp6r x = 1

1 5 (2x − 1,7) = 1,6 3

SWV@X%Y[Z ]^Zut%v |P]^X~}~c^Zuc^v.Z_bxe ikj lnmRofmqp6r x = − 1

25x =

1 5

2

SWV@X%Y[Z>\.]^Z_Y[`aZ_bPc^Z x + x , Xn e x v x Y[X e_]^Zuc^vWbxZ c.X |P]^X~}~c^Zuc^v.Z_bxe x + 2x − 3 = 0 ikj lnmRofmqp6r −26 S" @b P|xbxv. z zY[g^ WgW]. X_ X ^Zy]zc.Xx . Kd Zu ^vDvD wZu xZuc^v$bxey\^ Pv8 x\^e%Yw .|P ^X~Zuc c.Xy zv^cDY[Z }fXn W b W}fZ V@X Y[Z>c.X~`aZy]zv }fZy]^ef bPc^e Yub^bzXKv W}fZ_bxZ v. w}fXn xZuc^v bxey\^ Pv WX Y[X wZu xZuc^v ikj lnmRofmqp6r 3 3 1

2

3 2

1

2

14

.SWV@X%Y[Z>\.]^Z_Y[`aZ_bPc^Z ikj lnmRofmqp6r √2

sin

9π .

4

2

SWV@X%Y[Z ]^Zut%v c^Zy]^X~}fZuc.Yubz}fe bxe log (x + 1) < 1 3 ikj lnmRofmqp6r x ∈ (−1; √3 − 1) SWV@X%Y[Z>c.X~`aZy]zv \.]^eyv. w}fe[ .c.XfbzX c.X T|Rc^ P ^v. bzX f (x) = x ikj lnmRofmqp6r f (x) = 5x + 3 sin x 3

3

0

4

5

− 3 cos x + 1.

UP S6 >e~ ^ e%Y[X%bz]zv^ ^v. a]^Zuc^vWbxZ zvWYw .X Y ]^X~ q ^v. zc^v c^Zy ^Z_bPc^v ^v. a]zv5 ikj lnmRofmqp6r 60

T ^ x 8 ¢¡z£W¤@¥n¦x§u¨^©%§ ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§_®x© x−

p 25 − x2 + m = 0,

¬ ¯ ©f§_®x© m §°«^§y¥n±x§u¨ ².¥~«^¥~³a§_®z´W«6µu¤@¥L¶[§·«^§u¸%­ ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§_®x© ².«z­ m = 1 µ_¤@¥@¶[§°¨.¥~³a§y«^¹ ®>²^©~±x©nº@­W®x§u±^¨^­W®x§ ¶u®x©y»^¨^© ¶u®x­ ¨.¥ m ¼ ².«z­ ¯ ©y­W®x©%ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§_®x©K­.³T¥ ®x©y½z¨^© §¾¦.­^¨D«^§y¥n±x§u¨ ¯ ©_«^§u¨8µ ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§_®x© ¦x©fÇn­.¬f¥ ¬~­z¦W¥

¿ ÀPÁ ÀPÂ"Ã"À$ ÅÄ~ ^ x 8 ¢¡z£ ÆL«z­ È ©_«z¨^© ®x© ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§ ².«z­

x−

m=1 p 25 − x2 = x + 1.

√ 25 − x2 + 1 = 0

(1)

§>«^¥~¬~¨^© ¶w­^±^¨^© ¨.¥

x+1 ≥0

¼ ®5µ § µ

25 − x2 = (x + 1)2 ⇐⇒ 25 − x2 = x2 + 2x + 1 ⇐⇒ 2x2 + 2x − 24 = 0 ⇐⇒ x2 + x − 12 = 0. p −1 ± 1 − 4 . (−12) −1 ± 7 x1,2 = = 2 2 −1 + 7 −1 − 7 =3 = −4 x1 = x2 = 2 2 m=1 x1 = 3

LÆ © ¶w±x§¾¦.¨^© ®x© ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§K­.³T¥ ¯ ©_«^§u¨^­ µhÉL§u²^© ¶[«^§¾¦z¶u®z¬f§u¨.¥f®z¥ ².«^©~Ê ¬f§y«z¯x¥K²^©y¯x¥~Ëw¬f¥ ¼ ½^§ § «^§u¸%§u¨^­.§@¨.¥ ̾Í_Î ¼ ¨^© ¨^§>§ «^§u¸%§u¨^­.§@¨.¥ ̾Í_Îqµ Ï ±x§¾¦x©_¬f¥f®x§u±^¨^© ¼ ².«z­ ¦W¥n¦x§u¨^© ®x©K­.«^¥nÐ^­.©y¨.¥n±^¨^© ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§@­.³T¥ §¾¦.­^¨.¶u®z¬f§u¨^© «^§u¸%§u¨^­.§ µ Ñ § ².«^§¾¦.±x©nº@­.³ ¦W¬f§ «^§u¸%§u¨^­.¹ Ëw¥ © ¶u®z¥n¨.¥n±.¥f®z¥ ½^¥f¶u® © ® Ëw¥n¦W¥y½^¥f®z¥xµ Ò ÓfÔ5ÕPÖ@Ô"×qØ ×qÙ^Ú5×~Û Ü ¥n²^­W¶[¬f¥~³a§@¦W¥n¦x§u¨^© ®x© ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§ ¬f´W¬ ¬~­z¦W¥ p 25 − x2 = x + m.

¤@©y².ªx¶u®x­.³a­W®x§@³Tª ¶u®x©y»^¨^© ¶u®x­$¶[¥%®x§yËq­ x ¼ Ëw¥ ¯ ©y­W®x© Ü¥ ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§_®x© ÌÞÝ Îk§ «^¥~¬~¨^© ¶w­^±^¨^©K¨.¥

25 − x2 ≥ 0

(2)

¼ ®5µ § µ x ∈ [−5, 5] µ

x+m≥0

(3)

2x2 + 2mx + m2 − 25 = 0.

(4)

25 − x2

­^±^­ ¬ ¶[§ §¾¦.¨^© ¨.¥ = (x + m) ¼ 2

Ñ >§ ­.Ë[¶w±x§¾¦W¬f¥~³a§ ¯ ©_«^§u¨^­W®x§>¨.¥ ²^© ¶w±x§¾¦.¨^© ®x© ¯x¬f¥n¦W«^¥f®P¨^© ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§ ¼ ¬ Ëw¥~¬~­W¶w­.³a© ¶u® © ® Ëq¨.¥n¯x¥ ¨.¥K¦.­W¶w¯x«z­^Ê ³a­^¨.¥n¨W®z¥f®z¥ © ® ¶[´.¯x«^¥f®x§u¨.¥f®z¥Kßà©_«^³Tª~±.¥ D = m − 2(m − 25) = 50 − m µ ÆL«z­ D < 0 ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§_®x© ÌâáPÎk¨.¹f³T¥ «^§u¸%§u¨^­.§ ¼ ¶w±x§¾¦x©_¬f¥f®x§u±^¨^© ­ ÌÞÝ Îk¨.¹f³T¥ «^§u¸%§u¨^­.§ µ • ÆL«z­ D = 0 ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§_®x©ãÌâáPÎ ­.³T¥ä®x©y½z¨^©ä§¾¦.­^¨å¯ ©_«^§u¨8µ@æ@® D = 50 − m = 0 ¨.¥~³a­.«^¥~³a§ • √ √ µ Ü ¥ √ ²^©~±.ªP½^¥~¬f¥~³a§ m 5 2 ¯ ©f§_®x© §>© ® ¦x©y².ªx¶u®x­.³a­W®x§ m = ±5 2 ¶u®x©y»^¨^© ¶u®x­ [−5; 5] mËw¥D=ÌÞÝ mÎ ¼ ­ =© ¶[5¬f§u¨ 2 ®x©_¬f¥ ªf¦x©_¬~±x§_®zx¬f©_«^=¹f¬fx¥ ªx=¶w±x©_2¬~­.=§_®x© 2ÌÞç Îq¼ µW¤@«^ªRè~¥f®z¥%¶u®x©y»^¨^© ¶u® m = √ § © ®z«z­^Ð.¥f®x§u±^¨.¥xµ m = −5 2 Ï ±x§¾¦x©_¬f¥f®x§u±^¨^©K¬K®x©fËq­ ¶w±.ªP½^¥n» m = 5 √2 §@§¾¦.­^¨.¶u®z¬f§u¨.¥f®z¥@²^©~±x©nº@­W®x§u±^¨.¥>¶u®x©y»^¨^© ¶u®%¨.¥ m Ëw¥ ¯ ©f¹ ®x© ÌÞÝ Îà­.³T¥ ®x©y½z¨^© §¾¦.¨^©%«^§u¸%§u¨^­.§ µ ¤@¥ «^¥~Ëqèn±x§¾¦W¥~³a§ ¨.¥n¯x«^¥y¹D¶w±.ªP½^¥y¹ D > 0 µ8éL³T¥~³a§ D = 50 − m > 0 ⇐⇒ m ∈ (−5 √2; 5 √2) µ • ê Ëw§y³T¥n»^¯P­¢².«^§¾¦W¬~­z¦ ¼ ½^§ ²^© ªx¶w±x©_¬~­.§ m > 0 ¼ ²^©~±.ªP½^¥~¬f¥~³a§ m ∈ (0; 5 √2) µkë·©~è~¥~¬f¥ìÌâáPÎK­.³T¥D¦W¬f¥ ¯ ©_«^§u¨.¥ √ √ ­ −m + 50 − m −m − 50 − m . x = x = 2 2 ¤@¥ Ëw¥~Ç §u±x§[º@­.³ ¼ ½^§ ®z´.» ¯x¥f®x© m > 0 ­.³T¥~³a§ í 1

2

2

2

1

1

2

1

1,2

1

1

2

2

1

2

1

2

2

1

x21

=

−m + √50 − m2 2 2

2

=

m2 − 2m

√ √ 50 − m2 + 50 − m2 25 − m 50 − m2 25 = < < 25, 4 2 2

Ý

รฎ x1 + m =

โ m +

โ โ 50 โ m2 m + 50 โ m2 +m= > 0, 2 2

รฏ5รฐ รฑย รฐ x รฑ>รฒย รฏ รณxรฒyรด.รตxรถuรฏ รฎ.รทaรฎ รฏxรฑ@รถuรฏxรฒyรธ^รน^รฒย รถuรฏ รฎ รบwรปย รผร รฝย รพTรฎ โ รฒย รถ[รฟfรฑuรน$รฏxรฒ_รฟ รป รฑ รฎ.รบ รด ^รน^รฑuรน^รฒ รฎ รตxรถ xรฒ_รฟ รฎ _รฑ รฏxรฒ รผ ย รพ รฐ xรฑยพรณxรฒ

รฟ รป รฏx รฑ ^รน^รฒ รบwรป รฟย รถ

ย รฒ m โ (0; 5 โ 2) x = โ m + 50 โ m รฑ ^รฑ %รฑuรน รฎ รฑ รฎ รน รป รผร รฝย รพ รฐ 2 โ รป รณ รป ^รณxรฑ x รฑยพรณ รฎ รน.รถuรฏzรฟfรฑuรน^รฒ ^รฑ %รฑuรน รฎ รฑ รน รป รผร รฝย รพ x = โ m โ 50 โ m รฏ รฟ รป รณ รป รฑ ^รต Lรณ ย รฒ ^รฑuรน8รฐ 2 .รธ รป รฏxรฒ 1

2

1

2

1

25 โ x22

รบwรป รฟย รถ

ย รฒ

= 25 โ m

2

โ m โ โ 50 โ m2 2 2

รฒย รฏย รณxรฒyรด.รตxรถuรฏ รฎ.รทaรฎ รฏxรฑ>รถuรฏxรฒyรธ^รน^รฒย รถuรฏ รฎ รน รป รต รป รฟ~รน^รฑuรน รฎ รฑ_รฏxรฒ รฏ รฟ รป

x2 + m < 0 โ โ

รป

โ โ 50 โ m2 โ 2m 50 โ m2 + m2 m โ 50 โ m2 2 = = โ ฅ0 4 2

โ m โ

รฎ.รทTรป~รท รฑ

x2 + m < 0 !

โ โ p 50 โ m2 m โ 50 โ m2 + m < 0 โ โ < 0 โ โ m < 50 โ m2 .

2 2

โ m โ (0; 5 2) p m < 50 โ m2 โ โ m2 < 50 โ m2 โ โ 2m2 < 50 โ โ m2 < 25 โ โ m โ (0; 5).

รฏ รป รป รฟ>รฏxรฒ รบqรฎ รถ .รต รป รธ รด^รฒ xรฒ# รฎ รฏxรฑ ^รน รฎ รฏxรฑยทรถuรฏxรฒyรธ^รน^รฒย รถuรฏ รฎ รน รป m รบwรป ย รฒ รฎ รฏxรฒ รผร รฝย รพ8รฎ.รทTรป รฏxรฒ$ zรน^รฒ@รฑยพรณ.รน^รฒ% ^รฑ %รฑuรน รฎ รฑ รถ รป m โ (0; 5) รฐ ย รฒyรน รป รฏxรฑ ^รน^รฒ รฏ .รถ[รฑuรน รฎ รฏxรฑ>รถuรฏxรฒyรธ^รน^รฒย รถuรฏ รฎ รน รป รด รป รป~รท รฑ_รฏ รป m รถ รป m โ (0; 5) โ ช {5 โ 2} รฐ "

&

รป รณxรฑuรน^รฒย รฏxรฒรครต รป รฟ~รน^รฑuรน รฎ รฑ รฎ.รทTรป รฏxรฒ$ zรน^รฒ รฑยพรณ รฎ รน7 ^รฑ รป xรฑuรน7 ย รฒ ^รฑuรน รฏxรฒ 8 รป รฟ รป รฎ รถ รป~รท รฒยขรฏxรฒ 8 รป รฟ รป ย รฒ รป รฏxรฒ รด รป รฟ รป รฏ รป @รถ รต รป รฟ~รน^รฑuรน รฎ รฑ ')( *,+-*)+-.0/1.02 34.

5 6

8

y = x+m

รฎ.รทTรป รฏxรฒ$ zรน^รฒ รฑยพรณ.รน รป รฒ 9ย รป รฏxรฒ$ รป รถ@รด^รฒ .รตPรฒ$ : @รน^รฒย รถuรฏ^รฏ รป ย รฒ; ย รฏxรฒ%รฑ<8 รป =8รฎ รป รฏ รป รน รป>= รตRรน ? รฎ ย รฏ รป y=

p 25 โ x2 ,

รป รฟ รฎ รฏxรฑ รผ Aย รพ รด ^รฑ_รถ รฎ รป รฏ@รณ 8 รป รฏ รปย รผ Bย รพ รฟย รฑยพรณ.รน รป รฏxรฒ$ รป รด รฎ รถ[รฑย รณxรฒyรด รฎ รป รณxรฒ รด^รฒ .รตPรฒ$ : @รน^รฒย รถuรฏ^รฏ รป รฐ

@

x โ [โ 5; 5].

xรฑยพรณxรฒ_รฟ รป รฏxรฑ ^รน^รฒ รด^รฒ xรฒ# รฎ รฏxรฑ ^รน รฎ รฏxรฑย รถuรฏxรฒyรธ^รน^รฒย รถuรฏ รฎ รน รป รด รป รป~รท รฑ_รฏ รป

รปรด รฎ

m โ (โ 5; 5),

m

รถรป

รด รปรฟรปรฏรป

โ m = 5 2

โ m โ (0; 5) โ ช {5 2}.

(5)

(6) โ y = x+5 2

_ N#O

√ √ CED FGD HIDKJ LIM)N#O P Q P ◦ M)N [ P\Q N ]^P$_ Y [ a Q N [ N#Q N N 4ABC R:S1TVU$W X U _ AC a:d)Q = [ 4 + _ N#3,O BC [ a = Q 2N 3 Y [ < N#Z Q ACB N N = 60 . _ a:d)Q [ Y ` X U$b Y X $U TVU c U 4ABC U$T U X Y Y ` X S b Y X S 4ABC U$T U X4e

f%g hig j-k-glj D m D FGD HIDnJ Lpo

[ Q [ N N P _ P$]EN>q N U\TVU Y ` U S X X U

4ABC

b

_ P [ ]Er N ]^P X

√ √ √ √ AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2AC · BC cos <Z ACB = (4 + 3)2 + (2 3)2 − 2 . (4 + 3) . 2 3 . cos 60◦ = √ √ √ 1 √ √ = 16 + 8 3 + 3 + 12 − 2 . (4 + 3) . 2 3 . = 31 + 8 3 − 8 3 − 6 = 2 = 25.

s

s P u N PtO N P Q [ Q [ N N P _ P$]ENvq N c U S X c U AB b U Y ` U S X X U _ a:) d =Q 5 e [ U$TVU c U 4ABC U$T U X R=

AB 5 = = 2 sin <Z ACB 2 sin 60◦

w N O NxQ N ]^P$_ y ] _ N#O [ NxQ N [ N#Q N N Y Y ` S b Y X S p=

P Y c Y { X U

Q N

4ABC

4ABC

U$T

b

_ P [ ]Er N ]^P _ N#O [ N>Q N [ N#Q N N X Y ` U$b Y X

5 5 √ =√ .

3 3 2.

2

_ a:d)Q [ a _ _ P [ ]Er N ]^P $P _ ^ ] P a _ N U X4R b S;U>b X b U c `zb Y X

√ √ √ 1 1 3 (AB + BC + AC) = (5 + 2 3 + 4 + 3) = (3 + 3) 2 2 2

√ √ √ √ √ √ 3 3 1 1 ◦ = (4 + 3) S = AC . BC sin <Z ACB = (4 + 3) . 2 3 sin 60 = (4 + 3) 3 2 2 2 2 4ABC e

s P u N

√ 3 √ (4 + 3) √ √ S 1 3 3 2 r= = = (4 + 3)(3 − 3) = − . √ 3 p 6 2 6 (3 + 3) 2

|

V > }E~ G~ I~ : :

; x % E

V ABCA1 B1 C1 V 2 $ V

^ $ n $ E ;

V ^ ; $ t 1 1 - ;

V ;

< ;

x

)

→ AB AC

CC (ABC) ϕ

V

V 1

% ¡i ¢-£- ¤¢ ~p¥ ~ G~ I~ : 0 $ ¦

; <

; AC

; x ;

I §t¨ ©«ªz¬$­-® ¯ λ CC1 ° K

±

# \

^ ^ MN = V ABC 7 0 ² #³

<´ LP K = ϕ

;

$

BCN M % V

λ

E ;

BC = 2 M N = 1

¤

SBCN M

$

\ λ

t

M

;

N

t )

AB

K1 BC B1 C1

√ √

1 1 1 3 BC = 1 P K = AK = 3=

2 2 2 2

KL KK1 1 2 ≤ = √ =√ .

PK PK 3 3 2

tg ϕ =

µ

V

l # : (ABC)

3

2 √ 1 3 3 = (BC + M N )P K = .

2 4

√

PK =

± $ E ; > > x V x x $ E ^

s

√ SBCN M 3 3 s= = . cos ϕ 4 cos ϕ

¶

II ·t¸ ¹«ºz»$¼-½ ¾ ¿ À Á  Á ¿;à ¿ λ Ä Å Æ Ç Â È ¿ Å É Ê;¿ A1 C1 Ë:Ì ¿#Í Ã Î1À I Ç Ï Ð È ¿#Ñ Ç ÆvÐ ÊVÆ ÒÔÓ ¿ À;¿ Õ^ÆVÖ4È Ævà ΠÀ;¿ Ç Ã ¿ À;¿ Ö

ÍVÎ × ¿;Ã Î

2 tg ϕ > √ .

3

Ø

Æ Í ¿ M1  N1 Ç ¿ Ä Å Î;Ê;Î Ó Á  à ÆÙà Î$È Í Â Á ¿ λ Ç É ÎVà À;Æ Ã Á Î¦Ç A1 B1  A1 C1 ÖÚ¿ U  V Ç ¿yà Æ0Û Á Â Ã Æ Ä Å Î;Æ Í Ü Â ÂÝÀ (ABC) ËÔÞ Ã M N ∈ (ABC)  (ABC)k(A1 B1 C1 ) Ç Ï ÆtÓ À;¿ ÖßÈ Æ M N k(A1 B1 C1 ). àßÎ × ¿ À;¿ M1 N1 = λ ∩ (A1 B1 C1 ) Ö M1 N1 kM N ÖEÎVÃ Í É Ó Æ Ã ÎiÇ Ï ÆtÓ À;¿ Ö È Æ Ä Å Î;Æ Í Ü Â áVà ¿ U V Á ¿ M1 N1 À (ABC) Æ Ø Ð Ç Ä Î Å ÆtÓ Á ¿ Á ¿ M N Ë â Ï ÆtÓ Î À;¿;Ã Æ Ï Á Î>Ä Å Î;Æ Í Ü Â áVà ¿ Á ¿>Ç Æ$È Æ Á Â Æ Ã Î\Æ Ã Å ¿#Ä Æ Ü É:à M N V U Ë Æ Í ¿\Õ^ÆtÓ Â ¿#Á ¿;à ¿ Ä Å Æ$ã A À 4ABC Ä Å Æ Ç Â È ¿ U V Àvà Î$È Í ¿ Q  M N À à Î$È Í ¿ P Ë ä ÎVÇ Ï ÆtÓ Î À;¿;Ã Æ Ï Á Î Á ¿ Õ^ Š¿ Õ^Æ √ 3 P Q = cotg ϕ, AQ = AP + P Q = + cotg ϕ, 2 √

2 2 3 2 U V = √ AQ = √ + cotg ϕ = 1 + √ cotg ϕ, 2 3 3 3

1 1 SM N V U = (M N + U V )P Q = 1 + √ cotg ϕ cotg ϕ.

2 3

Þ Ã Ã Æ$Î Å Æ$ÕE¿;Ã ¿>ã ¿>Ï Â Ü Æ Ã ÎxÁ ¿xÄ Å Î;Æ Í Ü Â áVÃ ¿xã ¿xÏ Â Ü Æ Ã Î s Á ¿\Ç Æ$È Æ Á Â Æ Ã Î>Â ÕE¿ Õ^Æ s=

SM N V U cos ϕ

1 π 1 + √ cotg ϕ 2 sin(ϕ + ) 3 6 . = = √ sin ϕ 3 sin2 ϕ

å