Софийски университет "Св. Климент Охридски" Факултет по математика и информатика Национална природоматематическа гимназия "Академик Любомир Чакалов" ПИСМЕН ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 2006 г. Задача 1. Да се реши неравенството
(x − 1)(x 2 + x − 2 ) ≥ 0.
(1 − 4 x ) 2
Задача 2. Да се пресметне стойността на израза
1 1 1 1 − + cos 200° − cos 50°. 2 2 2 2
Задача 3. Даден е правоъгълен триъгълник АВС с катети АС=3 и ВС=4. Точката К е такава, че АК=3 и ВК=6. Ако D е петата на височината през върха С, да се намери косинусът на ъгъла KDB. Задача 4. Да се реши уравнението
x 2 − x + 2 − x − x 2 = x − 1.
Задача 5. Да се реши неравенството log 1 x − 2 log x 2
1 > 1. 2
Задача 6. Даден е триъгълник АВС с ъгли ∠BAC = 45° и ∠ABC = 60° . Върху страните АВ и ВС са избрани съответно точки D и E, такива че ∠CAE = ∠ACD = 30° . Да се намери дължината CD, ако радиусът на описаната окръжност около ∆CDE е равен на 1. Задача
7. Да се намерят стойностите на реалния параметър a , за които
(
)
x2
(
уравнението a + 1 4 − 2 a − 2 има два различни реални корена.
)2 x
2
+ 4a + 4 = 0
Задача 8. Даден е триъгълник АВС със страни АВ=3, ВС=2 и ∠ABC = 30°. През върха В са построени височината ВН ( H ∈ AC ) и ъгло-половящата BL ( L ∈ AC ). Точките M и N са ортогоналните проекции на върховете А и С върху правата BL. Да се намери радиусът на окръжност-та, описана около триъгълника MHN. Задача 9. Дадена е правилна триъгълна призма ABCA1 B1C1 с основен ръб АВ=3. Построена е равнина γ през медицентъра М на триъгълника АВС и центровете N и Р съответно на стените ABB1 A1 и ACC1 A1 . Да се намери обемът на призмата, ако тангенсът на ъгъла, който равнината γ сключва с равнината ABB1 , е равен на 6. Задача 10. Да се намерят всички цели числа х, които удовлетворяват неравенството x −
1 < 2. log 5 ( x + 2 ). 2
Време за работа – 5 часа.