Лесотехнически университет - София Писмен кандидатстудентски изпит по МАТЕМАТИКА
ТЕМА 3 Задача 1. а) Да се реши неравенството:
3x 2 − > 0. x −4 x+3 2
б). Да се намерят стойностите на реалния параметър m ≠ −1 , за които уравнението ( m + 1) x 2 + x + 2 − m = 0 има равни реални корени. Задача 2. В успоредника ABCD е прекарана ъглополовящата на ∢BAD . Тя пресича ъглополовящата на ∢ADC в точка M и ъглополовящата на ∢ABC в точка Р. Ъглополовящата на ∢BCD пресича DM в точка Q и BP в точка N. а) Докажете, че ∢AMD = ∢APB = 90° . б) Докажете, че MN AB и PQ BC . в) Ако S MQNP : S ABCD = 9 : 20 , намерете отношението AB : BC . Задача 3. а) Да се реши системата системата: б) Да се намерят коефициентите f ( x) = x3 + ax − b , ако за x =
3x + y = 3 3x 2 + y 2 = 3
а
и
b
във функцията
1 стойноетта на функцията е равна на 2 и 2
локалният максимум на f{x) e с 3 по-голям от локалния и минимум. Задача 4. Основата ABC на триъгълна пирамида ABCD е триъгьлник със 4 5
страна АВ = 5 и cos ∢BAC = . Ръбовете АС и АD перпендикулярни, двустенният ъгъл основата ABC е равен на
π
3
на пирамидата са
между околната стена
ACD
и
и BD = 29 .
а) Намерете дължините на отсечките АН и BH , където ВН e височина в △ ABC . б) Ако точка D1 е ортогоналната проекция на вьрха D върху равнината на основата, докажете, че AD1 BH . в) Намерете дължината на отсечката AD и разстоянието от точка B до правата AD. Моля, номерираите листовете! ВРЕМЕ ЗА РАБОТА 5 ЧАСА ПОЖЕЛАВАМЕ УСПЕХ НА ВСИЧКИ КАНДИДАТ-СТУДЕНТИ!