2007.14.05 МИННО - ГЕОЛОЖКИ УНИВЕРСИТЕТ "СВ. ИВАН РИЛСКИ" София

Page 1

Минно – геоложки Университет “Св. Иван Рилски”

Критерии за оценяване на задачите ОТ ПРИЕМНИЯ ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА НА 14.05.2007 г. ЗАДАЧА 1. 1.1. Определяне на множествата от допустими стойности на реалния параметър t и неизвестното х Намиране на решението на уравнението 1.2. Изразяване на условието уравнението да има равни корени чрез параметъра m Намиране на търсените стойности на параметъра m

– 4 точки

ЗАДАЧА 2. Намиране на подходяща връзка между линейни елементи Намиране дължината на линеен елемент Намиране дължините на страните на триъгълника

– 3 точки – 1 т. – 1 т. – 1 т.

ЗАДАЧА 3. 3.1. Намиране на производната на функцията h(x) и решаване на уравнението h′( x) = 0 Намиране на локалните екстремуми на функцията h(x) Намиране най-малката и най-голямата стойност на h(x ) при x ∈ [−3; 2] 3.2. Представяне на h(n) като произведение от множители Доказване, че стойностите на h(n) са цели положителни числа 3.3. Получаване на тригонометрично уравнение Решаване на тригонометричното уравнение

– 7 точки – 1 т. – 1 т. – 1 т. – 1 т. – 1 т. – 1 т. – 1 т.

ЗАДАЧА 4. Обосноваване и построение на призмата Намиране дължината на подходящ линеен елемент Намиране дължината на друг линеен елемент Намиране височината на призмата

– 4 точки – 1 т. – 1 т. – 1 т. – 1 т.

– 1 т. – 1 т. – 1 т. – 1 т.

ЗАБЕЛЕЖКА: Горните критерии са съставени върху основа на решенията, дадени от авторите. Всички други възможни решения се тълкуват по аналогичен начин в рамките на определените за съответната задача точки. Формула за определяне на оценката 2   Q = 3 + (k − 3) . 0,2  6 

k<3 k = 3, 4, ..., 17 k = 18

(к е броят на получените точки, а Q - окончателната оценка).

Ɇɢɧɧɨ-ɝɟɨɥɨɠɤɢ ɍɧɢɜɟɪɫɢɬɟɬ “ɋɜ. ɂɜɚɧ Ɋɢɥɫɤɢ” ɄɊȺɌɄɂ Ɋȿɒȿɇɂə ɇȺ ɁȺȾȺɑɂɌȿ 14.05.2007 ɝ. ȼȺɊɂȺɇɌ 3 ɁȺȾȺɑȺ 1. 1.1. Ɋɟɲɟɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɬɨ 7 x + 5 = t , ɤɚɬo ɩɪɟɞɜɚɪɢɬɟɥɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ ɨɬ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢ ɫɬɨɣɧɨɫɬɢ ɧɚ ɪɟɚɥɧɢɹ ɩɚɪɚɦɟɬɴɪ t .

t2 − 5 , t ≥0. 7 1.2. Ɂɚ ɤɨɢ ɫɬɨɣɧɨɫɬɢ ɧɚ ɪɟɚɥɧɢɹ ɩɚɪɚɦɟɬɴɪ m ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɬɨ x 2 + ( m − 1) x + m + 2 = 0 ɢɦɚ ɪɚɜɧɢ ɤɨɪɟɧɢ? Ɋȿɒȿɇɂȿ: Ɋȿɒȿɇɂȿ: ȾɈ: t ≥ 0 ; ȾɆ: 7 x + 5 ≥ 0 ; 7 x + 5 = t 2 x =

2

2

m −1· § m − 1· § ȱ. x + (m − 1) x + m + 2 = 0 ¨ x + ¸ =0 ¸ + ( m + 2) − ¨ 2 ¹ © 2 ¹ © 2

2

x1 = x 2 = −

m −1 § m −1· ⇔¨ ¸ − ( m + 2) = 0 2 © 2 ¹

m 2 − 2m + 1 − 4 m − 8 = 0 m 2 − 6m − 7 = 0 m1 = −1, m2 = 7 .

ȱȱ. D = ( m − 1) 2 − 4( m + 2) = 0 ⇔ m 2 − 6m − 7 = 0, m1 = −1, m2 = 7 . ɁȺȾȺɑȺ 2. Ⱦɚɞɟɧ ɟ ɩɪɚɜɨɴɝɴɥɟɧ ɬɪɢɴɝɴɥɧɢɤ ɫ ɨɫɬɴɪ ɴɝɴɥ 60°. ȼ ɧɟɝɨ ɟ ɜɩɢɫɚɧ ɪɨɦɛ, ɫ ɞɴɥɠɢɧɚ ɧɚ ɫɬɪɚɧɚɬɚ 6 ɫɦ, ɩɨ ɬɚɤɴɜ ɧɚɱɢɧ, ɱɟ ɴɝɴɥɴɬ ɨɬ 60° ɟ ɨɛɳ. ȼɫɢɱɤɢ ɜɴɪɯɨɜɟ ɧɚ ɪɨɦɛɚ ɥɟɠɚɬ ɧɚ ɫɬɪɚɧɢɬɟ ɧɚ ɬɪɢɴɝɴɥɧɢɤɚ. Ⱦɚ ɫɟ ɧɚɦɟɪɹɬ ɞɴɥɠɢɧɢɬɟ ɧɚ ɫɬɪɚɧɢɬɟ ɧɚ ɬɪɢɴɝɴɥɧɢɤɚ. Ɋȿɒȿɇɂȿ: B AM = MN = NP = BA = a = 6 ɫɦ ∠CAB = 60 $ .

y P

A

N

c c 3 ; BC = ; 2 2 ɇɟɤɚ MC = x; PB = y .

AB = c ; AC =

∆ACB ~ ∆PNB

M x C 1+

x a x a = 1 + = xy = a 2 . a y a y

c −a §c c2 3 · − ac = 0, c > 0 c = 3a = 18 ɫɦ. ¨ − a ¸( c − a ) = a 2 2 2 2 2 ¹ © y =c−a

x=

Ɉɬɝ.: AB = 18 ɫɦ; AC = 9 ɫɦ; BC = 9 3 ɫɦ.

a+x a+ y = a y

x3 x 2 x + + . 6 2 3 3.1. ɇɚɌÉ&#x;ÉŞÉ&#x;ÉŹÉ&#x; ɧɚɣ-ÉŚÉšɼɤɚɏɚ ɢ ɧɚɣ-É?ɨɼɚɌɚɏɚ ɍɏɨɣɧɨɍɏ ɧÉš h(x) Ɋɪɢ x ∈[−3 ; 2 ] .

É ČşČžČşÉ‘Čş 3. ȞɚɞÉ&#x;ɧÉš É&#x; ɎɭɧɤɰɢɚɏÉš h( x) =

Ɋȿɒȿɇɂȿ: h( x) =

h ′( x) =

x3 x 2 x + + ; x ∈[−3 ; 2 ] 6 2 3

1 3x 2 + 6 x + 2 x2 . É„ɨɪÉ&#x;ɧɢɏÉ&#x; ɧÉš É­ÉŞÉšÉœɧÉ&#x;ɧɢÉ&#x;ɏɨ h ′( x) = 0 ÉŤÉš + x+ = 2 3 6 x1 = −1 −

1

, x 2 = −1 +

1

; − 3 < −1 −

1

< −1 +

1

< 2. 3 3 3 3 ÉŽɭɧɤɰɢɚɏÉš h(x) É&#x; ɍɏɪɨÉ?ɨ ÉŞÉšɍɏɚɳÉš Éœ ɢɧɏÉ&#x;ÉŞÉœÉšÉĽÉš [−3, x1 ] , ɍɏɪɨÉ?ɨ ɧÉšÉŚÉšÉĽÉšÉœÉšÉłÉš Éœ [ x1 , x2 ] ɢ ɍɏɪɨÉ?ɨ ÉŞÉšɍɏɚɳÉš Éœ [ x 2 , 2] . É‹ÉĽÉ&#x;ÉžɨÉœÉšÉŹÉ&#x;ɼɧɨ Ɋɪɢ x = x1 h(x) ɢɌÉš ɼɨɤɚɼÉ&#x;ɧ ÉŚÉšɤɍɢɌɭɌ, Éš Ɋɪɢ x = x 2 1 1 . ɼɨɤɚɼÉ&#x;ɧ ɌɢɧɢɌɭɌ, ɍɴɨɏÉœÉ&#x;ɏɧɨ h( x1 ) = ; h( x 2 ) = − 9 3 9 3 h(2) = 4 Â&#x; max{h( x) : −3 ≤ x ≤ 2} = h(2) = 4 ; h(−3) = −1 Â&#x; min{h( x) : −3 ≤ x ≤ 2} = h(−3) = −1 . 3.2. ɉɨɤÉšÉ É&#x;ÉŹÉ&#x;, ÉąÉ&#x; ɍɏɨɣɧɨɍɏɢɏÉ&#x; ɧÉš h(n) ÉŤÉš É°É&#x;ɼɢ ÉŠÉ¨ÉĽÉ¨É É˘ÉŹÉ&#x;ɼɧɢ ɹɢɍɼÉš Ɋɪɢ É°É&#x;ɼɢ ÉŠÉ¨ÉĽÉ¨É É˘ÉŹÉ&#x;ɼɧɢ ɍɏɨɣɧɨɍɏɢ ɧÉš ɚɪÉ?É­ÉŚÉ&#x;ɧɏÉš n . n 3 + 3n 2 + 2n n(n + 1)(n + 2) = , n = 1, 2, 3,... 6 6 ɉɪɨɢɥÉœÉ&#x;ÉžÉ&#x;ɧɢÉ&#x;ɏɨ ɧÉš ÉœÉŤÉ&#x;ɤɢ ɞɜÉ&#x; ɊɨɍɼÉ&#x;ÉžɨÉœÉšÉŹÉ&#x;ɼɧɢ É&#x;ÉŤÉŹÉ&#x;ÉŤÉŹÉœÉ&#x;ɧɢ ɹɢɍɼÉš ÉœɢɧÉšÉ?ɢ É&#x; ÉąÉ&#x;ɏɧɨ, Éš ɊɪɨɢɥÉœÉ&#x;ÉžÉ&#x;ɧɢÉ&#x;ɏɨ ɧÉš ÉœÉŤÉ&#x;ɤɢ ɏɪɢ ɊɨɍɼÉ&#x;ÉžɨÉœÉšÉŹÉ&#x;ɼɧɢ É&#x;ÉŤÉŹÉ&#x;ÉŤÉŹÉœÉ&#x;ɧɢ ɹɢɍɼÉš ÉœɢɧÉšÉ?ɢ ÉŤÉ&#x; ÉžÉ&#x;ɼɢ ɧÉš 3, Éœ ɹɚɍɏɧɨɍɏ ɢ ɧÉš 6. É‹ÉĽÉ&#x;ÉžɨÉœÉšÉŹÉ&#x;ɼɧɨ h(n) É&#x; É&#x;ÉŤÉŹÉ&#x;ÉŤÉŹÉœÉ&#x;ɧɨ (ɰɚɼɨ ÉŠÉ¨ÉĽÉ¨É É˘ÉŹÉ&#x;ɼɧɨ) ɹɢɍɼɨ.

Ɋȿɒȿɇɂȿ: h(n) =

§

¡

3.3. ÉŠÉ&#x;ɲÉ&#x;ÉŹÉ&#x; É­ÉŞÉšÉœɧÉ&#x;ɧɢÉ&#x;ɏɨ h¨¨ sin §¨ − y ¡¸ ¸¸ = 0 . Š2 š Š

Ď€

š

§ §Ď€ cos y (cos y + 1)(cos y + 2) ¡¡ Ɋȿɒȿɇɂȿ: h¨¨ sin ¨ − y ¸ ¸¸ = h(cos y ) = . 6 šš Š Š2 ÉŠÉ&#x;ɲÉ&#x;ɧɢÉ&#x;ɏɨ ɧÉš ɞɚɞÉ&#x;ɧɨɏɨ ɏɪɢÉ?ɨɧɨɌÉ&#x;ɏɪɢɹɧɨ É­ÉŞÉšÉœɧÉ&#x;ɧɢÉ&#x; É&#x; ɨÉ›É&#x;ÉžɢɧÉ&#x;ɧɢÉ&#x;ɏɨ ɨɏ ÉŞÉ&#x;ɲÉ&#x;ɧɢɚɏÉš ɧÉš É­ÉŞÉšÉœɧÉ&#x;ɧɢɚɏÉš: cos y = 0 ɢ cos y = −1 (ÉŹÉŞÉ&#x;ɏɢɚɏ ÉŚÉ§É¨É É˘ÉŹÉ&#x;ÉĽ Éœ ɹɢɍɼɢɏÉ&#x;ÉĽÉš É&#x; ÉœɢɧÉšÉ?ɢ ÉŠÉ¨ÉĽÉ¨É É˘ÉŹÉ&#x;ÉĽÉ&#x;ɧ!). É‹ÉĽÉ&#x;ÉžɨÉœÉšÉŹÉ&#x;ɼɧɨ ÉŹÉ´ÉŞÉŤÉ&#x;ɧɨɏɨ ÉŞÉ&#x;ɲÉ&#x;ɧɢÉ&#x; É&#x; ÉŚÉ§É¨É É&#x;ÉŤÉŹÉœɨɏɨ: Ď€ ½ ­ ÂŽ(2k + 1) : k = 0, Âą 1, Âą 2,...ž {(2l + 1)Ď€ : l = 0, Âą 1, Âą 2,...}. 2 Âż ÂŻ É ČşČžČşÉ‘Čş 4. ɈɍɧɨÉœÉšÉŹÉš ɧÉš ɊɢɪÉšɌɢɞɚ É&#x; ÉŞÉšÉœɧɨɍɏɪÉšɧÉ&#x;ɧ ɏɪɢɴÉ?ɴɼɧɢɤ. ȿɞɢɧ ɨɏ ɨɤɨɼɧɢɏÉ&#x; ÉŞÉ´É›ɨÉœÉ&#x; ɧÉš ɊɢɪÉšɌɢɞɚɏɚ É&#x; ÉŠÉ&#x;ÉŞÉŠÉ&#x;ɧÉžɢɤɭɼɚɪÉ&#x;ɧ ɧÉš ɨɍɧɨÉœÉšÉŹÉš ɢ É&#x; ÉŤ ÉžÉ´ÉĽÉ É˘É§Éš l . ȞɪɭÉ?ɢɏÉ&#x; ɞɜɚ ɨɤɨɼɧɢ ɪɴɛɚ ɧÉš ɊɢɪÉšɌɢɞɚɏɚ ɍɤɼɸɹÉœÉšÉŹ ÉŤ ɨɍɧɨÉœÉšÉŹÉš É´É?É´ÉĽ Îą . Čź ɊɢɪÉšɌɢɞɚɏɚ É&#x; ÉœɊɢɍÉšɧÉš ÉŠÉŞÉšÉœÉš ɏɪɢɴÉ?ɴɼɧÉš ɊɪɢɥɌÉš Ɋɨ ÉŤÉĽÉ&#x;Éžɧɢɚ ɧÉšɹɢɧ: ɏɪɢ ɧÉ&#x;ɣɧɢ ÉœÉ´ÉŞÉŻÉš ÉĽÉ&#x;É ÉšÉŹ ɧÉš ɨɤɨɼɧɢɏÉ&#x; ÉŞÉ´É›ɨÉœÉ&#x; ɧÉš ɊɢɪÉšɌɢɞɚɏɚ, Éš ɞɪɭÉ?ɢɏÉ&#x; ɏɪɢ – ɧÉš ɨɍɧɨÉœÉšÉŹÉš ɧÉš ɊɢɪÉšɌɢɞɚɏɚ. ȞɢÉšÉ?ɨɧɚɼɴɏ ɧÉš ɨɤɨɼɧɚɏɚ ÉŤÉŹÉ&#x;ɧÉš ɧÉš ɊɪɢɥɌɚɏɚ ɍɤɼɸɹɜɚ ÉŤ ÉŞÉšÉœɧɢɧɚɏɚ ɧÉš ɨɍɧɨÉœÉšÉŹÉš É´É?É´ÉĽ β . Ȟɚ ÉŤÉ&#x; ɧɚɌÉ&#x;ɪɢ Éœɢɍɨɹɢɧɚɏɚ ɧÉš ɊɪɢɥɌɚɏɚ.

Ɋȿɒȿɇɂȿ: M

R

Q

C

ȕ A

Į P

B

Ɉɤɨɥɧɢɹɬ ɪɴɛ ɆȺ ɟ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɟɧ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɬɚ Ⱥȼɋ (ɩɨ ɭɫɥɨɜɢɟ), ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɧɨ ɨɤɨɥɧɢɬɟ ɫɬɟɧɢ ɆȺȼ ɢ MAɋ ɫɚ ɟɞɧɚɤɜɢ ɩɪɚɜɨɴɝɴɥɧɢ ɬɪɢɴɝɴɥɧɢɰɢ. Ɉɤɨɥɧɢɬɟ ɪɴɛɨɜɟ Ɇȼ ɢ Ɇɋ ɫɤɥɸɱɜɚɬ ɫ ɪɚɜɧɢɧɚɬɚ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɬɚ ɴɝɴɥ Į, ɜ ɱɚɫɬɧɨɫɬ ∠ ȺȼM = ∠ ȺɋM= Į. ɋɟɱɟɧɢɟɬɨ ɧɚ ɜɩɢɫɚɧɚɬɚ ɩɪɢɡɦɚ ɫ ɨɤɨɥɧɚɬɚ ɫɬɟɧɚ ȺȼɆ ɟ ɩɪɚɜɨɴɝɴɥɧɢɤɴɬ ȺPQR, ɱɢɣɬɨ ɞɢɚɝɨɧɚɥ AQ ɫɤɥɸɱɜɚ ɫ ɪɚɜɧɢɧɚɬɚ Ⱥȼɋ ɴɝɴɥ β , ɜ ɱɚɫɬɧɨɫɬ ∠ ȼȺQ= β .

ɇɟɤɚ AR=h. Ɉɬ ɩɨɞɨɛɢɟɬɨ ɧɚ ɬɪɢɴɝɴɥɧɢɰɢɬɟ ABM ɢ RQM ɫɥɟɞɜɚ h l l − h RQ ; RQ = ; AB = . = l AB tgβ tgα h h tgα h tgβ cos α. sin β cos α. sin β ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɧɨ 1 − = ⋅ = = , ɬ.ɟ. h = l . l l tgβ l tgα + tgβ sin(α + β) sin(α + β)

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.