Софийски университет "Св. Климент Охридски" Факултет по математика и информатика Национална природоматематическа гимназия "Академик Любомир Чакалов"
ПИСМЕН ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 2007 г. Задача1. Да се реши уравнението
x 2 + 4 x + 8 − 2 x 2 + 8 x + 12 = − x − 2.
Задача 2. Даден е правоъгълен триъгълник ABC с катети AC=4 и BC=3. Ъглополовящата на ∢ACB пресича хипотенузата АВ в точка L, а H1 и H 2 са ортоцентровете съответно на триъгълниците ACL и BCL. Да се намери дължината на отсечката H1 H 2 . Задача 3. Да се реши уравнението sin 6 x + cos 6 x =
7 . 16
Задача 4. Даден е △ABC със страни AC = b, BC = a и ∢BAC = 3∢ABC. Да се намери страната АВ. Задача 5. Да се реши неравенството log 1 ( 32 x +1 − 10.3x + 11) ≥ −3. 2
Задача 6. Даден е равностранен триъгълник АВС със страна 39. Да се намери радиусът на окръжността, която минава през върховете А и В и пресича вписаната в триъгълника АВС окръжност в двойка диаметрално противоположни точки. Задача 7. Даден е такъв трапец ABCD ( AB CD ) , че окръжността с диаметър AD се допира до правата ВС. Ако AD = m и BC = n , да се намери лицето на трапеца. Задача 8. Да се докаже, че за всяка стойност на реалния параметър а, уравнението x3 + 3ax 2 − 9a 2 x + 6a 3 = 0 има единствено решение. Задача 9. Дадена е правилна четириъгълна пирамида MABCD с връх M . Равнината, минаваща през диагонала BD , перпендикулярна на MC , сключва ъгъл ϕ с равнината на основата ABCD. Да се намери синусът на ъгъла, който сключва ръбът MB с равнината ( MAD ) . Задача 10. Да се реши уравнението log 32 ( x − 2 ) + ( x − 5 ) log3 ( x − 2 ) = 6 − x. . Време за работа 5 часа.