НАЦИОНАЛЕН ВОЕНЕН УНИВЕРСИТЕТ "ВАСИЛ ЛЕВСКИ" КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 24 юли, 2007г. – ТРЕТА ТЕМА
Задача 1. Дадено е уравнението x 2 − ( p − 3)x + p 2 − p + 1 = 0 , където p е реален параметър. а) Да се намерят стойностите на параметъра p , при които уравнението има реални корени. б) Да се намерят стойностите на параметъра p , при които уравнението има корен x = p . Задача 2. Дадена е функцията f ( x ) = 25 x − 6.5 x + 5 . а) Да се реши уравнението f ( x ) = 0 . б) Да се намери най-малката и най-голямата стойност на функцията f ( x ) за x ∈ [0,1]. Задача 3. Даден е трапец ABCD с прави ъгли при върховете A и D , в който бедрото 4 AD и малката основа CD имат дължини съответно 12cm и 16cm , а tg (∠BCD ) = − . 3 а) Да се намери лицето на трапеца ABCD . б) Да се намери разстоянието от върха B до диагонала AC . Задача 4. Дадена е триъгълна пирамида ABCD с основа триъгълника ∆ABC , за който AB = 6cm , AC = 10cm и ∠BAC = 120o . Околният ръб AD има дължина 4cm и е перпендикулярен на основата ABC . а) Да се намери лицето на сечението на дадената пирамида с равнина, която минава по ръба AD и е перпендикулярна на ръба BC . б) Да се намери разстоянието от върха A до стената BCD . Примерни решения Задача 1. а) Уравнението f ( x ) = 0 ще има реални корени, ако дискриминантата
(
)
D = ( p − 3) − 4 p 2 − p + 1 , е по-голяма или равна на нула. Търсените стойности на параметъра p се определят от неравенството D = p 2 − 6 p + 9 − 4 p 2 + 4 p − 4 ≥ 0 , D = −3 p 2 − 2 p + 5 ≥ 0 , 2
(1)
3 p2 + 2 p − 5 ≤ 0 .
Корените на уравнението 3 p 2 + 2 p − 5 = 0
са
p1 = −
5 3
⎡ 5 ⎤ неравенството (1) има за решения p ∈ ⎢− ;1⎥ . ⎣ 3 ⎦
⎡ 5 ⎤ Отговор. Търсените стойности на параметъра са p ∈ ⎢− ;1⎥ . ⎣ 3 ⎦
и
p2 = 1 , следователно