ПИСМЕН КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 15.07.2007, ВАРИАНТ 1 Отговори и указания
Задача 1. (а) Намерете отрицателния корен 2 x − 3 x − 10 = 0 . (б) Решете уравнението 4 x − 2 x = 12 .
на
уравнението
2x + 3 ⎞ ⎟ > 1. ⎝ x +1 ⎠
⎛ (в) Решете неравенството log 2 ⎜ Отг. (а) − 2 ; (б)
x = 2 ; (в)
x > −1 .
Задача 2. Дадено е уравнението ax 2 + 2( a − 6) x + a = 0, където a ≠ 0 е реален параметър, а x1 и x 2 са корени на уравнението. (а) Намерете стойностите на a , за които изразът x12 + x 22 има най-малка стойност. (б) Намерете стойностите на a , за които x1 и x 2 са различни положителни числа. 2
6⎞ ⎛ Отг. (а) f(a)= + = 4⎜ 1 − ⎟ − 2 ≥ −2. Равенство се достига при a⎠ ⎝ a = 6 . Корените x1 и x 2 са реални, ако D = 12( 3 − a ) ≥ 0 ⇔ a ≤ 3. При a ≤ 3 , a ≠ 0 функцията f ( a ) има най-малка стойност при a = 3 , т.к. f ( −∞ ) = f ( 3 ) = 2 и f ' ( a ) > 0 , ако a < 0 ; f ' ( a ) < 0 , ако 0 < a ≤ 3 . x12
x 22
x1 > 0, x 2 > 0, x1 ≠ x 2 ⇔ D = (a − 6 ) − a 2 > 0, x1 + x 2 > 0, x1 x 2 > 0 ⇔ 0 < a < 3. 2
(б)
Задача 3. Даден е триъгълник ABC със страна AB = 4, 0 0 ∠ABC = 45 и ∠BAC = 60 . (а) Намерете радиусa на описаната около триъгълника окръжност. (б) Измежду всички вписани в триъгълника ABC правоъгълници, двата върха на които лежат на страната AB , намерeтe страните на този, който има най-голямо лице. Отг. (а)
4 sin(60 + 45 0 ) 0
= 2 R ⇔ R = 2 2 ( 3 − 1).
(б) Нека x е височината на правоъгълника, y е основата на правоъгълника.
От условието следва y = 4 −
1+ 3
x и лицето му е S = S ( x ) = 4 x −
3 е най-голямо, когато x = 3 − 3 и y = 2 .
1+ 3 3
x 2 . То
Задача 4. Дадена е правилна четириъгълна пирамида с дължина на основен ръб 2 и двустенен ъгъл между околна стена и основата 30 0 . През основен ръб на пирамидата е прекарана равнина, която сключва с равнината на основата ъгъл 15 0 . Намерете лицето на сечението на пирамидата с равнината. Отг. Сечението е трапец с голяма основа 2 и нека b е малката основа, а h е височината му. Нека l е апотемата на пирамидата. От централно сечение
успоредно на основен ръб
1 2 = cos 30 0 ⇔ l = . За височината на сечението, l 3
съгласно синусовата теорема от централното сечение имаме h 2 = ⇔ h = 2. За горната основа на сечението от свойството на 0 sin 30 sin 45 0 2 = 3 − 1, откъдето лицето на сечението ъглополовящата получаваме b = 1+ 3
е S=
2 (1 + 3 ) . 2