РУСЕНСКИ УНИВЕРСИТЕТ “АНГЕЛ КЪНЧЕВ” ПИСМЕН КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА-ТЕСТ 29.04.2007, ВАРИАНТ 1 (ОТГОВОРИ)
x 8 5 − 2 = . Отг. x = 1 x−2 x −4 3 2. Намерете стойностите на параметъра а , за които квадратното уравнение 3 x 2 − 3 a x + a 2 − 9 = 0 има реални корени. Отг. a ∈ − 2 3, 2 3 2 3. Решете неравенството x ≤ . Отг. x ∈ (− ∞, − 1] ∪ (1, 2] x −1
1. Решете уравнението
[
x + 5 − 20 − x = 1.
4. Решете уравнението 5. Пресметнете
]
Отг. x = 11
lg 45 − lg 5 . lg 81 − lg 3
Отг.
2 3
6. Решете уравнението 2 x +2 − 2 x+3 − 2 x+ 4 = 5 x +1 − 5 x +2 .
Отг. x = 0
7. Решете уравнението log5 ( x − 1) + log5 ( 4 x + 1) = 3 .
Отг. x = 6
8. Решете уравнението 2 sin 2 x + 3 cos x = 0 .
9. Решете системата
x2 + y2 + x = 1
.
Отг. x = ±
Отг. x1 =
x + y − y =1 x−5 . 10. Пресметнете границата lim x→ 5 x −1 − 2 11. Намерете най-малката стойност на функцията y = x 4 − 4 x 2 + 1 . 2
2
12. В триъгълник ABC са дадени AB = 4 , AC = 3 и cos γ = −
2π + 2kπ 3
1 1 , y1 = − ; x2 = −1, y 2 = 1 2 2 Отг. 4 Отг. − 3
1 , където 4
γ е ъгъл ACB .
Намерете дължината на страната BC . Отг. 2 13. Даден е триъгълник ABC със страни AB = 6 , BC = 5 и AC = 4 . Намерете радиусите на 7 8 7 , R= 2 7 14. Даден е равнобедрен триъгълник с ъгъл α при основата и полупериметър p . Намерете 2 p cos α дължината на основата на триъгълника. Отг. 1 + cos α 15. Даден е равнобедрен трапец с голяма основа a = 8 , който е описан около окръжност с радиус Отг. 20 r = 2 . Намерете лицето на трапеца.
вписаната и описаната около триъгълника окръжности.
Отг. r =
16. Дадена е правилна четириъгълна пирамида с основен ръб а и ъгъл α между околен ръб и a3 2 основата. Намерете обема на пирамидата. Отг. V = tg α 6