2008.02.09 Държавен зрелостен изпит по МАТЕМАТИКА

2

2008 . –

2

,

:

28 • 20

, ;

• 8

.

20

(

1.

20.

)

,

,

.

,

.

.

, :

,

, .

,

:

.

, . (

,

21.

28.

26.

.

!

.)

28.

.

Отговорите на задачите от 1. до 20. вкл .отбелязвайте в листа за отговори!

1. Най-голямото от числата е: Б) 5 3

A) 5 2

2. Равенството

A)

60

Г)

(−2)2 x 2b = −2 x b е вярно при:

A) x ≥ 0, b ≥ 0

3. Изразът

В) 4 5

Б) x ≤ 0, b ≥ 0

В) x ≤ 0, b ≤ 0

Г) x ≥ 0, b ≤ 0

2x + 2 1 − , при x ≠ 1 , x ≠ −3 , е тъждествено равен на: x + 2x − 3 x + 3 2

1 x+3

Б)

2 x −1

1 x +1

В)

Г)

1 x −1

4. Най-малкото от числата е: A) log3

1 27

Б) log 5 5

5. Решенията на уравнението A) 1 и −3

(9 − x )

Б) 1 и 3

Г) 2log 2 5

В) log 2 1

2

x − 1 = 0 са:

Г) −3 и 3

В) −3, − 1 и 3

6. Параболата от чертежа е графиката на функцията: А) Б)

y

y = − x2 − 4 x + 3 1

y = x2 + 4 x + 3

o

1

2

3

x

В) y = x 2 − 4 x + 3 Г)

y = − x2 + 4 x − 3

7. Решенията на неравенството 2 x 2 − x − 1 < 0 са: A) ( −∞ ; 1)

Вариант 2

1 Б) ( − ; +∞ ) 2

В) ( −

1 ; 1) 2

1  Г)  −∞ ; −  ∪ (1; +∞ ) 2 

1

8. Ако AC BD , OA = 6 cm , OB = 5 cm и OC = 3 cm , то дължината на отсечката OD е: A) 8 cm В) 10 cm

D

C

3 Б) 3 cm 5

O A

B

Г) 2,5 cm

9 . Частното на геометрична прогресия a1 , a2 , a3 ,..., за която a2 = −6 и a5 = 162 е: A) −

1 3

Б) 3

В) −9

Г) −3

10. Изчислете sin 2α , ако sin α = 0, 6 и 90 < α < 180 .

A)

6 5

Б) −

5 6

В) −

24 25

Г)

24 25

11. Медианата на статистическия ред 5, 2, 9, 8, 12, 1, 4, 7, 4, 6 е: Б) 5,5

A) 5

В) 6

Г) 6,5

12. Стойността на израза log 5 5 + log 3 27 + lg 0, 001 е: Б) 2

A) 3

В) 1

Г) 6

13. В равнобедрен триъгълник ABC ( AC = BC )

C

основата AB = 30 cm , а височината CD = 20 cm . i

Дължината на височината AE ( E ∈ BC ) е равна на: A) 16

2 cm 3

В) 16 cm

Б) 18 cm

i D

A

E

B

Г) 24 cm

14. В кой от интервалите функцията f ( x) = − x 2 + 4 x + 2 е растяща? А) ( 3 ; 5 )

Вариант 2

Б) ( −3 ; 2 )

В) ( 5 ; 7 )

Г) [ 7 ; + ∞ )

2

15. Окръжност с център O и радиус r е вписана в C

равностранен триъгълник ABC . Да се намери дължината на страната на триъгълника, ако r = 3 3 cm .

A) 18 cm

Б) 8 3 cm

В) 9cm

Г) 6 3 cm

Oi A

B

16. В окръжност хордите AB и CD се пресичат в точка M така, че AM = 4 cm , MC = 3 cm и лицето на △ AMD е 2 cm 2 .

B

D M

Лицето на △MCB е равно на:

8 A) cm 2 9

2 Б) cm 2 3

3 В) cm 2 2

9 Г) cm 2 8

17. Даден е равнобедрен триъгълник ABC с бедра

AC = BC = 6 cm

и

Дължината на ъглополовящата

∡ACB = 120 .

120

AL ( L ∈ BC ) е

L B

A

A) 3 6 cm

Б) 2 3 cm

В)

Г) 2 6 cm

6 cm

A

C

равна на:

C

18. Кодът на охранителна система се състои от 4 различни нечетни цифри. Какъв е максималният брой опити, които трябва да се направят, за да се открие кодът на системата?

A) 220

Б) 180

В) 120

Г) 240

19. Две от страните на триъгълник са с дължини 4 3 cm и 4 cm , а ъгълът между тях е

30 . Видът на триъгълника е: A) равнобедрен тъпоъгълен

Б) равнобедрен остроъгълен

В) не може да се определи

Г) правоъгълен

Вариант 2

3

20. В окръжност с център O и радиус R = 3 3 cm е вписан остроъгълен

равнобедрен

триъгълник

ABC

с

C

бедра

AC = BC = 6 2 cm . Височината CD на триъгълника е равна

Oi

на: A) 4 2 cm

Б) 4 3 cm

В) 6 3 cm

Г) 5 2 cm

i

A

D

B

Отговорите на задачите от 21. До 25. вкл. запишете в свитъка за свободните отговори!

21. Да се реши уравнението ( x 2 − 2 x ) − 2 ( x 2 − 2 x ) − 3 = 0 2

22. Да се представи израза sin α + 2sin 2α + sin 3α във вид на произведение 23. В шампионската лига по футбол участват 32 отбора, разпределени в 8 групи по 4 отбора. Отборите във всяка група играят по два мача помежду си. Намерете броя на мачовете който се изиграват.

24. Равнобедрен трапец с бедро 5 cm и диагонал 7 cm е описан около окръжност. Да се намерят основите на трапеца.

25. Даден е триъгълник ABC , в който, AC = 4 cm BC = 8 cm и ∡ACB = 120 . Да се намери дължината на ъглополовящата CL ( L ∈ AB ) .

Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. вкл. запишете в свитъка за свободните отговори!

26. Сборът на три числа, образуващи аритметична прогресия, е 12. Ако към третото число се прибави 2, ще се получи геометрична прогресия. Да се намерят тези три числа.

Вариант 2

4

27. Точката M е средата на страната CD на успоредника ABCD . Намерете лицето на успоредника, ако ∡BAD = 60 0 , MA = 6 cm и MB = 4 cm .

28. Правилен петоъгълник ABCDE е вписан в окръжност с център O . Построен е един триъгълник с върхове измежду шестте точки A, B, C , D, E и O . Да се намери вероятността построения триъгълник да е тъпоъгълен.

Вариант 2

5

ax 2 + bx + c = 0

−b ± b 2 − 4ac ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) 2a b c x1 + x2 = − x1 x2 = a a

x1,2 =

(−

y = ax 2 + bx + c , a ≠ 0

b D ;− ) 2a 4a

.

2k

2 k +1

a 2k = a

m n m a =an log a b = x ⇔ a x = b

nk

a 2 k +1 = a ;

a mk = n a m

log a a = x x

k∈

a = nk a ; a loga b = b ;

k-

: k-

n

b > 0, a > 0, a ≠ 1

Vnk = n. ( n − 1) ... ( n − k + 1)

: Cnk =

Vn k n. ( n − 1) ... ( n − k + 1) = Pk 1.2.3...(k − 1)k

P ( A) =

:

an = a1 + ( n − 1) d

:

an = a1.q n −1

p ⎞ ⎛ : K n = K .q = K . ⎜ 1 + ⎟ ⎝ 100 ⎠ n

n, m, k ∈

Pn = 1.2.3... ( n − 1) n = n !

:

n n

a > 0, n ≥ 2, k ≥ 2

n k

0 ≤ P( A) ≤ 1

2a + ( n − 1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 a q − a1 qn −1 Sn = n = a1 ⋅ q −1 q −1

Sn =

n

1 1 ab = chc a 2 = a1c b 2 = b1c 2 2 + − c a b a b a b 2 hc = a1.b1 r= sin α = cos α = tgα = cotgα = 2 c c b a 2 2 2 2 2 2 b = a + c − 2ac cos β : a = b + c − 2bc cos α a b c c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ = = = 2R sin α sin β sin γ 1 1 2 : ma = ( 2b 2 + 2c 2 − a 2 ) mb 2 = ( 2a 2 + 2c 2 − b 2 ) 4 4 1 mc 2 = ( 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) 4 a n : = lc2 = ab − nm b m : c 2 = a 2 + b2

:

:

1 S = chc 2

S=

1 ab sin γ 2 abc S = pr S= 4R S = ab sin α S = aha 1 : S = d1d 2 sin ϕ 2 : S = pr

α0

00

α rad

0

sin α

0

cos α

1

tg α

0

cotg α

–

p ( p − a )( p − b )( p − c )

S=

S=

300

450

600

900

π

π

π

π

6 1 2

4 2 2 2 2

3 3 2 1 2

2

1

3

–

1

3 3

0

3 2 3 3 3

1 0

−α − sin α cos α − tgα −cotgα

sin cos tg cotg

900 − α cos α sin α cotgα tgα

sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β

tgα ± tg β 1 ∓ tgα tgβ sin 2α = 2sin α cos α cotg 2α − 1 2tgα α tg2α = = cotg2 2cotgα 1 − tg 2α tg (α ± β ) =

sin α + sin β = 2sin

α +β

cos

α −β

2 2 α +β α −β cos α + cosβ = 2cos cos 2 2 1 sin α sin β = ( cos (α − β ) − cos (α + β ) ) 2 sin α cosβ =

1 ( sin (α + β ) + sin (α − β ) ) 2

900 + α cos α − sin α −cotgα − tgα

1800 − α sin α − cos α − tgα −cotgα

cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β

cotgα cotgβ ∓ 1 cotgβ ± cotgα 2 2 cos 2α = cos α − sin α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α 1 1 sin 2 α = (1 − cos 2α ) cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2 2 cotg (α ± β ) =

sin α − sin β = 2sin

α −β 2

cos

α +β

2 α +β α −β cosα − cosβ = −2sin sin 2 2 1 cosα cosβ = ( cos (α − β ) + cos (α + β ) ) 2

012134563478 2 8 6

87 21548 1 2

4

6 752 65 83452 1 14 8

0 450 41 !"

7) ( # ," " =" ?" @" ."

8" " A" , " ,," , " ,=" ,?" ,@" ,." ,8" , " ,A" " ," " =" ?" @"

7 61 24 # $%& ' ( !( (

7 ' ( !( ( (* 7) ( 7 ' ( !( ( (&+ # /0102340105 - 7 ."

-

8" 95:;</ 9 - > " / -

-

- >

- 7

- 7

- >

- 7

-

- 7

- >

-

- >

-

- 7

-

-

B9090: C

C 1DEF/IGHD/I/

C

J2 1;<02;< C

4;< C

:

(* (&+ 67 67 67

0121345 37 8797 4

4

797 7 1 7 4 7 7 "! " "# 78 7 7 4 1 4 37 1 45 4 "!%" %"#&!

7 7"!%"!%$%"!% $&! ' #"!%#$&! ' "!%$&( )* 7 3 41 4 7 7 "! " "% !% $% 78 7 1 1 4 37 # 4 4 "! "!%$" 1 45 + , 37 1 1 4 37 7 1 45 7 7 1 -"!%$. &"!-"!% $% .' "! % "$! %$ &"! % "$! % "!' $ & "! + 4 1 7 7

7 31345 "!%$&( 4 $ & "!

7 7 1 $ %$&(' $ % $/ &0 $& !

4 "& 1 42 1 9 1 , 4 4 7 , 4$&/ 7 7 87 "! 37 4 7 1 "&

( !

!

4 $&/( ( 0 78 7 7 4 1 4 37 1 453 "!& 4 $&

( 4 "& !

797 7 +837 7 7 156&" 9 7 57&8 479 &9:&"

0; : !

0; ?56:7 &"8<=> 0;&"8 # 5 6 + 43 7 7 1 1 7 87

AB< 0; ( &8 %CEG" DFH/ 8" !

@6:9 7 7 1 69 &6: %9: / 6:9:

! &8 %"(/"8 I37 4 3 43 7 7 1 1 7 87 @597 7 7 1

59 &8 %EGC" DFH/ 8" AB<!

0; # &8 %"(%"8 0127 7 1 4 1 7 7 7 31345

# &8 %"(%" 8 J8 7K97 1 133 * 7 31341 4 7 7 1

"8 "

! &8 %(/

0&"8 7 4L1 37 1934 7 7 7 1 ?56:7 &"8 #& 0 #&!0#MN

797 7 O1 5 3 7 1345 4* * 34 97 1 * * * 13 1 WXYZTY[Y\V]X^XS]Y[Y\V]_] `5 PQ&RSTUV RSTUVWab]cd]XS]Y[Y\V]_]

01234 67 89

41 6

2 17 876 24

178 6 67 42

4 %$ " !%"#

& 4 '1 8 1(28 4 67 '178 6 3 ' 42 6

97

1786 + %+ %+ %+ %+ %$#*, 7 6417 6 4

9 )2 97 1786

+ %+ %+ %+ %+ %$!!, - 7 267 4 941767 67 .87 4 '2 6 41 6

/ 0 0 - 7 267 4 9 )2 97 94176 9 248 462 67 '2 .87 4 '2 6

41 6

1 .2874 62 1234 67 4 '2 6 4 41 6

178 6 67 "%$# 34 $"##%$" 22 7875 %