2
2008 . –
2
,
:
28 • 20
, ;
• 8
. 20
(
1.
20.
)
,
,
.
,
.
.
, :
,
, .
,
:
.
, . (
,
21.
28. 26.
.
!
.) 28.
.
Отговорите на задачите от 1. до 20. вкл .отбелязвайте в листа за отговори!
1. Най-голямото от числата е: Б) 5 3
A) 5 2
2. Равенството
A)
60
Г)
(−2)2 x 2b = −2 x b е вярно при:
A) x ≥ 0, b ≥ 0
3. Изразът
В) 4 5
Б) x ≤ 0, b ≥ 0
В) x ≤ 0, b ≤ 0
Г) x ≥ 0, b ≤ 0
2x + 2 1 − , при x ≠ 1 , x ≠ −3 , е тъждествено равен на: x + 2x − 3 x + 3 2
1 x+3
Б)
2 x −1
1 x +1
В)
Г)
1 x −1
4. Най-малкото от числата е: A) log3
1 27
Б) log 5 5
5. Решенията на уравнението A) 1 и −3
(9 − x )
Б) 1 и 3
Г) 2log 2 5
В) log 2 1
2
x − 1 = 0 са:
Г) −3 и 3
В) −3, − 1 и 3
6. Параболата от чертежа е графиката на функцията: А) Б)
y
y = − x2 − 4 x + 3 1
y = x2 + 4 x + 3
o
1
2
3
x
В) y = x 2 − 4 x + 3 Г)
y = − x2 + 4 x − 3
7. Решенията на неравенството 2 x 2 − x − 1 < 0 са: A) ( −∞ ; 1)
Вариант 2
1 Б) ( − ; +∞ ) 2
В) ( −
1 ; 1) 2
1 Г) −∞ ; − ∪ (1; +∞ ) 2
1
8. Ако AC BD , OA = 6 cm , OB = 5 cm и OC = 3 cm , то дължината на отсечката OD е: A) 8 cm В) 10 cm
D
C
3 Б) 3 cm 5
O A
B
Г) 2,5 cm
9 . Частното на геометрична прогресия a1 , a2 , a3 ,..., за която a2 = −6 и a5 = 162 е: A) −
1 3
Б) 3
В) −9
Г) −3
10. Изчислете sin 2α , ако sin α = 0, 6 и 90 < α < 180 . A)
6 5
Б) −
5 6
В) −
24 25
Г)
24 25
11. Медианата на статистическия ред 5, 2, 9, 8, 12, 1, 4, 7, 4, 6 е: Б) 5,5
A) 5
В) 6
Г) 6,5
12. Стойността на израза log 5 5 + log 3 27 + lg 0, 001 е: Б) 2
A) 3
В) 1
Г) 6
13. В равнобедрен триъгълник ABC ( AC = BC )
C
основата AB = 30 cm , а височината CD = 20 cm . i
Дължината на височината AE ( E ∈ BC ) е равна на: A) 16
2 cm 3
В) 16 cm
Б) 18 cm
i D
A
E
B
Г) 24 cm
14. В кой от интервалите функцията f ( x) = − x 2 + 4 x + 2 е растяща? А) ( 3 ; 5 )
Вариант 2
Б) ( −3 ; 2 )
В) ( 5 ; 7 )
Г) [ 7 ; + ∞ )
2
15. Окръжност с център O и радиус r е вписана в C
равностранен триъгълник ABC . Да се намери дължината на страната на триъгълника, ако r = 3 3 cm . A) 18 cm
Б) 8 3 cm
В) 9cm
Г) 6 3 cm
Oi A
B
16. В окръжност хордите AB и CD се пресичат в точка M така, че AM = 4 cm , MC = 3 cm и лицето на △ AMD е 2 cm 2 .
B
D M
Лицето на △MCB е равно на:
8 A) cm 2 9
2 Б) cm 2 3
3 В) cm 2 2
9 Г) cm 2 8
17. Даден е равнобедрен триъгълник ABC с бедра
AC = BC = 6 cm
и
Дължината на ъглополовящата
∡ACB = 120 .
120
AL ( L ∈ BC ) е
L B
A
A) 3 6 cm
Б) 2 3 cm
В)
Г) 2 6 cm
6 cm
A
C
равна на:
C
18. Кодът на охранителна система се състои от 4 различни нечетни цифри. Какъв е максималният брой опити, които трябва да се направят, за да се открие кодът на системата? A) 220
Б) 180
В) 120
Г) 240
19. Две от страните на триъгълник са с дължини 4 3 cm и 4 cm , а ъгълът между тях е
30 . Видът на триъгълника е: A) равнобедрен тъпоъгълен
Б) равнобедрен остроъгълен
В) не може да се определи
Г) правоъгълен
Вариант 2
3
20. В окръжност с център O и радиус R = 3 3 cm е вписан остроъгълен
равнобедрен
триъгълник
ABC
с
C
бедра
AC = BC = 6 2 cm . Височината CD на триъгълника е равна
Oi
на: A) 4 2 cm
Б) 4 3 cm
В) 6 3 cm
Г) 5 2 cm
i
A
D
B
Отговорите на задачите от 21. До 25. вкл. запишете в свитъка за свободните отговори! 21. Да се реши уравнението ( x 2 − 2 x ) − 2 ( x 2 − 2 x ) − 3 = 0 2
22. Да се представи израза sin α + 2sin 2α + sin 3α във вид на произведение 23. В шампионската лига по футбол участват 32 отбора, разпределени в 8 групи по 4 отбора. Отборите във всяка група играят по два мача помежду си. Намерете броя на мачовете който се изиграват.
24. Равнобедрен трапец с бедро 5 cm и диагонал 7 cm е описан около окръжност. Да се намерят основите на трапеца. 25. Даден е триъгълник ABC , в който, AC = 4 cm BC = 8 cm и ∡ACB = 120 . Да се намери дължината на ъглополовящата CL ( L ∈ AB ) .
Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. вкл. запишете в свитъка за свободните отговори!
26. Сборът на три числа, образуващи аритметична прогресия, е 12. Ако към третото число се прибави 2, ще се получи геометрична прогресия. Да се намерят тези три числа.
Вариант 2
4
27. Точката M е средата на страната CD на успоредника ABCD . Намерете лицето на успоредника, ако ∡BAD = 60 0 , MA = 6 cm и MB = 4 cm .
28. Правилен петоъгълник ABCDE е вписан в окръжност с център O . Построен е един триъгълник с върхове измежду шестте точки A, B, C , D, E и O . Да се намери вероятността построения триъгълник да е тъпоъгълен.
Вариант 2
5
ax 2 + bx + c = 0
−b ± b 2 − 4ac ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) 2a b c x1 + x2 = − x1 x2 = a a
x1,2 =
(−
y = ax 2 + bx + c , a ≠ 0
b D ;− ) 2a 4a
. 2k
2 k +1
a 2k = a
m n m a =an log a b = x ⇔ a x = b
nk
a 2 k +1 = a ;
a mk = n a m
log a a = x x
k∈
a = nk a ; a loga b = b ;
k-
: k-
n
b > 0, a > 0, a ≠ 1
Vnk = n. ( n − 1) ... ( n − k + 1)
: Cnk =
Vn k n. ( n − 1) ... ( n − k + 1) = Pk 1.2.3...(k − 1)k
P ( A) =
:
an = a1 + ( n − 1) d
:
an = a1.q n −1
p ⎞ ⎛ : K n = K .q = K . ⎜ 1 + ⎟ ⎝ 100 ⎠ n
n, m, k ∈
Pn = 1.2.3... ( n − 1) n = n !
:
n n
a > 0, n ≥ 2, k ≥ 2
n k
0 ≤ P( A) ≤ 1
2a + ( n − 1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 a q − a1 qn −1 Sn = n = a1 ⋅ q −1 q −1
Sn =
n
1 1 ab = chc a 2 = a1c b 2 = b1c 2 2 + − c a b a b a b 2 hc = a1.b1 r= sin α = cos α = tgα = cotgα = 2 c c b a 2 2 2 2 2 2 b = a + c − 2ac cos β : a = b + c − 2bc cos α a b c c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ = = = 2R sin α sin β sin γ 1 1 2 : ma = ( 2b 2 + 2c 2 − a 2 ) mb 2 = ( 2a 2 + 2c 2 − b 2 ) 4 4 1 mc 2 = ( 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) 4 a n : = lc2 = ab − nm b m : c 2 = a 2 + b2
:
:
1 S = chc 2
S=
1 ab sin γ 2 abc S = pr S= 4R S = ab sin α S = aha 1 : S = d1d 2 sin ϕ 2 : S = pr
α0
00
α rad
0
sin α
0
cos α
1
tg α
0
cotg α
–
p ( p − a )( p − b )( p − c )
S=
S=
300
450
600
900
π
π
π
π
6 1 2
4 2 2 2 2
3 3 2 1 2
2
1
3
–
1
3 3
0
3 2 3 3 3
1 0
−α − sin α cos α − tgα −cotgα
sin cos tg cotg
900 − α cos α sin α cotgα tgα
sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β
tgα ± tg β 1 ∓ tgα tgβ sin 2α = 2sin α cos α cotg 2α − 1 2tgα α tg2α = = cotg2 2cotgα 1 − tg 2α tg (α ± β ) =
sin α + sin β = 2sin
α +β
cos
α −β
2 2 α +β α −β cos α + cosβ = 2cos cos 2 2 1 sin α sin β = ( cos (α − β ) − cos (α + β ) ) 2 sin α cosβ =
1 ( sin (α + β ) + sin (α − β ) ) 2
900 + α cos α − sin α −cotgα − tgα
1800 − α sin α − cos α − tgα −cotgα
cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β
cotgα cotgβ ∓ 1 cotgβ ± cotgα 2 2 cos 2α = cos α − sin α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α 1 1 sin 2 α = (1 − cos 2α ) cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2 2 cotg (α ± β ) =
sin α − sin β = 2sin
α −β 2
cos
α +β
2 α +β α −β cosα − cosβ = −2sin sin 2 2 1 cosα cosβ = ( cos (α − β ) + cos (α + β ) ) 2
012134563478 2 8 6
87 21548 1 2 4 6 752 65 83452 1 14 8
0 450 41 !"
7) ( # ," " =" ?" @" ." 8" " A" , " ,," , " ,=" ,?" ,@" ,." ,8" , " ,A" " ," " =" ?" @"
7 61 24 # $%& ' ( !( ( 7 ' ( !( ( (* 7) ( 7 ' ( !( ( (&+ # /0102340105 - 7 ." - 8" 95:;</ 9 - > " / -
- - > - 7 - 7 - > - 7 - - 7 - > -
- > -
- 7 -
- B9090: C C 1DEF/IGHD/I/ C J2 1;<02;< C 4;< C :
(* (&+ 67 67 67
0121345 37 8797 4 4 797 7 1 7 4 7 7 "! " "# 78 7 7 4 1 4 37 1 45 4 "!%" %"#&! 7 7"!%"!%$%"!% $&! ' #"!%#$&! ' "!%$&( )* 7 3 41 4 7 7 "! " "% !% $% 78 7 1 1 4 37 # 4 4 "! "!%$" 1 45 + , 37 1 1 4 37 7 1 45 7 7 1 -"!%$. &"!-"!% $% .' "! % "$! %$ &"! % "$! % "!' $ & "! + 4 1 7 7
7 31345 "!%$&( 4 $ & "! 7 7 1 $ %$&(' $ % $/ &0 $& ! 4 "& 1 42 1 9 1 , 4 4 7 , 4$&/ 7 7 87 "! 37 4 7 1 "&
( ! ! 4 $&/( ( 0 78 7 7 4 1 4 37 1 453 "!& 4 $& ( 4 "& ! 797 7 +837 7 7 156&" 9 7 57&8 479 &9:&"
0; : ! 0; ?56:7 &"8<=> 0;&"8 # 5 6 + 43 7 7 1 1 7 87
AB< 0; ( &8 %CEG" DFH/ 8" ! @6:9 7 7 1 69 &6: %9: / 6:9:
! &8 %"(/"8 I37 4 3 43 7 7 1 1 7 87 @597 7 7 1
59 &8 %EGC" DFH/ 8" AB<! 0; # &8 %"(%"8 0127 7 1 4 1 7 7 7 31345
# &8 %"(%" 8 J8 7K97 1 133 * 7 31341 4 7 7 1
"8 "
! &8 %(/
0&"8 7 4L1 37 1934 7 7 7 1 ?56:7 &"8 #& 0 #&!0#MN
797 7 O1 5 3 7 1345 4* * 34 97 1 * * * 13 1 WXYZTY[Y\V]X^XS]Y[Y\V]_] `5 PQ&RSTUV RSTUVWab]cd]XS]Y[Y\V]_]
01234 67 89
41 6 2 17 876 24 178 6 67 42
4 %$ " !%"# & 4 '1 8 1(28 4 67 '178 6 3 ' 42 6
97 1786 + %+ %+ %+ %+ %$#*, 7 6417 6 4 9 )2 97 1786
+ %+ %+ %+ %+ %$!!, - 7 267 4 941767 67 .87 4 '2 6 41 6 / 0 0 - 7 267 4 9 )2 97 94176 9 248 462 67 '2 .87 4 '2 6 41 6 1 .2874 62 1234 67 4 '2 6 4 41 6 178 6 67 "%$# 34 $"##%$" 22 7875 %