МИННО-ГЕОЛОЖКИ УНИВЕРСИТЕТ „СВЕТИ ИВАН РИЛСКИ” – СОФИЯ
КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 29. 07. 2008 год.
ВАРИАНТ 2 Задача 1. 1.1. Решете уравнението: 5 2 x − 6. 5 x + 5 = 0 . 1.2. При какви стойности на реалния параметър m показателното уравнение 5 2 x − 6 .5 x + m = 0 има два различни реални корена?
Задача 2. Намерете границата t −3 lim log 6 . t→3 t + 6 − 3 Задача 3. Дадена е функцията
f ( x) = x 3 + ax 2 − 2ax − 4 , x ∈ (−∞, ∞) , където а е реален параметър. 3.1. Да се намерят локалните екстремуми на функцията f ( x) при a = 2 . 3.2. Да се намерят интервалите на растене и намаляване на функцията f ( x) при a = 2 . 3.3. За кои стойности на параметъра а функцията f ( x) е строго растяща в цялото си дефиниционно множество?
Задача 4. Трапец с височина 1 см е вписан в окръжност. Ъгълът при голямата основа е
α , а ъгълът между диагоналите срещу бедрото е ϕ . Да се намери дължината на радиуса
на окръжността.
Пожелаваме успех на всички кандидат - студенти!
МИННО-ГЕОЛОЖКИ УНИВЕРСИТЕТ „СВЕТИ ИВАН РИЛСКИ” – СОФИЯ
КРАТКИ РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ 29.07.2008 год.
ВАРИАНТ 2 Задача 1. 1.1. Решете уравнението: 5 2 x − 6. 5 x + 5 = 0 .
РЕШЕНИЕ: Нека 5 x = u > 0 ⇒ u 2 − 6u + 5 = 0, u > 0 ⇒ u1 = 1, u 2 = 5 . Следователно решенията на показателното уравнение са: x1 = 0, x 2 = 1 . 1.2. При какви стойности на реалния параметър m показателното уравнение 5 2 x − 6 .5 x + m = 0 има два различни реални корена? РЕШЕНИЕ: Нека 5 x = u . Тогава даденото показателно уравнение има два различни реални корена, когато квадратното уравнение u 2 − 6u + m = 0 има два различни D>0 9−m >0 положителни корена u1 и u 2 : u1 + u 2 > 0 ⇒ 6 > 0 Следователно m ∈ (0, 9 ) .
u1u 2 > 0
.
m>0
Задача 2. Намерете границата t −3 lim log 6 . t→3 t + 6 − 3 t −3 (t − 3) t + 6 + 3 = РЕШЕНИЕ: lim log 6 = lim log 6 t + 6 + 3 . . lim log 6 2 t→ 3 2 t + 6 − 3 t → 3 t + 6 − 3 t → 3 Тъй като логаритмичната функция е непрекъсната, търсената граница е равна на log 6 lim t + 6 + 3 = log 6 6 = 1 . t → 3
(
(
(
)
)
[ (
)]
)
Задача 3. Дадена е функцията f ( x) = x 3 + ax 2 − 2ax − 4 , x ∈ (−∞, ∞) , където а е реален параметър. 3.1. Да се намерят локалните екстремуми на функцията f ( x) при a = 2 . 3.2. Да се намерят интервалите на растене и намаляване на функцията f ( x) при a = 2 . 3.3. За кои стойности на параметъра а функцията f ( x) е строго растяща в цялото си дефиниционно множество?
РЕШЕНИЕ: 3.1. При a = 2 получаваме f ( x) = x 3 + 2 x 2 − 4 x − 4 , x ∈ (−∞, ∞) . Производната на тази 2 функция е f ′( x) = 3 x 2 + 4 x − 4 и се анулира при x1 = −2 и x 2 = . 3 2 f ′′( x) = 6 x + 4 ⇒ f ′′(−2) = −8 < 0, f ′′ = 4 + 4 > 0 . Следователно, при x1 = −2 функцията 3 2 148 2 . има локален максимум: f (−2) = 4 , а при x 2 = – локален минимум: f = − 3 27 3 3.2. Както в 3.1., намираме f ′( x) = 3 x 2 + 4 x − 4 и определяме нейния знак в съответните интервали: при x ∈ (− ∞, − 2 ) : f ′(x) > 0 ⇒ f (x) е строго растяща в (− ∞, − 2 ) ; 2 2 при x ∈ − 2, : f ′(x ) < 0 ⇒ f (x) е строго намаляваща в − 2, ; 3 3 2 2 при x ∈ , ∞ : f ′(x) > 0 ⇒ f (x) е строго растяща в , ∞ . 3 3 (В частност, още веднъж: 2 при x1 = −2 функцията има локален максимум, а при x 2 = – локален минимум.) 3 3.3. f (x) е строго растяща в цялото си дефиниционно множество, когато нейната производна е положителна навсякъде. f ′( x) = 3 x 2 + 2ax − 2a . Определяме стойностите на параметъра a , за които 3 x 2 + 2ax − 2a > 0, ∀x . Последното квадратно неравенство е изпълнено за всяко x , когато дискриминантата D на квадратния тричлен е отрицателна. D Следователно a 2 − 3.(−2a ) = < 0 , т.е. a (a + 6) < 0 ⇒ a ∈ (− 6, 0 ) . 4 При a = −6 получаваме функцията f ( x ) = ( x − 2) 3 + 4 , която е растяща, при това – строго, в цялото си дефиниционно множество. Аналогично, при a = 0 , съответната функция f ( x ) = x 3 − 4 е също строго растяща в цялото си дефиниционно множество. Отг.: a ∈ [− 6, 0] .
Задача 4. Трапец с височина 1 см е вписан в окръжност. Ъгълът при голямата основа е
α , а ъгълът между диагоналите срещу бедрото е ϕ . Да се намери дължината на радиуса
на окръжността. РЕШЕНИЕ: Бедрата AD и BC на дадения (равнобедрен!) трапец ABCD са равни на хипотенузата на правоъгълен триъгълник, за който са дадени катет с дължина 1 см и 1 срещулежащ на този катет ъгъл α . Следователно AD = BC = см. sin α Нека описаната около ABCD окръжност е с център т. O и радиус R . Бедрата AD ∩
∩
AD + BC и BC отсичат от тази окръжност равни дъги с мярка ϕ (тъй като ϕ = ). 2 Следователно централният ъгъл AOD (както и BOC ) е ϕ . AD 1 = см. Тогава R = OA = OD = ϕ ϕ 2 sin 2 sin sin α 2 2
Минно – геоложки Университет “Свети Иван Рилски”
Критерии за оценяване на задачите ОТ ПРИЕМНИЯ ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА НА 29.07.2008 г. ЗАДАЧА 1. 1.1. Получаване на подходящо квадратно уравнение Намиране на корените на квадратното уравнение Намиране на корените на показателното уравнение 1.2. Получаване на подходяща система от неравенства за m Решаване на системата
– 6 точки -1 т. -1 т. -1 т. -1 т. -2 т.
ЗАДАЧА 2. – 3 точки Подходящо преобразуване и намиране на границата при t → 3 на израза под знака на логаритъма -2 т. Намиране на търсената граница -1 т. ЗАДАЧА 3. 3.1. Намиране на производната на разглежданата функция Намиране на локалния минимум Намиране на локалния максимум 3.2. Намиране на търсените интервали 3.3. Свеждане на задачата до квадратно неравенство за параметъра а Намиране на търсените стойности на а
– 6 точки -1 т. -1 т. -1 т. -1 т. -1 т. -1 т.
ЗАДАЧА 4. Намиране на дължината на бедрото Намиране на дължината на радиуса на описаната окръжност
– 3 точки -1 т. -2 т.
ЗАБЕЛЕЖКА: Горните критерии са съставени върху основа на решенията, дадени от авторите. Всички други възможни решения се тълкуват по аналогичен начин в рамките на определените за съответната задача точки. Формула за определяне на оценката: 2 k<3 Q= k = 3, ... ,18 3 + ( k − 3) . 0,2 (к е броят на получените точки, а Q - окончателната оценка).