НАЦИОНАЛЕН ВОЕНЕН УНИВЕРСИТЕТ "ВАСИЛ ЛЕВСКИ" КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 18 юли, 2008г. – ПЪРВА ТЕМА Задача 1. Да се намерят реалните решения на: 2
x 2 + 3 x + 6 = 14 . x б) уравнението 2 x − log 3 3 + 18 = 1 . а) уравнението x + 3 x +
(
)
Задача 2. Дадена е функцията f ( x ) = cos 2 x + 5 cos x − 2 . а) Да се реши уравнението f ( x ) = 0 . б) Да се намерят най-малката и най-голямата стойности на f ( x ) . Задача 3. Диаметрите на описаната и на вписаната за правоъгълния триъгълник ∆ABC ∠ACB = 90 o окръжности са с дължини съответно 13cm и 4cm . а) Да се намери лицето на триъгълник ∆ABC .
(
)
б) Да се намери дължината на ъглополовящата на правия ъгъл.
ABCA1B1C1 с основен ръб AB = BC = CA = 6cm и околен ръб AA1 = BB1 = CC1 = 8cm . Точка M лежи на BM 1 CN 3 ръба BB1 и = . Точка N лежи на ръба CC1 и = . NC1 1 MB1 3
Задача 4. Дадена е правилна триъгълна призма
а) Да се намери обемът на пирамидата MNCBA . б) Да се намери разстоянието от точка A до правата MN . Примерни решения Задача 1 а) Полагаме x 2 + 3 x = t . Получава се уравнението t + t + 6 = 14 ⇒ t + 6 = 14 − t ; ODCt : −6 ≤ t ≤ 14; t + 6 = t 2 − 28t + 196 ⇒ t 2 − 29t + 190 = 0 , чиито корени са 29 ± 841 − 760 29 ± 9 t1; 2 = = ⇒ t1 = 10; t 2 = 19 ∉ ODCt . 2 2 Заместваме намереното t = 10 в x 2 + 3 x = t и получаваме уравнението − 3 ± 9 + 40 − 3 ± 7 x 2 + 3 x − 1 = 0 ⇒ x1; 2 = = ⇒ x1 = −5; x 2 = 2 2 2 Отговор: x1 = −5; x 2 = 2 . Задача 1 б) От 2 x − log 3 (3 x + 18) = 1 ⇒ log 3 (3 x + 18) = 2 x − 1 = log 3 3 2 x −1 следва 3 x + 18 = 3 2 x −1 ⇒ 3 2 x = 3.3 x + 54 . Полагаме 3 x = u; u > 0 ⇒ u 2 − 3u − 54 = 0
3 ± 9 + 216 3 ± 15 = ⇒ u1 = −6 ∉ ODCu; u 2 = 9 2 2 От 3 x = 9 ⇒ 3 x = 3 2 ⇒ x = 2 u1;2 =
Отговор: x = 2 Задача 2 а) cos 2 x + 5 cos x − 2 = 0 ⇒ 2 cos 2 x − 1 + 5 cos x − 2 = 0. Полагаме cos x = t ; ODCt : −1 ≤ t ≤ 1 . Получава се уравнението 2t 2 + 5t − 3 = 0 следователно − 5 ± 25 + 24 − 5 ± 7 1 t1; 2 = = ⇒ t1 = −3 ∉ ODCt ; t 2 = . 4 4 2 1 π От cos x = ⇒ x = ± + 2kπ . 2 3 Отговор: x = ±
π 3
+ 2kπ
Задача 2 б) Преобразуваме функцията
f ( x ) = cos 2 x + 5 cos x − 2 като полагаме cos x = t ; ODCt : −1 ≤ t ≤ 1 . Получава се ϕ (t ) = 2t 2 + 5t − 3 , ODCt : −1 ≤ t ≤ 1 . Намираме ϕ ′(t ) = 4t + 5 и решаваме уравнението 5 ϕ ′(t ) = 4t + 5 = 0 ⇒ t = − . 4 Това означава, че квадратната функция ϕ (t ) = 2t 2 + 5t − 3 5 има локален минимум в точката t = − . Тогава в интервала 4 ODCt : −1 ≤ t ≤ 1 тази функция расте. Следователно min ϕ (t ) = ϕ (− 1) = −6 ; max ϕ (t ) = ϕ (1) = 4 Отговор: НМС f ( x ) = −6 , НГС f ( x ) = 4 Задача 3 а) Нека катетите на триъгълника означим с а и b, а хипотенузата означим с c. За правоъгълен триъгълник е известно, че a+b−c c = 2 R, =r, 2 където R е радиусът на описаната около триъгълника окръжност, а r е радиусът на вписаната в триъгълника окръжност.
От условието следва, че c = 13 a + b = 17 a 2 + 2ab + b 2 = 289 ⇒ 2 ⇒ ⇒ 2ab = 289 − 169 = 120 . a+b−c = 4 a + b 2 = c 2 = 169 a 2 + b 2 = 169 ab Но S ∆ABC = , следователно 2 1 120 S ∆ABC = . = 30cm 2 2 2 Отговор: S ∆ABC = 30cm 2 Задача 3 б) Използваме, че 1 1 S ∆ABC = S ∆ALC + S ∆BLC = b.CL. sin 45 0 + a.CL. sin 45 0 = 2 2 2 (a + b ).CL . = 4 Тогава 4S ∆ABC 4.30 60. 2 = = CL = 17 2 (a + b ) 17 2 Отговор: CL =
60. 2 17
Задача 4 а) От условието следва, че BM = 2 см; CN = 6 см. Фигурата BCNM е правоъгълен трапец, защото BM ⊥ BC ; CN ⊥ BC и служи за основа на пирамидата MNCBA . Височина през върха A на тази пирамида е перпендикулярът AP към ръба BC в ∆ABC . Следователно 1 1 BM + CN V BCNMA = .S BCNM . AP = . .BC. AB 2 − BP 2 = 3 3 2 1 = .8.6 6 2 − 3 2 = 8 27 = 24 3cm 3 6 Отговор: VBCNMA = 24 3cm 3
Задача 4 б) За да намерим разстоянието AQ от върха A до правата MN , изчисляваме лицето на ∆AMN по два различни начина. Първо намираме S ∆AMN по Хероновата формула 1 2a 2 b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 c 2 − a 4 − b 4 − c 4 , S ∆AMN = 4 където a 2 = MN 2 = 6 2 + 4 2 = 52 , b 2 = AM 2 = 6 2 + 2 2 = 40 , c 2 = AN 2 = 6 2 + 6 2 = 72 . (използва се Питагорова теорема за пресмятане на хипотенуза от съответните правоъгълни триъгълници). Получава се S ∆AMN = 5 19cm 2 . От друга страна 1 1 S ∆AMN = .MN . AQ = . 52 . AQ = AQ. 13 . 2 2 Следователно AQ. 13 = 5. 19 , откъдето AQ =
5. 19 13
=
5 . 247cm. 13
Отговор:
AQ =
5 . 247cm. 13