НАЦИОНАЛЕН ВОЕНЕН УНИВЕРСИТЕТ "ВАСИЛ ЛЕВСКИ" КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 18 юли, 2008г. – ПЪРВА ТЕМА Задача 1. Да се намерят реалните решения на: 2
x 2 + 3 x + 6 = 14 . x б) уравнението 2 x − log 3 3 + 18 = 1 . а) уравнението x + 3 x +
(
)
Задача 2. Дадена е функцията f ( x ) = cos 2 x + 5 cos x − 2 . а) Да се реши уравнението f ( x ) = 0 . б) Да се намерят най-малката и най-голямата стойности на f ( x ) . Задача 3. Диаметрите на описаната и на вписаната за правоъгълния триъгълник ∆ABC ∠ACB = 90 o окръжности са с дължини съответно 13cm и 4cm . а) Да се намери лицето на триъгълник ∆ABC .
(
)
б) Да се намери дължината на ъглополовящата на правия ъгъл.
ABCA1B1C1 с основен ръб AB = BC = CA = 6cm и околен ръб AA1 = BB1 = CC1 = 8cm . Точка M лежи на BM 1 CN 3 ръба BB1 и = . Точка N лежи на ръба CC1 и = . NC1 1 MB1 3
Задача 4. Дадена е правилна триъгълна призма
а) Да се намери обемът на пирамидата MNCBA . б) Да се намери разстоянието от точка A до правата MN . Примерни решения Задача 1 а) Полагаме x 2 + 3 x = t . Получава се уравнението t + t + 6 = 14 ⇒ t + 6 = 14 − t ; ODCt : −6 ≤ t ≤ 14; t + 6 = t 2 − 28t + 196 ⇒ t 2 − 29t + 190 = 0 , чиито корени са 29 ± 841 − 760 29 ± 9 t1; 2 = = ⇒ t1 = 10; t 2 = 19 ∉ ODCt . 2 2 Заместваме намереното t = 10 в x 2 + 3 x = t и получаваме уравнението − 3 ± 9 + 40 − 3 ± 7 x 2 + 3 x − 1 = 0 ⇒ x1; 2 = = ⇒ x1 = −5; x 2 = 2 2 2 Отговор: x1 = −5; x 2 = 2 . Задача 1 б) От 2 x − log 3 (3 x + 18) = 1 ⇒ log 3 (3 x + 18) = 2 x − 1 = log 3 3 2 x −1 следва 3 x + 18 = 3 2 x −1 ⇒ 3 2 x = 3.3 x + 54 . Полагаме 3 x = u; u > 0 ⇒ u 2 − 3u − 54 = 0