СОФИЙСКИ УНИВЕРСИТЕТ "СВ. КЛИМЕНТ ОХРИДСКИ" ПИСМЕН КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 24 ЮЛИ 2008 г. Задача 1. Да се реши неравенството 2 2 x − 3 ≤ 3 x − 2 2 . Задача 2. Диагоналите АС и BD на изпъкналия четириъгълник ABCD се пресичат в точка О. Нека точките M, N, P и Q са среди съответно на страните АВ, ВС, CD и DA. Да се намери лицето на четириъгълника MNPQ, ако AC= 8, BD=6 и ∢AOB − ∢BOC=90° Задача 3. Да се реши уравнението 2.4
x
− 5.2
x
+ 2 = 0.
Задача 4. Даден е триъгълник АВС с ъгли ∢ABC = 30° и ∢ACB=15°. Да се намери периметърът на триъгълника АВС, ако височината му през върха С е равна на 4. Задача 5. Да се реши системата уравнения
2lg x + 3lg y = 5 2lg x.3lg y = 4
.
Задача 6. Нека p е реално число такова, че уравнението x 2 − x + p = 0 има реални корени x1 и x2 . Да се намери стойността p така, че стойността на израза A= ( x13 + 1)( x23 + 1) да е най-голяма.
Задача 7. Даден е квадратът ABCD. Точката М е вътрешна за квадрата и е такава, че ∢MAB=∢MBC=75°. Нека точката N лежи на страната CD и ∢NMB=75°. Да се намери отношението CN : ND. Задача 8. Да се реши уравнението x 2 − x + 1 = 2 x − 1. Задача 9. В триъгълник АВС (АС>ВС) СМ и CL са съответно медиана и ъглополовяща през върха С. Права g през точката М, успоредна на страната AC, пресича CL в точката Е, а права t през точката L, успоредна на страната ВС, пресича СМ в точката D. Да се намери големината на ∢DEC. Задача 10. Да се намерят стоъностите на реалния параметър k, за които уравнението
x 2 + k cos 2 x = k има единствен реален корен. Време за работа 5 часа. Драги кандидатстуденти, • номерирайте всички страници на беловата си; • решението на всяка задача трябва да започва на нова страница; • черновта не се проверява и не се оценява; Изпитната комисия ви пожелава приятна работа
!"#$%!&$ '($)*+!$,*, „!). &-. ".+$/!&$” #0&'-,*, 1" 20,*20,$&0 $ $(#"+20,$&0 1$!2*( &"(&'+!*( $31$, 1" 20,*20,$&0 24 4-$ 2008 5. 30/06$ $ 1+$2*+($ +*7*($8 – ,*20 2 39:9;9 1. !" #$ %$&' ($%")$(#*)+*+ 2 2 x ! 3 " 3 x ! 2 2 . +<=<>?<: ,"-'#)".$ ($%")$(#*)+*+ )/) )'0" (2 2 ! 3) x " !(2 2 ! 3) . 1/2 3"*+ 2 2 # 3 , *+ -+#4$0(+*+ $ $3)')"4$(*(+ (" x $ !1 , *.$. x % [!1, &') .
39:9;9 2. !'"5+("4'*$ AC ' BD (" '6-/3("4'7 8$*'%'/5/4('3 ABCD #$ -%$#'8"* ) *+83" O . 9$3" *+83'*$ M , N , P ' Q #" #%$0' #/+*)$*(+ (" #*%"('*$ AB , BC , CD ' DA . !" #$ (".$%' 4':$*+ (" 8$*'%'/5/4('3" MNPQ , "3+ AC ( 8 , BD ( 6 ' S AOB ! S BOC ( 900 . +<=<>?<: ;* S AOB & S BOC ( 1800 ' S AOB ! S BOC ( 900 #4$0)", 8$ S BOC ( 450 . ;* *+)", 8$ *+83'*$ M , N , P ' Q #" #%$0' #/+*)$*(+ (" #*%"('*$ AB , BC , CD ' DA #4$0)", 8$ 1 1 MN ( PQ ( AC ( 2 , PN ( MQ ( BD ( 3 ' 2 2 S PQM ( S BOC ( 450 .
D
P O
x
! 5.2
x
N
A M
<4$0+)"*$4(+ MNPQ $ =#-+%$0('3 ' S MNPQ ( MQ.PQ.sin 450 ( 3 .
39:9;9 3. !" #$ %$&' =%")($('$*+ 2.4
C
Q
B
&2 ( 0.
+<=<>?<: >%' x $ 0 -+4"5".$ y ( 2 $ 2 ( 1 ' -+4=8")".$ 2 y 2 ! 5 y & 2 ( 0 . >+#4$0(+*+ =%")($('$ 1 '." %$&$('7 y1 ( 2 ' y2 ( . <".+ y1 ( 2 -%'("04$?' (" +@4"#**" +* 0+-=#*'.'*$ #*+2(+#*', 2 +*3/0$*+ -+4=8")".$, 8$ 2 x ( 2 *.$. x ( 1 . C 39:9;9 4. !"0$( $ *%'/5/4('3 ABC # /54' S ABC ( 300 ' S ACB ( 150 . !" #$ (".$%' -$%'.$*/%/* (" *%'/5/4('3" ABC , "3+ )'#+8'("*" .= -%$6 )/%A" C $ %")(" (" 4. +<=<>?<: 9$3" CC1 $ )'#+8'(" (" VABC . 1/2 3"*+ S ABC ( 300 +* x
0
VC1 BC #4$0)", 8$ BC ( 8 ' BC1 ( 4 3 . B.".$ S ACB ( 150 , +*3/0$*+ S C1 AC ( 450 ' A $ .$?0= C1 ' B . ;* VC1 AC -+4=8")".$, 8$
C1
A
CC1 ( C1 A ( 4 ' AC ( 4 2 . <4$0+)"*$4(+ AB ( 4 3 ! 4 ' PABC ( 4 3 & 4 2 & 4 . 39:9;9 5. !" #$ %$&' #'#*$."*" =%")($('7
2lg x & 3lg y ( 5 2lg x.3lg y ( 4
.
+<=<>?<: >%' x ) 0 ' y ) 0 -+4"5".$ u ( 2lg x , v ( 3lg y ' -+4=8")".$
u&v(5 . >+4=8$("*" #'#*$." u.v ( 4
=%")($('7 '." %$&$('7 u1 ( 4, v1 ( 1 '4' u2 ( 1, v2 ( 4 . ;*3/0$*+ -%$#.7*".$ x1 ( 100, y1 ( 1 '4'
x2 ( 1, y2 ( 10log3 4 . 39:9;9 6. 9$3" p $ %$"4(+ 8'#4+ *"3+)", 8$ =%")($('$*+ x 2 ! x & p ( 0 '." %$"4(' 3+%$(' x1 ' x2 . !" #$ (".$%' #*+2(+#**" (" -"%".$*/%" p *"3", 8$ #*+2(+#**" (" '6%"6" A ( ( x13 & 1)( x23 & 1) 0" $ ("25+47.". 1 +<=<>?<: C+%$('*$ x1 ' x2 (" 0"0$(+*+ =%")($('$ #" %$"4(' *+8(+ *+5")", 3+5"*+ p " . 4 3 3 3 3 3 >%$+@%"6=)".$ 0"0$('7 '6%"6 A ( ( x1 & 1)( x2 & 1) ( ( x1 .x2 ) & ( x1 & x2 ) & 1 (
*
2
2
+
( x1 .x2 )3 & ( x1 & x2 ) x1 & x2 ! x1 .x2 & 1 . ;* D+%.=4'*$ (" E'$* -+4=8")".$, 8$ A ( p 3 ! 3 p & 2 .
B
;6("8")".$ # f ( p) ( p 3 ! 3 p & 2 ' */%#'. ("2-5+47."*" #*+2(+#* (" D=(3:'7*" f ( p) ) '(*$%)"4" 1 (!', ] . >%$#.7*".$ , 8$ f ,( p) ( 3 p 2 ! 3 ( 0 6" p1,2 ( -1 , +*3/0$*+ #4$0)", 8$ f ,( p) ) 0 6" p # !1 ' 4 1 f ,( p) # 0 6" !1 # p " . <4$0+)"*$4(+ ("2-5+47."*" #*+2(+#* (" A ( f ( p) 0+#*'5" -%' p ( !1 . 4 39:9;9 7. !"0$( $ 3)"0%"*/* ABCD . 1+83"*" M $ )/*%$&(" 6" 3)"0%"*" ' $ *"3")", 8$ S MAB ( S MBC ( 750 . 9$3" *+83"*" N 4$?' (" #*%"("*" CD ' S NMB ( 750 . !" #$ (".$%' +*(+&$('$*+ CN : ND . +<=<>?<: F$6 +5%"('8$('$ -%'$.".$, 8$ AB ( 1 .>+($?$ S AMB ( 900 ,*+ BM ( sin 750 . ;6("8")".$ 1 S NBC ( . . 1+5")" BN ( . ;* #'(=#+)"*" *$+%$." 6" *%'/5/4('3" MBN D N C cos . -+4=8")".$
*
+
sin 300 & . BN BM ( sin 2 750 . >+($?$ ( , +*3/0$*+ cos . sin 750 sin 300 & .
*
+
M
. 2 1& 3 1 3 2& 3 1 , -+4=8")".$ & , +*3/0$*+ tg. ( . sin 75 ( . .tg. ( 2 2 2 2 2 4 <4$0+)"*$4(+ CN : ND ( 1 :1 . A B 39:9;9 8. !" #$ %$&' =%")($('$*+ x 2 ! x & 1 ( 2 x ! 1 . 1 y2 & 1 +<=<>?<: >%' x $ -+4"5".$ y ( 2 x ! 1 $ 0, x ( ' -+4=8")".$ y 4 ! 4 y & 3 ( 0 . >+#4$0(+*+ 2 2 =%")($('$ %"64"5".$ -+ #4$0('7 ("8'( y ( y 3 ! 1) ! 3( y ! 1) ( 0 '4' ( y ! 1)( y 3 & y 2 & y ! 3) ( 0 . 1/2 3"*+ 0
y ( 1 $ 3+%$( (" y 3 & y 2 & y ! 3 ( 0 , -+4=8")".$ ( y ! 1) 2 ( y 2 & 2 y & 3) ( 0 . >+($?$ y 2 & 2 y & 3 ( ( y & 1) 2 & 2 ) 0 , *+ y ( 1 $ $0'(#*)$('7* 3+%$( (" -+4=8$(+*+ =%")($('$ ' #4$0+)"*$4(+ x ( 1 . 39:9;9 9. E *%'/5/4('3" ABC ( AC ) BC ) CM ' CL #" #/+*)$*(+ .$0'"(" ' /54+-+4+)7G" -%$6 )/%A" C . >%")" g -%$6 *+83"*" M , =#-+%$0(" (" #*%"("*" AC , -%$#'8" CL ) *+83"*" E , " -%")" t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k , 6" 3+'*+ =%")($('$*+ x 2 & k cos 2 x ( k '." $0'(#*)$( %$"4$( 3+%$(. +<=<>?<: ;* =#4+)'$*+ #4$0)", 8$ k $ 0 . H3+ x0 $ %$&$('$ (" 0"0$(+*+ =%")($('$, *+ ' ! x0 $ %$&$('$, 6"G+*+
(! x0 ) 2 & k cos 2 (! x0 ) ( x02 & k cos 2 x0 ( k . <4$0+)"*$4(+, 6" 0" '." $0'(#*)$( %$"4$(
3+%$( $ ($+@A+0'.+ x0 ( ! x0 , *.$. x0 ( 0 . <4$0+)"*$4(+ >%' k ( 0 -+4=8")".$ =%")($('$*+
k ( k , *.$. k ( 0 '4' k ( 1 .
x 2 ( 0 , 3+$*+ '." $0'(#*)$( %$"4$( 3+%$( x ( 0 .
>%' k ( 1 -+4=8")".$ =%")($('$*+ x 2 & cos 2 x ( 1 '4' x 2 ( sin 2 x , 3+$*+ #/G+ '." $0'(#*)$( %$"4$( 3+%$( x ( 0 , 6"G+*+ ($%")$(#*)+*+ sin 2 x # x 2 $ '6-/4($(+ 6" )#73+ x / 0 . <4$0+)"*$4(+ */%#$('*$ #*+2(+#*' #" k ( 0 ' k ( 1 .