ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – ВАРНА Изпит – тест по математика Вариант 1
1. Ако a =
(16 юли 2008 г.)
1 + 3 0 − 2 −1 4 , то: 5+2 5−2
0, 25 +
(
)(
)
б) a = 1 ; а) a = 1, 25 ; 2. Най – малкото от посочените числа е: а) 2 ; б) 3 3 ;
в) a = 1,5 ; в)
6
6 ;
г) a = 1, 75 . г) 2 3 2 .
3. Решенията на неравенството ( x + 1) > 4 са: 2
а) x∈ (−∞, −3) ∪ (1, + ∞) ;
б) x∈ (1, + ∞) ;
в) x∈ (−∞, −3) ; г) x∈ (−3,1) .
4. Всички решения на уравнението ( x + 2 x ) x − 1 = 0 са: 2
а) −2 ; б) 0; 1; −2 ; в) 0; 1 ; г) 1 . 2 5. Най – малката стойност на функцията f ( x) = 2 x − 4 x + 2 при x ∈ [−1,1] е равна на: а) 0 ; б) −2 ; в) 1 ; г) −1 . 1 6. Ако a = lg13 , b = ( 2 + lg1, 69 ) то: 2 а) a < b ; б) a > b ; в) a = b ; г) b = 13 a . 7. Ортогоналните проекции на катетите върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник са 3 cm и 12 cm . Височината към хипотенузата му има дължина: а) 4 cm ; б) 6 cm ; в) 5 cm ; г) 15 cm . 8. Радиусът на описаната окръжност около равностранен триъгълник със страна 6 cm e равен на: а)
3 cm ;
9. Ако sin α =
б) 2 cm ;
в) 2 3 cm ;
г) 1 cm .
1 π , α ∈ , π , то стойността на tg 2α е равна на: 4 2
3 3 15 15 ; б) − ; в) − ; г) . 2 2 7 7 10. За триъгълник ABC е известно, че AB = 5 cm , B C = 7 cm и ∢ BAC = 60 . Лицето на триъгълника е:
а)
а) 10 3 cm 2 ; б) 20 cm 2 ; в) 12 3 cm 2 ; г) 18 cm 2 . 11. Да се намерят стойностите на параметъра α , за които корените x1 и x2 на уравнението 1 1 x 2 − x.sin 2 α − cos 2 α − 1 = 0 удовлетворяват зависимостта + = −1 . x1 x2 12. Да се реши уравнението 32 x + 6.3x−1 − 15 = 0 . 1+ x 13. Да се реши неравенството log x < 1. 1− x 14. В окръжност с радиус 1 е вписан трапец ABCD ( AB CD , AB ≥ CD ). Да се докаже, че ако в трапеца може sin 2 α
, където α = ∢ BAD . Да се намери най – голямата 1 + sin 2 α възможна стойност на r и вида на трапеца при тази стойност на r . 15. В триъгълна пирамида ABCD ръбовете AD , BD и CD са два по два взаимно перпендикулярни и имат дължини съответно 3, 4 и 12 . Да се намери дължината на радиуса на описаната около пирамидата сфера. да се впише окръжност с радиус r , то r =
ɈɌȽɈȼɈɊɂ ɂ ɉɊɂɆȿɊɇɂ Ɋȿɒȿɇɂə ɂɁɉɂɌ ± ɌȿɋɌ ɉɈ ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ ɸɥɢ ɝɨɞɢɧɚ
ȼɚɪɢɚɧɬ ɛ
ɜ
ɚ
ɝ
ɚ
ɜ
ɛ
ɜ
ɜ
ɚ
Ɉɬ ɮɨɪɦɭɥɢɬɟ ɧɚ ȼɢɟɬ ɢɦɚɦɟ [ [ VLQ D ɢ [ [ FRV D əɫɧɨ ɟ ɱɟ [ [ d ɢ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɧɨ [ z ɢ [ z Ɍɚɤɚ ɡɚɩɢɫɚɧɚɬɚ ɜ ɭɫɥɨɜɢɟɬɨ ɧɚ ɡɚɞɚɱɚɬɚ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬ ɢɦɚ ɫɦɢɫɴɥ ɢ ɩɪɢɟɦɚ ɜɢɞɚ [ [ [ [ Ɉɬɬɭɤ ɩɨɥɭɱɚɜɚɦɟ VLQ D FRV D FRV D FRV D FRV D FRV D ɋɬɨɣɧɨɫɬɢɬɟ ɧɚ D ɨɩɪɟɞɟɥɹɦɟ ɨɬ ɪɟɲɟɧɢɹɬɚ ɧɚ ɩɨɫɥɟɞɧɨɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ D
S
N S ɤɴɞɟɬɨ N ɟ ɩɪɨɢɡɜɨɥɧɨ ɰɹɥɨ ɱɢɫɥɨ
Ɂɚɩɢɫɜɚɦɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɬɨ ɜɴɜ ɜɢɞɚ [ [ [ [ ɋɥɟɞ ɩɨɥɚɝɚɧɟɬɨ \
[ !
ɩɨɥɭɱɚɜɚɦɟ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ \ \ ɫ ɤɨɪɟɧɢ \ ɢ \ ɋɟɝɚ ɨɬ [ ɧɚɦɢɪɚ ɦɟ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɨɬɨ ɪɟɲɟɧɢɟ [ ɧɚ ɢɡɯɨɞɧɨɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ [ ɇɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨɬɨ ɢɦɚ ɫɦɢɫɴɥ ɩɪɢ [ ! [ z ! Ɋɟɲɟɧɢɹɬɚ ɧɚ ɩɨɫɥɟɞɧɚɬɚ ɫɢɫɬɟɦɚ ɨɬ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ [ [ ORJ [ [ ɢ ɨɬɬɭɤ ɬɴɣ ɤɚɬɨ [ ɩɨɥɭɱɚɜɚ ɫɚ [ Ɂɚɩɢɫɜɚɦɟ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨɬɨ ɜɴɜ ɜɢɞɚ ORJ [ [ [ [ [
[ [ [ ɦɟ ! [ [! ! ! [ [ ! [ f [ [ [ [ Ɉɤɨɧɱɚɬɟɥɧɨ ɡɚ ɪɟɲɟɧɢɹɬɚ ɧɚ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨɬɨ ɧɚɦɢɪɚɦɟ [ ɇɟɤɚ + ɟ ɨɪɬɨɝɨɧɚɥɧɚɬɚ ɩɪɨɟɤɰɢɹ ɧɚ ɜɴɪɯɚ ' ɧɚ ɬɪɚɩɟɰɚ ɜɴɪɯɭ ɨɫɧɨɜɚɬɚ ɦɭ $% ɚ ɫ D E F ɫɚ ɨɡɧɚ ɱɟɧɢ ɞɴɥɠɢɧɢɬɟ ɫɴɨɬɜɟɬɧɨ ɧɚ $% &' ɢ $' Ɍɪɚɩɟɰɴɬ ɟ ɜɩɢɫɚɧ ɜ ɨɤɪɴɠɧɨɫɬ ɫ ɪɚɞɢɭɫ 5 ɢ ɫɥɟɞɨɜɚ D E Ɉɬ ɞɪɭɝɚ ɬɟɥɧɨ ɟ ɪɚɜɧɨɛɟɞɪɟɧ ɨɬɤɴɞɟɬɨ ɫɥɟɞɜɚ ɱɟ %+ & ' ɫɬɪɚɧɚ ɬɴɣ ɤɚɬɨ ɜ ɧɟɝɨ ɦɨɠɟ ɞɚ ɫɟ ɜɩɢɲɟ ɨɤɪɴɠɧɨɫɬ ɫ ɪɚɞɢɭɫ U ɬɨ D E '+ U ɢ F %+ Ɉɬ ɩɪɚɜɨɴɝɴɥɧɢɹ ɬɪɢɴɝɴɥɧɢɤ $+' U ɚ ɨɬ ɫɢɧɭɫɨɜɚɬɚ ɬɟɨɪɟɦɚ ɡɚ + $%' ɜɩɢɫɚɧ ɜ ɧɚɦɢɪɚɦɟ F VLQ D ɨɤɪɴɠɧɨɫɬ ɫ ɪɚɞɢɭɫ 5 ɨɩɪɟɞɟɥɹɦɟ %' 5 VLQ D VLQ D ɋɟɝɚ D ɨɬ ɩɢɬɚɝɨɪɨɜɚɬɚ ɬɟɨɪɟɦɚ ɡɚ + '+% ɢɦɚɦɟ %' '+ %+ ɢ $ + %
ɫɥɟɞ ɡɚɦɟɫɬɜɚɧɟ ɞɨɫɬɢɝɚɦɟ ɞɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨɬɨ VLQ D
U
U ɨɬɤɴɞɟɬɨ ɩɨɥɭɱɚɜɚɦɟ U VLQ D
VLQ D VLQ D
V § Sº ɤɴɞɟɬɨ V VLQ D @ ɂɦɚɦɟ Ɉɱɟɜɢɞɧɨ D ¨ » ɂɡɫɥɟɞɜɚɦɟ ɮɭɧɤɰɢɹɬɚ I V
V © ¼ V V V V ɢ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɧɨ I c V ! ɡɚ ɜɫɹɤɨ V @ Ɍɚɤɚ ɮɭɧɤɰɢɹɬɚ I V I c V
V V
ɟ ɪɚɫɬɹɳɚ ɩɪɢ V @ ɢ ɞɨɫɬɢɝɚ ɧɚɣ ɝɨɥɹɦɚɬɚ ɫɢ ɫɬɨɣɧɨɫɬ ɚɤɨ V
ɤɨɟɬɨ ɨɡɧɚɱɚɜɚ ɱɟ D
S
ɢ ɬɪɚɩɟɰɚ ɟ ɩɪɚɜɨɴɝɴɥɧɢɤ Ɍɴɣ ɤɚɬɨ ɩɪɚɜɨɴɝɴɥɧɢɤ ɨɩɢɫɚɧ ɨɤɨɥɨ ɨɤɪɴɠɧɨɫɬ ɟ ɤɜɚɞɪɚɬ ɜ ɫɥɭɱɚɣ ɱɟ ɫɬɨɣɧɨɫɬɬɚ ɧɚ U ɟ ɜɴɡɦɨɠɧɨ ɧɚɣ ɝɨɥɹɦɚ ɬɪɚɩɟɰɚ ɜ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɧɨɫɬ ɟ ɤɜɚɞɪɚɬ Ɉɬ ɭɫɥɨɜɢɟɬɨ ɫɥɟɞɜɚ ɱɟ ɪɚɜɧɢɧɢɬɟ ɧɚ ɫɬɟɧɢɬɟ '$% '%& ɢ '&$ ɧɚ ɩɢɪɚɦɢɞɚɬɚ ɫɚ ɞɜɟ ɩɨ ɞɜɟ ɜɡɚɢɦɧɨ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɢ Ⱦɚ ɪɚɡɝɥɟɞɚɦɟ ɢ ɬɪɢɬɟ ɪɚɜɧɢɧɢ ɤɨɢɬɨ ɦɢɧɚɜɚɬ ɩɪɟɡ ɜɴɪɯɨɜɟɬɟ & $ ɢ % ɢ ɫɚ ɭɫɩɨɪɟɞɧɢ ɫɴɨɬɜɟɬɧɨ % ( ɧɚ ɬɟɡɢ ɫɬɟɧɢ Ɍɚɤɚ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɬɟ ɪɚɜɧɢɧɢ ɩɪɢ ɩɪɟɫɢɱɚɧɟɬɨ ɫɢ ɡɚɞɚɜɚɬ ɪɴɛɨɜɟɬɟ ɧɚ ɩɪɚɜɨɴɝɴɥɟɧ ɩɚɪɚɥɟɥɟɩɢɩɟɞ '&(%$& ( % ɤɨɣɬɨ ɫɴɞɴɪɠɚ ɩɢɪɚɦɢɞɚɬɚ $%&' Ⱦɜɟɬɟ $ % ( & ɞɜɨɣɤɢ ɞɢɚɝɨɧɚɥɢ %& &% ɢ '( ($ ɧɚ ɬɨɡɢ 2 ɩɚɪɚɥɟɥɟɩɢɩɟɞ ɫɟ ɩɪɟɫɢɱɚɬ ɜ ɟɞɧɚ ɢ ɫɴɳɚ ɬɨɱɤɚ 2 ɤɨɹɬɨ ɟ ɪɚɜɧɨɨɬɞɚɥɟɱɟɧɚ ɨɬ ɜɴɪɯɨɜɟɬɟ ɦɭ ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɧɨ ɬɨɱɤɚ 2 ɟ ɰɟɧɬɴɪɚ ɧɚ ɨɩɢɫɚɧɚɬɚ ɨɤɨɥɨ ɩɢɪɚɦɢɞɚɬɚ ɩɚɪɚɥɟɥɟɩɢɩɟɞɚ ' & ɫɮɟɪɚ Ɂɚ ɪɚɞɢɭɫɚ 5 ɧɚ ɬɚɡɢ ɫɮɟɪɚ ɢɦɚɦɟ 5 2& &% %% %& $' %' &'