1
Решения на задачите от кандидат-студентския изпит по математика, проведен в ЮЗУ “Н. Рилски” на 16.07.2008 г. Задача 1. Да се реши уравнението log x 5 x log x 5 . Решение. Тъй като аргументът x участва като основа на функцията логаритъм, то допустими стойности за x са x 0, x 1 . При тези стойности на x е определен и log x 5 x . С еквивалентни преобразувания получаваме 1
log x 5 x log x (5 x ) 2
1 1 log x 5 log x x log x 5 1 2 2
и следователно даденото уравнение е еквивалентно на уравнението
1 log x 5 1 log x 5 . 2
(1)
Като положим log x 5 u получаваме ирационалното уравнение
1 u 1 u . 2
(2)
В (2) подкоренната величина е неотрицателна при u 1 . От друга страна, лявата страна на (2) е неотрицателно число и следователно уравнението има решение само когато и дясната страна е положителна, т.е. когато u 0 . Така за u получаваме ДО: 1 u 0 . Като повдигнем двете страни на (2) в квадрат, стигаме до квадратното уравнение
2u 2 u 1 0 , 1 корени на което са u1 1 и u 2 . Но u1 ДО и следователно решение е само 2 1 1 u 2 . От log x 5 намираме единственото решение на даденото уравнение 2 2 x
1 . 25
Задача 2. Да се реши системата
x(1 y ) y 15 x 2 y xy 2 56. Решение. Преобразуваме системата във вида