2008.16.07 Югозападен университет "Неофит Рилски"- Благоевград

Page 1

1

Решения на задачите от кандидат-студентския изпит по математика, проведен в ЮЗУ “Н. Рилски” на 16.07.2008 г. Задача 1. Да се реши уравнението log x 5 x   log x 5 . Решение. Тъй като аргументът x участва като основа на функцията логаритъм, то допустими стойности за x са x  0, x  1 . При тези стойности на x е определен и log x 5 x . С еквивалентни преобразувания получаваме 1

log x 5 x  log x (5 x ) 2 

1 1  log x 5  log x x    log x 5  1 2 2

и следователно даденото уравнение е еквивалентно на уравнението

1  log x 5  1   log x 5 . 2

(1)

Като положим log x 5  u получаваме ирационалното уравнение

1  u  1  u . 2

(2)

В (2) подкоренната величина е неотрицателна при u  1 . От друга страна, лявата страна на (2) е неотрицателно число и следователно уравнението има решение само когато и дясната страна е положителна, т.е. когато u  0 . Така за u получаваме ДО: 1  u  0 . Като повдигнем двете страни на (2) в квадрат, стигаме до квадратното уравнение

2u 2  u  1  0 , 1 корени на което са u1  1 и u 2   . Но u1 ДО и следователно решение е само 2 1 1 u 2   . От log x 5   намираме единственото решение на даденото уравнение 2 2 x

1 . 25

Задача 2. Да се реши системата

x(1  y )  y  15 x 2 y  xy 2  56. Решение. Преобразуваме системата във вида


Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.