НАЦИОНАЛЕН ВОЕНЕН УНИВЕРСИТЕТ "ВАСИЛ ЛЕВСКИ" ПРЕДВАРИТЕЛЕН КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 11 АПРИЛ 2009г. ТРЕТА ТЕМА Задача 1. Дадено е уравнението (x + 1)(log 4 x )2 − (4 − x )log 4 x − 5 = 0 . 1 а) Да се провери, че x = е решение. 4 б) Да се намерят останалите решения на уравнението. Задача 2. Дадена е функцията 1 f ( x ) = 2 x 3 − 3(m + 2 )x 2 + 6(m + 1)x + m3 − 3m 2 − 2 , 2 където m е реален параметър. а) За кои стойности на m , функцията f ( x ) има екстремуми? б) За кои стойности на m , сумата от екстремумите е равна на нула?
(
)
Задача 3. В правоъгълен триъгълник ∆ABC ∠ACB = 900 ъглополовящата на 120 2 5 правия ъгъл има дължина cm , а sin ∠ABC = . 17 13 а) Да се намери лицето на дадения триъгълник ∆ABC . б) Да се намери дължината на ъглополовящата на ъгъл ∠ABC . Задача 4. Дадена е правилна триъгълна пирамида ABCD с връх D и основа ABC , дължина на основен ръб 6cm и дължина на околен ръб 5cm . а) Да се намери cos ϕ , където ϕ е двустенният ъгъл между основата и околна стена на пирамидата. б) Да се намери най-малкото разстояние между точка от ръба AB и точка от околния ръб CD . ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ 1 = log 4 4 − 2 = −1log 4 4 = −1 . Тогава 4 2 F ( x ) = ( x + 1)(log 4 x ) − (4 − x ) log 4 x − 5 1 за x = ще се преобразува в 4 1 5 15 1 1 2 F = + 1(− 1) − 4 − .(− 1) − 5 = + − 5 = 0 4 4 4 4 4 1 Следователно x = е решение на даденото уравнение. 4
Задача 1. а) Пресмятаме log 4
б) Полагаме log 4 x = t ⇒ x = 4t ⇒ x > 0 и преобразуваме даденото уравнение така
(4
t
) (
)
(
)
+ 1 t 2 − 4 − 4t t − 5 = 0 ⇒ 4t.t.(t + 1) + t 2 − 4t − 5 = 0 ⇒ 4t.t.(t + 1) + (t + 1)(t − 5) = 0 ⇒
⇒ (t + 1). t.4t + t − 5 = 0
,