Великотърновски университет Св. св. Кирил и Методий“ ”
КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 12 април 2009 г. ПЪРВА ТЕМА Задача 1. Да се решат уравненията: 1 2x − 1 2 = + 3 ; 1.1. 2 x −x+1 x+1 x +1 1.2. 5x+1 + 3.5x−1 − 6.5x + 10 = 0; 1.3. log3 (x2 − 27)2 = 4. Задача 2. Дадено е уравнението (k + 2)x2 − 2kx − k = 0, където k е реален параметър. Да се намерят: 2.1. стойностите на k, за които даденото уравнение има реални корени; 2.2. стойностите на k, за които даденото уравнение има един положителен и един отрицателен корен; x1 x2 2.3. най-малката положителна стойност на израза g(k) = + , където x1 и x2 x2 x1 са реални корени на даденото уравнение, при k 6= −2. Задача 3. Триъгълникът ABC с остър ъгъл при върха C е вписан в окръжност k с център O и радиус R. Симетричната точка O1 на точка O относно правата AB лежи върху окръжността k. Ъглополовящата CC1 (C1 ∈ AB) разделя страната AB в отношение 2:1, считано от върха A. 3.1. Да се докаже, че четириъгълникът AO1 BO е ромб. 3.2. Да се намери лицето на ∆ABC. Задача 4. Основата на пирамида ABCDM е ромб ABCD със страна a. Околните стени ADM и CDM са перпендикулярни на основата и сключват помежду си тъп ъгъл β. Другите две околни стени сключват с основата на пирамидата ъгъл α. 4.1. Да се намери височината на ромба ABCD. 4.2. Да се намерят лицето на пълната повърхнина и обемът на пирамидата ABCDM .