1 РЕШЕНИЯ на задачите от проведения на 11.04.2009 кандидатстудентски изпит по математика в ЮЗУ “Н. Рилски”
Задача 1. Да се намери множеството от стойностите на реалния параметър a , при които уравнението x
a3 1 5a 5
има отрицателни решения за x . x
a3 1 Решение. Ако y получаваме функцията y , на която свойствата са 5a 5
известни от училищния курс. Тя е дефинирана в целия числов интервал (, ) и е намаляваща в целия интервал. При x 0 приема стойност 1, при x 0 е по-малка от 1, а при x 0 е по-голяма от 1. Следователно поставената задача се свежда до решаване на неравенството a3 1. 5a
Това неравенство се свежда до еквивалентното му квадратно неравенство
(a 1)(a 5) 0 , решенията на което са a (1,5) . Отговор. a (1,5) .
Задача 2. Да се реши системата x 3 y 3 72 x 2 xy y 2 12.
Решение. От x 3 y 3 ( x y )( x 2 xy y 2 ) и второто уравнение на системата получаваме, че x y 6 . Като заместим y 6 x в x 2 xy y 2 12 и преобразуваме, стигаме до квадратното уравнение x 2 6 x 8 0 , корените на което са x1 4 и x 2 2 . Тогава намираме y1 6 x1 2 и y 2 6 x 2 4 . Отговор. Решения на системата са ( x 4, y 2) и ( x 2, y 4) .