2009.11.04 Югозападен университет "Неофит Рилски"- Благоевград

1 РЕШЕНИЯ на задачите от проведения на 11.04.2009 кандидатстудентски изпит по математика в ЮЗУ “Н. Рилски”

Задача 1. Да се намери множеството от стойностите на реалния параметър a , при които уравнението x

a3 1    5a 5

има отрицателни решения за x . x

a3 1 Решение. Ако  y получаваме функцията y    , на която свойствата са 5a 5

известни от училищния курс. Тя е дефинирана в целия числов интервал (, ) и е намаляваща в целия интервал. При x  0 приема стойност 1, при x  0 е по-малка от 1, а при x  0 е по-голяма от 1. Следователно поставената задача се свежда до решаване на неравенството a3 1.

5a

Това неравенство се свежда до еквивалентното му квадратно неравенство

(a  1)(a  5)  0 , решенията на което са a  (1,5) . Отговор. a  (1,5) .

Задача 2. Да се реши системата x 3  y 3  72 x 2  xy  y 2  12.

Решение. От x 3  y 3  ( x  y )( x 2  xy  y 2 ) и второто уравнение на системата получаваме, че x  y  6 . Като заместим y  6  x в x 2  xy  y 2  12 и преобразуваме, стигаме до квадратното уравнение x 2  6 x  8  0 , корените на което са x1  4 и x 2  2 . Тогава намираме y1  6  x1  2 и y 2  6  x 2  4 . Отговор. Решения на системата са ( x  4, y  2) и ( x  2, y  4) .

2 Задача 3. На триъгълника ABC ъглополовящата AL и медианата CM са перпендикулярни, CAB  60 и дължината на отсечката LM е 10 cm . Да се намери лицето на ABC . Решение. Нека AL  CM  O и AC  b (фиг. 1). Правоъгълните триъгълници AOC и AOM са еднакви, откъдето следва, че AM  b и OC  OM . От последното

равенство и условието AL  CM следва, че правата AL е симетрала на отсечката CM , откъдето намираме, че CL  LM  10 cm . От свойството на ъглополовящата CL : BL  AC : AB и AC : AB  b : 2b  1: 2 намираме, че BL  20 cm . Прилагаме

Косинусовата теорема за триъгълника ABC , т.е. BC 2  AC 2  AB 2  2. AC. Ab.cos 60 и получаваме b 2  300 . Тогава за лицето на ABC намираме

S

1 3 2 AC .AB.sin 60  b  150 3 .

2 2 Отговор. Лицето на ABC е 150 3 cm 2 .



C 10

L

b

O 

20

10 30

A

30

b

 M

b

B

Фиг. 1

Задача 4. Триъгълникът ABC е правоъгълен с C  90 и катет AC  6 cm . Точката D лежи на катета BC , като CD  1 cm . Окръжност с радиус

5 cm минава 2

през точката D и се допира вътрешно до описаната окръжност около триъгълника ABC в точката C . Да се намери лицето на триъгълника ABC .

3 Решение. Нека k (O, r ) е описаната окръжност около триъгълника ABC . Точката O е средата на хипотенузата AB  c и r  OC  OB 

c . Окръжностите k1 (O1, r1 ) и k 2

се допират в точката C когато точките O , O1 и C лежат на една права (фиг. 2). Триъгълниците CO1D и COB са подобни, тъй като са равнобедрени и имат общ ъгъл C при основите. Ако BC  a , от пропорцията

CO1 CD  намираме c  5a . Тогава от CO CB

Питагоровата теорема за триъгълника ABC намираме, че a  3 . За лицето на триъгълника ABC получаваме S 

1 AC.BC  9 .

2

Отговор. Лицето на ABC е 9 cm 2 .

 6

C

D

O1 

a

A

 O

B

Фиг. 2

Критерий за оценяване. Задачите се оценяват като равностойни. Правилното решение на всяка от тях се оценява с 4 точки. Окончателната оценка се формира по формулата 2 

1 N , където N е сборът от получените точки.

4