1 Решения на задачите от кандидатстудентския изпит по математика, проведен на 16.07.2009.
Задача 1. Да се реши уравнението log 2 (9 2 x ) 3 x.
Решение. ДМ за x се определя от неравенството 2 x 9 . От опраделението за логаритъм получаваме алгебричното уравнение 2 3 x 9 2 x , т.е. 8 9 2 x . Полагаме 2 x u . ДМ за u е 0 u 9 . Получаваме уравнението x 2
u 2 9u 8 0 , което има за корени числата 8 и 1. Тези стойности принадлежат на ДМ. От 2 x 8 намираме, че x 3 , а от 2 x 1 получаваме, че x 0 . Решения на уравнението са числата 3 и 0.
Задача 2. Да се реши системата x 3y y 5 23 y5 x 3y xy 2 x 13 4 y.
Решение. ДМ е
x 3y 0 . Полагаме y5
уравнение на системата приема вида u 2
x 3y u . ДМ за u е u 0 . Първото y5 3 или u 2 2u 3 0 . Това уравнение има u
един положителен корен, който е u 1 . Връщаме се в полагането и получаваме
x 3y 1 , от което следва, че и y5
x 3y 1 , т.е. x 5 2 y . y 5 Заместваме x във второто уравнение на системата и стигаме до уравнението 2 y 2 5 y 3 0 , което има за корени числата Ако y получаваме 3.
3 и 1. 2
3 , то за x получаваме x 5 2 y 2 , а ако y 1 , то за x 2