КАНДИДАТСТУДЕНТСКИ КОНКУРС ПО МАТЕМАТИКА АКАДЕМИЯ М В Р, 2010 г. ТЕМА 2 Задача 1. Дадена е функцията f ( x) x 2 (m 2) x m 1 , където m е реален параметър. а) Да се докаже, че за всяка стойност на параметъра m уравнението f ( x ) 0 има реални корени. б) Да се реши уравнението log 2 f ( x) 1 log 2 ( x 3) , ако параметърът m 2 . в) Да се реши неравенството
f ( x) x 5 , ако параметърът m 3 .
Задача 2. Да се решат уравненията: а) 3 x 5 32 x 5 10 ; б) sinx.cos 2 x. tgx sin3 x.cotg 3 x 2cos 2 x . 2
2
Задача 3. В трапеца ABCD е вписана окръжност с център O , която се допира до бедрото AD в точка M . Дължините на малката основа CD и отсечките AM и MD са съответно 3 cm , 8 cm и 2 cm . а) Да се намери лицето на трапеца ABCD . б) Да се намери sin , където е мярката на ъгъла на трапеца при върха C . Задача 4. Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDE с основа ABCD , на която всички ръбове са с дължина a . Точките P и Q лежат съответно на ръбовете AB и AD , като дължините на отсечките AP и AQ са равни на ka , където 0 k 1 . а) Да се намери отношението на обемите на пирамидите BQPE и PBDQE . б) Да се намери лицето на триъгълника PQE , ако параметърът k 2 . 3 в) Равнината минава през точките P и Q и е успоредна на ръба AE . Да се намери стойността на параметъра k , при която лицето на сечението на равнината с триъгълната пирамида ABDE е максимално.