МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА
ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 1.09. 2010 г. – Вариант 2 УВАЖАЕМИ ЗРЕЛОСТНИЦИ, Тестът съдържа 28 задачи по математика от два вида: • 20 задачи със структуриран отговор с четири възможни отговора, от които само един е верен; • 8 задачи със свободен отговор. Първите 20 задачи (от 1. до 20. включително) в теста са от затворен тип с четири възможни отговора, обозначени с главни букви от А до Г, от които само един е верен. Отговорите на тези задачи отбелязвайте с черен цвят на химикалката в листа за отговори, а не върху тестовата книжка. За да отбележите верния отговор, зачертайте със знака кръгчето с буквата на съответния отговор. Например: А
Б
В
Г
Ако след това прецените, че първоначалният отговор не е верен и искате да го поправите, запълнете кръгчето с грешния отговор и зачертайте буквата на друг отговор, който приемате за верен. Например: А
Б
В
Г
За всяка задача трябва да е отбелязан не повече от един действителен отговор. Като действителен отговор на съответната задача се приема само този, чиято буква е зачертана със знака
.
Отговорите на задачите със свободен отговор (от 21. до 28. вкл.) запишете в предоставения свитък за свободните отговори, като за задачи от 26. до 28. вкл. запишете пълните решения с необходимите обосновки. ПОЖЕЛАВАМЕ ВИ УСПЕШНА РАБОТА!
Отговорите на задачите от 1. до 20 включително отбелязвайте в листа за отговори! 1.Кое от посочените числа е най-голямо? ⎛1⎞ А) ⎜ ⎟ ⎝8⎠
−
1 3
Б) log 3 1
2. Изразът
(
1 2
В) 2−5
В) 9 − 4 5
Г) 9 − 4 5 61
1 е равен на: 4 5 +9
)
А) 4 5 − 9 61 3. Изразът
−
⎛1⎞ Г) ⎜ ⎟ ⎝ 16 ⎠
Б) 4 5 − 9
( x + 1)( 2 x + 1) x + 2 − x2
А) 2 x + 1 x+2
при x ≠ −1, x ≠ 2 е тъждествено равен на:
Б) 2 x + 1 2− x
В) 2 x + 1 x−2
Г) 2 x − 1 x−2
4. Решенията на неравенството x 2 + 5 x − 6 ≤ 0 са: А) x ∈ ( −∞; − 6] ∪ [1; + ∞ )
Б) x ∈ [ −1; 6]
В) x ∈ [ −6; 1]
1⎤ ⎛ Г) x ∈ ⎜ −∞; − ⎥ ∪ [1; + ∞ ) 6⎦ ⎝
5. Графиката на функцията y = − x 2 + 2 x + 3 е: y
А) –3
y
Б)
y
В) –1
1 x –3
y
Г) 3 x
1 x
–1
3x
6. Каква е функцията f ( x ) = − x 2 + 5 x + 7 в интервала (1; 2 ) ? А) само растяща
Б) само намаляваща
В) константа
Г) намаляваща и растяща
7. Решенията на уравнението x 2 x − 2 = 0 са: А) само 2
Б) само 0
В) 0 и 2
Г) x ∈ ( −∞; +∞ )
8. Стойността на израза log 2 16 + 2 log 1 9 − lg 0, 0001 е равна на: 3
Г) −4
В) −3
Б) 4
А) 5
9. Стойността на израза cos(90° + α ) + sin(180° − α ) + sin 2 80° + cos 2 80° − 1 е: А) 1
Б) 2
В) 0
Г) 3
10. Ако α е остър ъгъл и cos α = sin 60° cos18° − sin18° cos 60° , то: А) α = 32°
Б) α = 42°
В) α = 48°
Г) α = 80°
11.Петият член на аритметична прогресия е равен на −1 . Да се намери сумата на първите 9 члена на прогресията. Б) −2
А) −9
В) 0
Г) 9
12. Автомобилна фирма предлага свой нов модел автомобил с три различни двигателя, четири различни варианта на вътрешно обзавеждане и пет различни цвята на купето. Колко различни варианти на автомобила се предлагат на пазара? А) 12
Б) 15
13. Решенията на системата
В) 60
x 2 + y 2 = 61 x + y = −1
са:
А) ( −5; −6 ) ; ( −6; −5 )
Б) ( 5; −6 ) ; ( −6;5 )
В) ( −5;6 ) ;
Г) ( 5;6 ) ;
( 6; −5)
Г) 80
( 6;5)
14. На чертежа ABCD ( AB || CD) е трапец, чиито диагонали се пресичат в точка O и лицето на + DCO е 7 cm2, а лицето на + AOB е 28 cm2. Отношението DO : BO е равно на: А) 1: 2
Б) 1: 3
В) 1: 4
Г) 4 :1
C
D O A
B
C
15. В + ABC AC = 12 cm, BC = 8 cm и )ACB = 30°. Ако СL е ъглополовящата на )ACB, то лицето на + ACL е: А) 9,6 cm2
Б) 14,4 cm2
В) 16 cm2
Г) 18 cm2
А
L
B
C .
16. На чертежа CH е височина към хипотенузата AB на правоъгълния + ABC . Ако AH = 1 cm и CH = 2 cm, лицето на + ABC е: А) 12 cm2
Б) 10 cm2
В) 6 cm2
. H
A
B
Г) 5 cm2
17. Радиусът на описаната около + ABC окръжност е 17 2 и cos )BAC = −
4 . 17
Дължината на страната BC е равна на: А) 8 34
Б) 4 34
В) 2 34
Г)
34
18. Даден е успоредник ABCD със страна AD = 4 cm, диагонал BD = 4 3 cm и ∠ADC = 120° . Лицето на успоредника е: А) 16 3 cm2
Б) 16 cm2
В) 8 3 cm2
Г) 8 cm2 C
19. В + ABC AC = 6 cm и AB = 9 cm. Ако точка P ∈ AB е такава, че AP = 4 cm и CP =
6
8 cm, A 3
4
P
то дължината на страната BC е равна на: А) 4 cm
Б) 5 cm
В) 6 cm
Г) 8 cm
20. Да се намери радиусът на окръжността, описана около трапец с основи 9 cm и 3 cm и ъгъл при малката основа α = 120° . А)
7 cm
Б) 7 cm
В)
21 cm
Г) 21 cm
Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори!
1 21. За геометрична прогресия с частно q е дадено, че q 3 = , а сборът 8 a3 + a5 = 5 . Да се намери a4 . 22. В правоъгълния + ABC
( )ACB = 90D )
AB = 13 и cos )BAC =
радиуса на вписаната в триъгълника окръжност.
12 . Намерете 13
B
23. Четириъгълникът ABCD е с лице 9 cm2 и е описан около окръжност с радиус 1 cm. Ако AD = 4 cm и CD = 6 cm, намерете дължините на страните AB и BC . 24. При каква стойност на α , α ∈ [ 0°;180°] , изразът 1 + cos ( α + 30° ) приема наймалка стойност? 25. В кутия са поставени 3 еднакви топчета – бяло, зелено и червено. По случаен начин се изваждат едно по едно всичките топчета. Каква е вероятността изважданите топчета да се появят в последователност бяло, зелено, червено? Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително запишете в свитъка за свободните отговори
26. Да се реши уравнението 1 + 2 + 4. x = 4 . x x+2 27. Като знаете, че числото 484000 = 25.53.112 намерете броя на неговите делители, като включите в тях и делителите 1 и 484000 . 28. В правоъгълния + ABC ( )ACB = 90D ) , ъглополовящата BL ( L ∈ AC ) и медианата CO ( O ∈ AB ) се пресичат в точка K . Ако радиусът на окръжността, описана около + ABC , е с дължина 4 и BL ⊥ CO , намерете дължината на отсечката AK .
ФОРМУЛИ Квадратно уравнение −b ± b 2 − 4ac ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) 2a b c Формули на Виет x1 + x2 = − x1 x2 = a a
ax 2 + bx + c = 0
x1,2 =
Квадратна функция
Графиката на y = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 е парабола с връх точката (−
b D ;− ) 2a 4a
Корен. Степен и логаритъм 2k
2 k +1
a 2k = a
m n m a =an log a b = x ⇔ a x = b
nk
a 2 k +1 = a ;
a mk = n a m
log a a x = x
при k ∈
a = nk a ; при a > 0 , n ≥ 2 , k ≥ 2 и n, m, k ∈ a loga b = b ; при b > 0, a > 0, a ≠ 1 n k
Комбинаторика
Брой на пермутациите на n елемента:
Pn = 1.2.3... ( n − 1) n = n !
Брой на вариациите на n елемента k -ти клас:
Vnk = n. ( n − 1) ... ( n − k + 1)
Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Cnk = Вероятност
P ( A) =
Vn k n. ( n − 1) ... ( n − k + 1) = Pk 1.2.3...(k − 1)k
брой на благоприятните случаи брой на възможните случаи
0 ≤ P( A) ≤ 1
Прогресии
Аритметична прогресия:
an = a1 + ( n − 1) d
Геометрична прогресия:
an = a1.q n −1
p ⎞ ⎛ Формула за сложна лихва: K n = K .q = K . ⎜ 1 + ⎟ ⎝ 100 ⎠ n
2a + ( n − 1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 a q − a1 qn −1 Sn = n = a1 ⋅ q −1 q −1
Sn =
n
Зависимости в триъгълник
1 1 ab = chc a 2 = a1c b 2 = b1c 2 2 a + b − c a b a b 2 hc = a1.b1 r= sin α = cos α = tgα = cotgα = 2 c c b a 2 2 2 2 2 2 b = a + c − 2ac cos β Произволен триъгълник: a = b + c − 2bc cos α a b c c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ = = = 2R sin α sin β sin γ 1 1 2 Формула за медиана: ma = ( 2b 2 + 2c 2 − a 2 ) mb 2 = ( 2a 2 + 2c 2 − b 2 ) 4 4 1 mc 2 = ( 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) 4 a n Формула за ъглополовяща: = lc2 = ab − nm b m Правоъгълен триъгълник: c 2 = a 2 + b 2
S=
Формули за лице
1 S = chc 2
1 ab sin γ 2 abc S = pr S= 4R S = ab sin α Успоредник: S = aha 1 Четириъгълник: S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr Триъгълник:
S=
S=
p ( p − a )( p − b )( p − c )
Тригонометрични функции
α0
00
α rad
0
sin α
0
cos α
1
tg α
0
cotg α
–
300
450
600
900
π
π
π
π
6 1 2
4 2 2 2 2
3 3 2 1 2
2
1
3
–
1
3 3
0
3 2 3 3 3
1 0
−α − sin α cos α − tgα −cotgα
sin cos tg cotg
900 − α cos α sin α cotgα tgα
sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β
tgα ± tg β 1 ∓ tgα tgβ sin 2α = 2sin α cos α 2tgα cotg 2α − 1 α tg2α = cotg2 = 2cotgα 1 − tg 2α tg (α ± β ) =
sin α + sin β = 2sin
α +β
cos
α −β
2 2 α +β α −β cos α + cosβ = 2cos cos 2 2 1 sin α sin β = ( cos (α − β ) − cos (α + β ) ) 2 sin α cosβ =
1 ( sin (α + β ) + sin (α − β ) ) 2
900 + α cos α − sin α −cotgα − tgα
1800 − α sin α − cos α − tgα −cotgα
cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β
cotgα cotgβ ∓ 1 cotgβ ± cotgα 2 2 cos 2α = cos α − sin α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α 1 1 sin 2 α = (1 − cos 2α ) cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2 2 cotg (α ± β ) =
sin α − sin β = 2sin
α −β 2
cos
α +β
2 α +β α −β cosα − cosβ = −2sin sin 2 2 1 cosα cosβ = ( cos (α − β ) + cos (α + β ) ) 2
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО Учебен предмет – математика – 1 септември 2010 г. ВАРИАНТ 2 Ключ с верните отговори Въпроси с изборен отговор
Въпрос № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Верен отговор Г В Б В Г А А Б В В А В Б А Б Г В А А В 2 2 AB = 3 cm, BC = 5 cm
Брой точки 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3
24
150 1 1 1 = = 3! 3.2 6 2 x= 3 6.4.3 = 72 AK = 2 7
3
25 26 27 28
3 15 15 15
Въпроси с решения 26. Критерии за оценяване на задача 26. Първи начин: 1.Преобразуване на уравнението 1 +
до еквивалетното му уравнение 2. Полагане
x 2 +4 =4 x x+2
x+2 x +4 =4 x x+2
x+2 =t, t >0 x
( 2 т.) ( 2 т.)
2.Получаване на уравнението t + 4 = 4 t
( 2 т.)
3. Решаване на уравнението 2
t 2 + 4 = 4t ⇔ t 2 − 4t + 4 = 0 ⇔ ( t − 2 ) = 0 ⇒ t1,2 = 2.
( 3 т.)
4. Числата t1,2 > 0 и следователно са решения на даденото уравнение ( 2 т.) 5. От
x + 2 = 2 се получава x + 2 = 4 ⇔ x + 2 = 4 x ⇔ 3 x = 2 ⇒ x = 2 . x 3 x
6. Проверка, че x =
2 е корен на даденото уравнение 3
( 2 т.) ( 2 т.)
Втори начин:
x 2 +4 = 4 на x x+2 x+2 x квадрат и получаване на уравнението + 8 + 16. = 16 x x+2 2. Свеждане на полученото уравнение до уравнението 9 x 2 − 12 x + 4 = 0 2 2 3. Решаване на уравнението ( 3 x − 2 ) = 0 , x1,2 = 3 2 4. Проверка за x = , че е корен на даденото уравнение 3 1.Повдигане двете страни на уравнението 1 +
( 4 т.) ( 5 т.) ( 4 т.) ( 2 т.)
27. Критерии за оценяване на задача 27. 1.Всички делители на 25 са 20 , 21 , 22 , 23 , 2 4 , 25 - 6 на брой
( 3 т.)
2. Всички делители на 53 са 50 , 51 , 52 , 53 - 4 на брой
( 3 т.)
3. Всички делители на 112 са 110 , 111 , 112 - 3 на брой
( 3 т.)
4.Броят на всички делители на числото е равен
на произведението 6.4.3 = 72
( 6 т.)
28. Критерии за оценяване на задача 28. B
1.Определяне центъра на описаната окръжност около △ ABC – средата O на хипотенузата AB (2 т.)
2. Намиране на дължината на медианата CO = 4 и хипотенузата AB = 8 ( 2 т.)
O
K А
L
C
3. Доказване , че △ BOC е равностранен ( BK височина и ъглополовяща ( 3 т.) в △ BOC ) 4. Намиране на дължината на BC
BO = BC = 4
( 2 т.)
5. Намиране на дължината на страната AC AC = 82 − 42 = 4 3
(или намиране на BK = 2 3 или намиране на OK = 2 )
( 2 т.)
6. Обосноваване , че отсечката AK се явява медиана в △ AOC
( 2 т.)
7. Прилагане на формулата за медианата за намиране на
дължината на отсечката AK = 2 7
( 2 т.)
*Забележка: За намирането на AK , като се приложи косинусова теорема за △ AOK или △ ABK и се прескочат стъпките 6 и 7 ученикът получава 4 точки.