софийски университет „св. климент охридски“ факултет по математика и информатика национална природо-математическа гимназия „Акад. Л. Чакалов“ писмен държавен изпит по математика 2 май 2010 г.
om
Задача 1. Да се намери сумата S10 на първите десет члена на аритметична прогресия ÷a1 , a2 , a3 , . . ., ако е известно, че a2 + a5 + a6 + a9 = −12. Задача 2. Две окръжности с радиуси 3 и 9 се допират външно в точка A. Да се намери разстоянието от A до общата им външна допирателна, която не минава през A.
.c
Задача 3. Да се реши неравенството
x2 − x(sin 2 + sin 3) + sin 2 sin 3 < 0
H
и да се намери поне едно рационално число, което удовлетворява това неравенство.
AT
Задача 4. Да се намерят стойностите на реалния параметър a, за които уравнението x+ x1
9 има реални корени.
−a 3
x+ x1
+a−1=0
gM
Задача 5. Даден е успоредник ABCD. Точките M , N , P и Q са съответно средите на страните AB, BC , CD и DA. Точките K, L, T и S са съответно пресечни точки на отсечките AP и BQ, BQ и CM , CM и DN , DN и AP . Да се намери лицето на четириъгълника KLT S, ако лицето на успоредника ABCD е равно на 120.
.b
Задача 6. Да се реши неравенството ¡ sin x ¢2 2 −2 −2
sin x
5 0.
w
Задача 7. Даден е триъгълник ABC и точка D върху отсечката AB, такава че AD : DB = BC − AC . 3 : 1. Известно е, че ^BAC = 2^ADC. Да се намери стойността на отношението AB
w
w
Задача 8. Дадена е правилна четириъгълна пирамида V ABCD с връх V и равнинен ъгъл √ 2 2 . Да се намери големината на двустенния ъгъл между α при върха V , за който sin α = 3 стените V AB и V BC. Задача 9. В шахматен турнир участват петима състезатели. Играе се по системата „всеки срещу всеки“, като за всяка среща при победа се присъждат две точки на победителя, а при реми – по една точка за всеки състезател. След приключването на турнира се оказало, че вторият е събрал точков актив, равен на сумата от точките на последните трима в класирането. Как е завършила партията между класиралите се на второ и четвърто място? Задача 10. Да се намерят стойностите на реалния параметър a, такива че за всяко b ∈ R уравнението x5 − 5x4 + ax + b = 0 има точно един реален корен. Време за работа 5 часа.