Софийски Университет „Св. Климент Охридски” Писмен конкурсен изпит по математика 13 юли 2010 г. ЗАДАЧИ И ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ – ТЕМА 2 3
Задача 1. Да се пресметне стойността на израза Решение:
= (| ab | −ab ) b . При 2
a = −3 ,
b=
a 3b5 − 2ab 3 b 2 + 6 a 6b10 при a = −3 и b = 2 2 .
A = 3 a 3b5 − 2ab 3 b 2 + 6 a 6b10 = ab 3 b 2 − 2ab 3 b 2 + | ab | 6 b 4 =
Преобразуваме израза: 3
3
3 22
имаме
| ab | −ab = −3.2
3 2
− ( −3.2 ) = 2.3.2 3 2
3 2
,
3
b2 = 2 .
3
Следователно A = 4.3.2 2 = 24 2 . Задача 2. Даден е успоредник ABCD със страни 6 и 4. Да се намери лицето на успоредника, ако острият ъгъл между диагоналите е 45° . Решение: Нека AB = 6, BC = 4, AC ∩ BD = O и )BOC = 45° . От D C BC 2 = OB 2 + OC 2 − 2OB.OC cos 45° и AB 2 = OA2 + OB 2 + 2OA.OB cos 45° 2 2 6 −4 5 O 4 = следва, че AB 2 − BC 2 = 4OB.OC cos 45° , т.е. OB.OC = 4 cos 45° cos 45° A 6 B Но S ABCD = 2OB.OC sin 45° откъдето намираме S ABCD = 10tg45° = 10 .
x 3 − 27 . x →3 x 2 − 5 x + 6 ( x − 3) ( x 2 + 3 x + 9 )
Задача 3. Да се пресметне границата lim
x 3 − 27 x 2 + 3x + 9 = lim = lim = 27 . x →3 x 2 − 5 x + 6 x →3 x →3 x−2 ( x − 3)( x − 2 ) Задача 4. В триъгълника АВС, ВL е ъглополовяща и О е центърът на C вписаната окръжност. Правата през О, успоредна на АВ, пресича страните L АС и ВС съответно в точки M и N . Да се намери периметърът на O M триъгълника, ако OM = 2ON , AL = 6 и LC = 4 . N Решение: Тъй като ВL е ъглополовяща, то AB = AL = 3 . Нека B P A BC LC 2 CO ∩ AB = P . От MN || AB следва, че AP = MO = 2 . Но CP е ъглополовяща, така че BP ON 1 AC = AP = 2 , т.е. BC = 1 AC = 5 . Но AB = 3 BC = 15 . Следователно P = 10 + 5 + 15 = 45 . ABC 2 2 2 BC BP 1 2 2 3 2 2 Задача 5. Да се реши уравнението 3 cos x − 4 cos x sin x + 3 cos x sin x = 0 . Решение: Имаме lim
Решение: Имаме
3 cos3 x − 4 cos 2 x sin x + 3 cos x sin 2 x = cos x ( 3 ( sin 2 x + cos 2 x ) − 4sin x cos x ) =
= cos x ( 3 − 2sin 2 x ) = 0 . Следователно π
x = (2k + 1) , k = 0, ±1, ±2,.. , а от sin 2x = 2
cos x = 0 3 2
или
имаме x =
π 6
sin 2 x =
3 2
. От
+ lπ , l = 0, ±1,.. и x =
cos x = 0 π 3
намираме
+ mπ , m = 0, ±1,.. .
Задача 6. В остроъгълния триъгълник АВС с лице 8, AA1 и BB1 са височини, а точката М е средата на страната AВ. Да се намери лицето на триъгълника A1 B1C , ако триъгълникът A1 B1M е равностранен. C Решение: Нека )CAB = α , )CBA = β . Тъй като B1M е медиана в 60° правоъгълния ∆ABB1 , то B1M = AM . Тогава )AMB1 = 180° − 2α . A1 . Аналогично )BMA1 = 180° − 2β . Тъй като A1 B1M е равностранен, то B1 . )A1MB1 = 60° и )AMB1 + )BMA1 = 180° − )A1MB1 = 120° , откъдето
α + β = 120° . Следователно )ACB = 60° . Тогава CA1 = CA cos 60° = 12 CA 1 2
1 4
и CB1 = CB cos 60° = CB . Следователно S A1B1C = S ABC = 2 .
α
A
60°
M
β
B