ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – ВАРНА ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА 13 юли 2010 г. Вариант 2 1. Кое от дадените числа е най – малко? 2
1 a) ; 2
в) tg ( −135 ) ;
б) log 2 8 ;
2. Ако a = 3b и b ≠ 0 , то стойността на израза
a) 4 ;
б) 1 ;
в)
10 ; 7
1
г)
( −9 ) 3 .
2 a a + 1 + 1 b b 3
a +1 b
е равна на:
7 . 10
г)
4
3. Допустимите стойности за променливите величини x и y в израза
− x2 y3
са: x3 y г) x ≠ 0, y < 0 . 3
a) x ≤ 0, y ≤ 0 ;
б) x < 0, y < 0 ;
в) x ≤ 0, y ≥ 0 ;
4. Кои са решенията на неравенството x 4 − x 2 − 2 ≤ 0 ? а) x ∈ − 2, 2 ; б) x ∈ −∞, 2 ∪ 2, +∞ ; в) x ∈ ( −1, 2 ] ;
(
) (
)
г) x ∈ ( −∞, −1) ∪ ( 2, +∞ ) .
x −3 < 0 са: x − 6x + 8 а) x ∈ ( 2, 4 ) ; б) x ∈ ( 2,3 ) ∪ ( 3, 4 ) ; в) x ∈ ( −∞, 2 ) ∪ ( 4, +∞ ) ; г) x ∈ ( −∞, 2 ) ∪ ( 2,3) ∪ ( 3, 4 ) ∪ ( 4, +∞ ) . 5. Решенията на неравенството
2
6. Ако x1 и x2 са корените на уравнението x 2 − 3 x − 1 = 0 , то стойността на израза а) 12 ;
б) 11 ;
в) 13 ;
1 1 е: + x12 x22
г) друг отговор.
7. Стойностите на реалния параметър a , за които уравнението ax 2 − ( a − 1) x − 1 = 0 има реални корени x1 и x2 такива, че x1 < 0 < x2 са: а) a ∈ ( 0, + ∞ ) ;
б) a ∈ ( −∞, 0 ) ;
в) a = 1 ;
г) няма такива a .
8. Най – малката стойност на функцията y = 3 x 2 + 2 x − 4 в интервала [1, 2] е: а) 1 ;
б) −
13 ; 3
в) 12 ;
г) 0 .
9. Стойностите на реалния параметър a , за които уравнението x 4 + ax 2 + 9 = 0 има четири различни реални корена са: а) a ≥ 0 ; б) a∈( −6, 6 ) ; в) a∈( −∞, − 6 ) ; г) a∈ ( 6, + ∞ ) .
x + 5 − x − 4 = 1 са: в) x = 4 и x = 20 ;
10. Всички решения на уравнението а) x = 4 ; б) няма решения;
11. Всички стойности на x , които са решения на уравнението а) x = 0, x = − 2 и x = 2 ;
2
+ 2 x
б) x ∈[ 0, 6] ;
x − 2 = 0 са:
г) няма такива стойности.
в) x ∈[ −6, 0] ;
г) няма решения.
x − 2 > 2 − x са:
б) x ∈( 2,3] ;
в) x ∈( 2,5) ;
г) x∈( 2, + ∞ ) .
1 1 x + y = 5 14. Решенията на системата са наредените двойки 1 1 + = 13 x 2 y2
1 1 1 1 а) , и , ; 2 3 3 2
)
x 2 + 6 x + 9 ≤ 3 са:
13. Решенията на неравенството а) x ∈ [ 2, + ∞ ) ;
(x
в) x = 2 ;
б) x = 0 и x = 2 ;
12. Решенията на неравенството а) x ∈ ( −∞ , − 6] ∪ [ 0, + ∞ ) ;
г) x = 20 .
б) ( 2,3) и ( 3, 2 ) ;
в) (1, 2 ) и ( 2,1) ;
( x, y ) :
г) друг отговор.
15. За аритметична прогресия с първи член 24 е известно, че нейните първи, пети и единадесети членове в този ред образуват геометрична прогресия. Разликата на аритметичната прогресия е: а) 4 ; б) 5 ; в) 2 ; г) 3 . 16. Корените на уравнението а) x = 0 ;
б) x = 0 и x = 1 ;
1
= 5( x −1) са: 2
51− x
2
в) x = 1 ;
г) няма реални корени.
17. Всички решения на уравнението 4 x − 2 x − 6 = 0 са: в) x =1 ; a) всички реални числа; б) x = 2 и x = 3 ; 1 18. Решение на уравнението 3 б) −4 ; в) 2 ; а) −2 ;
log 3 x 2
=4
г) x = log 2 3 .
log 1 ( x+ 4 ) 2
е числото:
г) 3 .
19. Решенията на уравнението log 2 x 2 − log 1 x = 3 са: 2
а) x = 2 ;
б) x = 2 и x = 3 ;
в) x = 1 ;
г) x = 4 .
2x +1 ≥ 0 са всички реални числа x , за които: 2x −1 1 1 1 1 б) x ∈ −∞, − ∪ , + ∞ ; в) x ∈ −∞, ; г) x ∈ −∞, − . 2 2 2 2
20. Решенията на неравенството log 0,3
1 1 а) x ∈ − , ; 2 2
21. Решенията на неравенството log 3 x − log x 9 ≥ 1 са всички реални числа x такива, че:
1 а) x ∈ ,1 ∪ [9, + ∞ ) ; 3
1 б) x ∈ − ∞, ∪ [9, + ∞ ) ; 3
в) x ∈ [9, + ∞ ) ;
22. Решенията на уравнението log 1 log3 ( 25 − 2 x ) = − 1 са: 3
а) x = −1 ;
б) x = 11 ;
в) x = −1 и x = 11 ;
г) няма решения.
1 г) x ∈ ,9 . 3
3π 23. Ако α ∈ π , , то изразът 2 a) sin α ;
1
е тъждествено равен на: 1 + tg 2α в) cot g α ; г) cos α .
б) − cos α ;
24. Числената стойност на израза sin 65 cos 25 + sin 25 cos 65 е: б) 1;
а) 0 ;
в)
1 ; 2
2 . 2
г)
25. Ако tgα + cotgα = 2 и α ∈(180 , 270 ) , то ъгъл α е равен на: a) 180 ;
в) 225 ;
б) 215 ;
г) 235 .
26. Всички решения на уравнението cos x − 3 sin x = 0 в интервала [ 0, 2π ] са: а) x =
π 3
и x=
4π ; 3
б) x = 0 и x =
π 6
в) x =
;
π 6
и x=
7π ; 6
г) x =
π 2
и x = 2π .
27. Функцията f ( x ) = sin 2 x , при x > 0 , има за производна f ′ ( x ) следната функция: а) f ′ ( x ) =
cos 2 x ; 2x
б) f ′ ( x ) = −
cos 2 x ; 2x
в) f ′ ( x ) =
sin 2 x ; 2x
г) f ′ ( x ) = −
sin 2 x . 2x
28. Функцията f ( x ) = x 3 − 27 x е растяща в интервала: а) ( −∞ , − 3) ∪ ( 3, +∞ ) ;
б) ( −3,3) ;
в) ( 0, + ∞ ) ;
г) друг отговор.
29. При коя от посочените стойности на аргумента x функцията y = x + а) x = − 1 ;
б) x = 0 ;
в) x =1 ;
30. Стойността на границата lim x→2
а) 0 ;
б)
1 ; 4
в) 1 ;
1 има локален минимум? x
г) x = 2 . x+ 2 −2 е следното число: x−2
г) 2 .
31. Ортогоналните проекции на катетите върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник са с дължини 3 cm и 4 cm . Височината към хипотенузата на този . правоъгълен триъгълник е с дължина равна на: h =? а) 4 cm ;
б) 2 3 cm ;
в) 2 cm ;
.
г) 4 3 cm . 3 cm
4 cm
32. В правоъгълен триъгълник хипотенузата е с дължина 10 cm , а дължината на радиуса на вписаната в триъгълника окръжност е 2 cm . Дължините на катетите са равни на: а) 3 cm и 4 cm ;
б) 6 cm и 8 cm ;
в) 3 2 cm и 4 2 cm ;
33. Вписаната в правоъгълен триъгълник окръжност разделя хипотенузата му на отсечки с дължини 2 cm и 3 cm . Лицето на триъгълника е равно на: а) 3 cm 2 ; б) 4 cm2 ; в) 6 cm 2 ; г) 12 cm 2 .
г) 3 3 cm и 4 3 cm . S△ = ?
3 cm
34. Лицето на триъгълник с дължини на медианите 13 cm , 14 cm и 15 cm е равно на: а) 84 cm 2 ; б) 112 cm2 ; в) 168 cm 2 ; г) 56 cm 2 .
2 cm
35. Две от страните на триъгълник са с дължини 5 cm и 8 cm , а ъгълът между тях е равен на 60 . Дължината на радиуса на окръжност, която се допира до тези две страни на триъгълника и до вписаната в него окръжност (вж. черт.), е равна на: 3 3 б) в) г) 2 3 cm . а) 3 cm ; cm ; cm ; 2 3
8 cm
. r
r1 = ?
.
60
5 cm
36. В успоредник с дължини на страните 7 cm и 9 cm един от диагоналите му има дължина 8 cm . Дължината на другия диагонал на успоредника е равна на: а) 12 cm ; б) 13 cm ; в) 15 cm ; г) 14 cm . 37. Даден е успоредник ABCD , за който е известно , че дължините на диагоналите му се отнасят както 2 : 3 . Ъглополовящите на ъглите определени от диагоналите на успоредника пресичат страните AB, BC , CD и DA съответно в точките K , L , M и N . Отношението от лицата на четириъгълника KLMN и успоредника ABCD е равно на: 1 12 2 3 б) ; в) ; г) . а) ; 2 25 3 4 38. Лицето на ромб с дължина на височината а)
3 cm2 ;
б) 2 3 cm2 ;
в) 3 3 cm2 ;
S KLMN =? D S ABCD
M
N
L A
K
г) 3 2 cm2 . C
D
40. В трапец ABCD с дължини на основите AB = 4 cm и CD = 2 cm , през средите на бедрата му AD и BC минава права, която пресича диагоналите AC и BD съответно в точките E и F . Дължината на отсечката EF е равна на: 3 б) cm ; в) 2 cm ; г) 1 cm . а) 3 cm ; 2 41. Разстоянията от центъра на вписаната в правоъгълен трапец окръжност до краищата на по – голямата основа на трапеца са 3 2 cm и 5 cm . Лицето на трапеца е: 147 cm 2 ; 4
б)
81 2 cm2 ; 4
в) 36 cm 2 ;
B
3 cm и остър ъгъл с големина 60 е равно на:
39. В квадрат ABCD точка P е от страната AB и такава, че AP : AB = 1 : 3 , а точката Q е среда на страната AD . Каква част от лицето на квадрата е лицето на четириъгълника PBCQ ? 1 2 3 1 а) ; б) ; в) ; г) . 2 3 4 3
а)
C
S PBCQ S ABCD
=?
Q A
P
2 cm
D E A
S =?
C F
4 cm
EF = ?
B
. .
3 2 cm
B
5 cm
г) 27 2 cm 2 .
42. В окръжност е вписан триъгълник. През два от върховете на триъгълника са прекарани допирателни към окръжността, които сключват помежду си ъгъл с големина 36 . Големината на ъгъла при третия връх на триъгълника е: б) 108 ; в) 90 ; г) 36 . а) 72 ;
=?
36
43. Взети са три концентрични окръжности по такъв начин, че R = 3 cm кръгът с най-голям радиус се разделя от останалите две окръжности R 1 =? на три равнолицеви части. Ако е известно, че дължината на найR 2 =? големия радиус е 3 cm , то дължините на радиусите на другите две окръжности са: 6 1 а) 1 cm и 2 cm ; б) 1 cm и 2 cm ; в) 2 cm и г) 1 cm и cm ; cm . 2 2
R2 R1
. R
C
M
44. Окръжност минава през върховете A и B на триъгълник ABC CM : AM = 2 : 3 и пресича страните му AC и BC съответно в точките M и N . Ако е известно, че CM : AM = 2 : 3 , CN = 5 cm и NB = 3 cm , то дължиAM = ? ната на отсечката AM е: A б) 2 3 cm ; в) 6 cm ; г) 4 3 cm . а) 4 cm ;
5 cm
N
3 cm
B
45. На чертежа са изобразени два еднакви припокриващи се кръга с дължина на радиуса 2 cm . Лицето на защрихованата част от фигурата е равно на: 4 8 16 а) π cm2 ; б) π cm2 ; в) π cm2 ; г) не може да се определи. 3 3 3 46. В тетраедър ABCD ръбовете AD , BD и CD са два по два взаимно перпендикулярни. Ако е известно, че дължините на два от тези ръбове са равни на 1 cm и 2 cm , V AB CD = 1 cm 3 3 D а обемът на пирамидата е 1 cm , то дължината на другия ръб е: CD = ? .. . б) 3 cm ; в) 2 cm ; г) 1 cm . а) 4 cm ; AD =1 cm C BD = 2 cm
A
47. Ако в правилна триъгълна пирамида ъгълът между околна стена и основа е равен на 45 , то стойността на косинуса на ъгъла между две околни стени е: 1 1 1 1 а) − ; б) ; в) − ; г) . 2 2 4 3
D
Q
∡ CPD = 45
48. Даден е куб ABCDA 1 B1C1 D1 , за който ABCD е основа, а AA 1 , BB1 , CC1 и DD1 са околни ръбове. Косинусът на ъгъла между правите AA1 и B1 D е равен на: а)
3 ; 3
б)
1 ; 3
в)
3;
г)
B
3 . 2
49. Най – големият възможен обем на вписан в сфера, с дължина на радиуса 3 cm , прав кръгов цилиндър е: 35 3 а) 18 3 π cm3 ; б) 24 3 π cm3 ; в) π cm3 ; г) 12 3 π cm3 . 3
C
cos ∡ AQB = ? A
B
P
D1 A1
C1 B1
C
D A
cos ∡ ( ( AA 1 ) , ( B1 D ) ) = ?
B R = 3 cm
VMax = ?
R
•
O
50. Околната повърхнина на прав кръгов пресечен конус е равна на 9 π cm 2 , образувателната му е с дължина 3 cm , а дължините на радиусите му се отнасят както 1 : 2 . Централният ъгъл на развивката на околната повърхнина на конуса, от който е получен пресеченият конус е с големина: а) 270 ; б) 60 ; в) 90 ; г) 120 .
Таблица на отговорите: № 1
а
б
в
г
а
б
в
г
2
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
27 а
б
в
г
3
28 а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
4
29
5
30
6
31
7
32
8
33 а
б
в
г
9
34 а
б
в
г
10
35 а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
11
36
12
37
13
38
14
39 а
б
в
г
15
40 а
б
в
г
16
41 а
б
в
г
17
42 а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
а
б
в
г
18
43
19
44
20
45
21
46 а
б
в
г
22
47 а
б
в
г
23
48 а
б
в
г
а
б
в
г
24 25
№ 26
49 50