УНИВЕРСИТЕТ ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ – СОФИЯ ЕТ – „АЛИСА – БРАНИМИР ЧАВДАРОВ” СИМУЛАТИВЕН ИЗПИТ 4.07.2010 год.
Задача 1.(6точки) Дадено е уравнението m ( sin x − cos x ) + cos 2 x = 0, където m е параметър. а) (1точка) За кои стойности на m, числото
π 4
е решение на уравнението?
б) (3 точки) Да се реши уравнението за m=1. в) (2 точки) За кои стойности на m уравнението има поне едно решение в π π интервала 0; различно от ? 2 4
Задача 2.(7точки) В остроъгълния △ ABC са дадени ∢ABC = 75°; AB = c, BC = a. Точка К лежи на описаната около △ ABC окръжност така, че ∢ABK = 45°, ∢CBK = 30°. а) (2 точки) Да се докаже, че AC =
R 2 2
(
)
3 + 1 , където R е радиусът на
описаната около △ ABC окръжност. 2 3 − 1 a + c . 2 в) (3 точки) Ако лицето на △ ABC е 3 + 1 , да се намерят стойностите на а и с, при които ВК има най-малка дължина.
б) (2 точки) Да се докаже, че BK =
(
)
Задача 3.(7точки) Даден е куб ABCDA1 B1C1 D1 с ръб а. Нека точките М и N са среди съответно на ръбовете BC и DD1. а) (3 точки) Да се докаже, че тангенсът на ъгъла между равнините АВС и АМN е 5 . 4 б) (2 точки) Да се намери лицето на сечението на куба с равнината AMN . в) (2 точки) Да се намери разстоянието между правите AN и CD.